Parentesmultiplikation

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Inom matematiken uppkommer det ofta situationer där man behöver multiplicera in ett tal i en parentes. Då multipliceras talet med alla termer i parentesen.

Law of distr 2a.svg

Om man istället behöver multiplicerar ihop två parenteser ska man multiplicera alla termer i ena parentesen med alla termer i den andra.

Utv distr lagen 2.svg
Regel

Kvadreringsreglerna

När en parentes med två termer multipliceras med sig själv, dvs. kvadreras, kan beräkningarna underlättas med de så kallade kvadreringsreglerna. De kan alltså tillämpas för att förenkla och beräkna uttryck som (x+2)2och(3x)2. (x+2)^2 \quad \text{och} \quad (3-x)^2. Beroende på om det står ett plus- eller minustecken mellan termerna används första eller andra kvadreringsregeln.

Regel

Första kvadreringsregeln

Står det ett plustecken mellan termerna i parentesen kan man använda första kvadreringsregeln.

Regel

(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Den första kvadreringsregeln kan härledas genom att skriva kvadraten som en multiplikation av två likadana parenteser.
(a+b)2(a + b)^2
Dela upp i faktorer
(a+b)(a+b)(a + b)(a + b)
aa+ab+ba+bba\cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b
a2+ab+ab+b2a^2 + ab + ab + b^2
a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2
Man får alltså att (a+b)2=a2+2ab+b2. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
Regel

Andra kvadreringsregeln

Står det ett minustecken mellan termerna i parentesen kan man använda andra kvadreringsregeln.

Regel

(ab)2=a22ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
Den andra kvadreringsregeln kan härledas genom att skriva kvadraten som en multiplikation av två likadana parenteser.
(ab)2(a - b)^2
Dela upp i faktorer
(ab)(ab)(a - b)(a - b)
aa+a(-b)+(-b)a+(-b)(-b)a\cdot a + a \cdot (\text{-} b) + (\text{-} b) \cdot a + (\text{-} b) \cdot (\text{-} b)
a2abab+b2a^2 - ab - ab + b^2
a22ab+b2a^2 - 2ab + b^2
Man får alltså att (ab)2=a22ab+b2. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.
Uppgift

Förenkla (x+3)2(x+3)^2 och (7x)2(7-x)^2 med kvadreringsreglerna.

Lösning
Den första parentesen har ett plustecken mellan termerna så vi använder första kvadreringsregeln.
(x+3)2(x+3)^2
(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
x2+2x3+32x^2+2\cdot x\cdot3+3^2
x2+6x+32x^2+6x+3^2
x2+6x+9x^2+6x+9
Den andra parentesen har ett minustecken mellan termerna så vi använder andra kvadreringsregeln.
(7x)2(7-x)^2
(ab)2=a22ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
7227x+x27^2-2\cdot7\cdot x +x^2
4927x+x249-2\cdot7\cdot x +x^2
4914x+x249-14x +x^2

Uttrycken kan alltså utvecklas till x2+6x+9x^2+6x+9 respektive 4914x+x2.49-14x +x^2.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Konjugatregeln

Om två parenteser på formen (a+b)(a+b) och (ab)(a-b) ska multipliceras ihop kan beräkningarna underlättas med den så kallade konjugatregeln. Exempelvis kan regeln användas för förenkling av (x+5)(x5)och(2+6y)(26y). (x+5)(x-5) \quad \text{och} \quad (2+6y)(2-6y). Två parenteser på den här formen är varandras konjugat, och därför kallas detta konjugatregeln.

Regel

(a+b)(ab)=a2b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
Konjugatregeln kan härledas genom att utföra multiplikationen av parenteserna med hjälp av vanlig parentesmultiplikation.
(a+b)(ab)(a + b)(a - b)
aa+a(-b)+ba+b(-b)a \cdot a + a \cdot (\text{-} b) + b \cdot a + b \cdot (\text{-} b)
a2ab+abb2a^2 - ab + ab - b^2
a2b2a^2 - b^2
Man får alltså att (a+b)(ab)=a2b2. (a + b)(a - b) = a^2 - b^2.
Uppgift

Utveckla (x+3)(x3)(x+3)(x-3) med konjugatregeln.

Lösning

När man använder konjugatregeln kvadrerar man den första termen och subtraherar sedan med kvadraten av den andra.

(x+3)(x3)(x+3)(x-3)
(a+b)(ab)=a2b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2
x232x^2-3^2
x29x^2-9

Man får alltså x29.x^2-9.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Utveckla uttrycken med konjugatregeln.

a

(x9)(x+9)(x - 9)(x + 9)

b

(4+y)(4y)(4 + y)(4 - y)

c

(7a)(a+7)(7 - a)(a + 7)

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange det uttryck som ska stå i parentesen för att likheten ska gälla.(        )(x5)=x225 (\ \ \ \ \ \ \ \ )\cdot(x-5)=x^2-25

Nationella provet VT15 2a/2b/2c
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Skriv ett uttryck för rektangelns area och förenkla så långt som möjligt.


1019 1.svg
b

Skriv ett uttryck för triangelns area och förenkla så långt som möjligt.

1019 2.svg
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Förenkla (x+5)210x(x+5)^2-10x så långt som möjligt.
Nationella provet HT13 2a
1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm värdet av (x+10)(x+11)11(x+10)(x+10)(x+11)-11(x+10) när x=4x=4 genom att

a
sätta in x=4x=4 och beräkna.
b
först förenkla uttrycket och sedan sätta in x=4.x=4.
1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck.


a

2x(3+x5y)2x22x(3+x-5y)-2x^2

b

(2a+6b+10)7b(2a+6b+10)\cdot7b

c

(54x)(x+8)(5-4x)(x+8)

d

(2y4)(2y3)(2y-4)(2y-3)

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Med hjälp av konjugat- och kvadreringsreglerna kan man förenkla vissa beräkningar med huvudräkning. Använd reglerna för att beräkna följande multiplikationer och potenser. Beräkna


a

52252^2 genom att skriva 5252 som 50+2.50+2.

b

9991001.999 \cdot 1001.

c

892.89^2.

d

10694.106 \cdot 94.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycken.

a

3(x+5)2753(x+5)^2-75

b

(7x)(x+7)+49(7-x)(x+7)+49

c

(x4)(x+4)(x4)2(x-4)(x+4)-(x-4)^2

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.


a

3(xy+5)(2y3x)3(xy+5)(2y-3x)

b

2a(3+b)3a2(5a6b)2a(3+b)-3a^2(5a-6b)

c

6t(t24t6)t2(2t25)4t36t\left(t^2-4t-6\right)-t^2(2t-25)-4t^3

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Multiplicera ihop parenteserna och förenkla.


a

(x2y3+xy)(x4y3x3y)\left(x^2y^3+xy\right)\left(x^4y^3-x^3y\right)

b

(2a34b2)(a53b3)\left(2a^3-4b^2\right)\left(a^5-3b^3\right)

c

(5+q)(3q+2r15)(5+q)(3q+2r-15)

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycken så långt som möjligt.

a

(x2+x3)(3x+9x)\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}\right)\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{9}{x}\right)

b

(2b3+5a7)(a75b6)\left(\dfrac{2b}{3}+\dfrac{5a}{7}\right)\left(\dfrac{a}{7}-\dfrac{5b}{6}\right)

c

(3s22t9)2\left(\dfrac{3s}{2}-\dfrac{2t}{9}\right)^2

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Förenkla uttrycket a22b4\dfrac{a^2-2b}{4} så långt som möjligt om a=2x+1a=2x+1 och b=2x1.5.b=2x-1.5.
Nationella provet HT13 2a
2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande utan att använda din räknare: 1101111013110122. 11\,011\cdot 11\,013 - 11\,012^2.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör utan räknare vilket av talen som är närmast 450\sqrt{450}: 16,22,25,31. 16, \quad 22, \quad 25, \quad 31.

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Hur mycket större är arean för figur A2A_2 jämfört med A1A_1? Båda figurer är kvadrater.


1011 1.svg
b

Hur mycket mindre area har figuren A2A_2 jämfört med A1A_1? Den första figuren är en kvadrat.


1011 2.svg
2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ställ upp ett uttryck för arean av det gröna området och utveckla det.

Exercise545 1.svg
2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycket a22b4\dfrac{a^2-2b}{4} så långt som möjligt om a=2x+1ochb=2x1.5. a=2x+1 \quad \text{och} \quad b=2x-1.5.

Nationella provet VT15 2a/2b/2c
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Familjen Andersson har skaffat en kvadratisk pool och vill lägga en gång gjord av plankor runt hela poolen. Gången planeras bli en halv meter bred längs med poolen och enligt ritningarna behöver familjen då köpa 9 m29 \text{ m}^2 plankor. Hur lång är poolens sida?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Utveckla (x+y+z)2(x+y+z)^2 med distributiva lagen.

b

Utveckla (x+y+z)2(x+y+z)^2 med första kvadreringsregeln.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Summan av kvadraterna av två tal är 61.61. Produkten av dem är 30.30. Vad är kvadraten av summan av talen?

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tindra bor i radhus och har en kvadratisk uteplats bestående av kvadratiska plattor. Hennes kompis Jannike som bor i samma område vill bygga om uteplatsen genom att göra ena sidan lika många plattor kortare som den andra blir längre. Tindra påstår att hon kommer att få kakelplattor över om hon gör på detta sätt. Har Tindra rätt? Och i så fall, hur många plattor kommer att bli över om hon gör sidorna XX plattor längre respektive kortare?

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla så långt som möjligt. (x2y2x3y3)(xy+x4y4)(x4y4x2y2)2x6y6(xy3x3y3+3x5y5x7y7) \dfrac{\left(x^2y^2-x^3y^3\right)\left(xy+x^4y^4\right)\left(x^4y^4-x^2y^2\right)^2}{x^6y^6\left(xy-3x^3y^3+3x^5y^5-x^7y^7\right)}

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}