Parentesmultiplikation

Vi låter poolens sidlängd utan gång vara x m och arean för poolen x^2 m^2.

Sedan läggs det på plankor runt poolen som ökar poolområdet med en halv meter överallt.

Eftersom gång finns på båda sidor om poolen blir sidlängden för pool inklusive gång x+ 0.5 + 0.5 = x + 1 m. Vi beräknar arean av hela området genom att kvadrera sidlängden: A_(Hela) = (x+1)^2. Arean av enbart gången får vi genom att subtrahera poolområdet, som var x^2. Vi ställer upp och förenklar detta uttryck.

Vi vet även att gångens area är 9 m^2, eftersom det var så mycket som arean ökade när den lades till. Nu kan x lösas ut genom att likställa ekvationen för gången med 9.

Poolens sida är 4 meter.

Vi skriver ut den kvadrerade termen som (x+y+z)(x+y+z) och kan därefter använda distributiva lagen för att multiplicera alla termer i första parentesen med alla termer i den andra.

Vi sätter ut en parentes runt t.ex. y+z och låter den vara "b-termen" i första kvadreringsregeln.

Sista termen kan vi utveckla med kvadreringsregeln.

Vi hade även kunnat sätta parenteserna runt x+y och utvecklat ((x+y)+z)^2 på motsvarande sätt.

Vi kallar de okända talen a och b. Kvadraten av summan av talen får vi genom att först addera dem och sedan höja upp summan till 2, dvs. (a+b)^2. Upphöjt till 2 är samma som att multiplicera med sig själv två gånger. Vi gör det och förenklar.

Hur ska vi beräkna det här? Vi vet att summan av kvadraterna är 61. Det betyder att a^2+b^2=61. Produkten av talen är 30 vilket vi kan skriva ab=30. Detta använder vi för att beräkna värdet på uttrycket.

Kvadraten av summan av talen är alltså 121.

Vi antar att den ursprungliga kvadratiska uteplatsen har A plattor längs sidan. Uteplatsen består då av totalt A^2 plattor.

Eftersom den nya uteplatsens ena sida förkortas med X plattor blir denna sida nu A-X plattor lång. På samma sätt blir den andra sidan A+X plattor lång. Antalet plattor blir då (A-X)(A+X) efter omläggningen.

Vi förenklar uttrycket för antalet plattor i den nya uteplatsen genom att multiplicera ihop parenteserna.

Den kvadratiska uteplatsen hade A^2 plattor och den nya A^2-X^2 st. plattor. Skillnaden får vi genom att subtrahera uttrycken, alltså antalet plattor på kvadratiska uteplatsen minus antalet plattor på den nya uteplatsen.

Oavsett hur många plattor sidorna ändras med får hon alltid X^2 plattor över. T.ex. om hon förkortar respektive förlänger sidorna med 2 plattor får hon 2^2=4 plattor över.

Vi börjar med att fokusera på täljaren. Om vi vill kan vi, för att slippa skriva uttrycket i nämnaren under tiden, tills vidare utelämna denna. Vi multiplicerar ihop de två första parenteserna i täljaren.

Nu skriver vi om parentesen i kvadrat som samma parentes multiplicerat med sig själv. Sedan utvecklar vi dem genom att multiplicerar alla termer i ena parentesen med alla termer i den andra.

Nu multiplicerar vi in första termen i första parentesen med alla tre termer i andra parentesen. Sedan gör vi likadant med x^5y^5. Tänk på att ett negativt uttryck gånger ett negativt blir positivt.

Nu kan vi sätta tillbaka uttrycket för nämnaren och multiplicera in x^6y^6.

Både nämnare och täljare är lika, och ett tal eller uttryck delat med sig själv är 1.