body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Dashboard

Kurs 2a Visa detaljer

1. Parentesmultiplikation

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

Matematik 2a /

Kapitel 1

Parentesmultiplikation

Genomgången handlar om parentesmultiplikation, en viktig del av algebra. Den förklarar hur man multiplicerar termer inom parenteser, och hur man multiplicerar två parenteser med varandra. Den introducerar också kvadreringsreglerna, som används när en parentes med två termer multipliceras med sig själv. Dessa regler kan förenkla och beräkna uttryck som (x+2)^2 och (3−x)^2. Dessutom presenteras konjugatregeln, som underlättar multiplikationen av två parenteser på formen (a+b) och (a−b). Lektionen innehåller också exempel och övningar för att hjälpa användarna att förstå och tillämpa dessa regler.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	9 sidor teori
	22 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Parentesmultiplikation

Sida av 9

Inom matematiken uppkommer det ofta situationer där man behöver multiplicera in ett tal i en parentes. Då multipliceras talet med alla termer i parentesen.

Om man istället behöver multiplicerar ihop två parenteser ska man multiplicera alla termer i ena parentesen med alla termer i den andra.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Andragradsuttryck
Kvadreringsreglerna
Kojugat
Konjugatregeln

Utforska

Att relatera ekvationer till diagram

Överväg olika ekvationer och motsvarande diagram.

Hur kan diagram användas för att visa att ekvationer är sanna?

Koncept

Andragradsuttryck

Ett andragradsuttryck kännetecknas av att den högsta exponenten för variabeln är 2. Uttrycket består av olika termer, inklusive en andragradsterm, en förstagradsterm och en konstantterm.

Uttrycket 4x^2 + 12x - 8 är ett exempel på ett andragradsuttryck. Detta beror på att den högsta exponenten för variabeln x är 2.

Termer i uttrycket
Andragradsterm	4x^2 (x-term med koefficienten 4)
Förstagradsterm	13x (x-term med koefficienten 13)
Konstantterm	- 10

Regel

Kvadreringsreglerna

När en parentes med två termer multipliceras med sig själv, dvs. kvadreras, kan beräkningarna underlättas med de så kallade kvadreringsreglerna. De kan alltså tillämpas för att förenkla och beräkna uttryck som (x+2)^2 och (3-x)^2. Beroende på om det står ett plus- eller minustecken mellan termerna används första eller andra kvadreringsregeln.

Första kvadreringsregeln

Står det ett plustecken mellan termerna i parentesen kan man använda första kvadreringsregeln.

Bevis

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Den första kvadreringsregeln kan härledas genom att skriva kvadraten som en multiplikation av två likadana parenteser.

(a + b)^2

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

(a + b)(a + b)

ExpandPar

Multiplicera parenteser

a* a + a * b + b * a + b * b

Multiply

Multiplicera faktorer

a^2 + ab + ab + b^2

SimpTerms

Förenkla termerna

a^2 + 2ab + b^2

Man får alltså att (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Andra kvadreringsregeln

Står det ett minustecken mellan termerna i parentesen kan man använda andra kvadreringsregeln.

Bevis

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Den andra kvadreringsregeln kan härledas genom att skriva kvadraten som en multiplikation av två likadana parenteser.

(a - b)^2

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

(a - b)(a - b)

ExpandPar

Multiplicera parenteser

a* a + a * (- b) + (- b) * a + (- b) * (- b)

Multiply

Multiplicera faktorer

a^2 - ab - ab + b^2

SimpTerms

Förenkla termerna

a^2 - 2ab + b^2

Man får alltså att (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.

Exempel

Förenkla uttrycken med kvadreringsreglerna

Förenkla följande uttryck med kvadreringsreglerna.

(x+3)^2

(7-x)^2

Ledtråd

a Använd den första kvadreringsregeln.

b Använd den andra kvadreringsregeln.

Lösning

a Den första parentesen har ett plustecken mellan termerna så vi använder första kvadreringsregeln.

(x+3)^2

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

x^2+2* x*3+3^2

Multiply

Multiplicera faktorer

x^2+6x+3^2

CalcPow

Beräkna potens

x^2+6x+9

Uttrycken kan alltså utvecklas till x^2+6x+9.

b Den andra parentesen har ett minustecken mellan termerna så vi använder andra kvadreringsregeln.

(7-x)^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

7^2-2*7* x +x^2

CalcPow

Beräkna potens

49-2*7* x +x^2

Multiply

Multiplicera faktorer

49-14x +x^2

Det andra uttrycket kan utvecklas till 49-14x+x^2.

Koncept

Konjugat

Ett konjugat bildas genom att byta tecken på en av termerna i ett binom, alltså ett uttryck med två termer. Exempelvis har x+2 konjugatet x-2.

När man skapar ett konjugat säger man att man konjugerar, och uttrycken x+2 och x-2 kallas ibland för konjugerade par.

Regel

Konjugatregeln

Om två parenteser på formen (a+b) och (a-b) ska multipliceras ihop kan beräkningarna underlättas med den så kallade konjugatregeln. Exempelvis kan regeln användas för förenkling av (x+5)(x-5) och (2+6y)(2-6y). Två parenteser på den här formen är varandras konjugat, och därför kallas detta konjugatregeln.

Bevis

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Konjugatregeln kan härledas genom att utföra multiplikationen av parenteserna med hjälp av vanlig parentesmultiplikation.

(a + b)(a - b)

ExpandPar

Multiplicera parenteser

a * a + a * (- b) + b * a + b * (- b)

Multiply

Multiplicera faktorer

a^2 - ab + ab - b^2

SimpTerms

Förenkla termerna

a^2 - b^2

Man får alltså att (a + b)(a - b) = a^2 - b^2.

Exempel

Utveckla uttrycket med konjugatregeln

Utveckla (x+3)(x-3) med konjugatregeln.

Ledtråd

Använd konjugatregeln.

Lösning

När man använder konjugatregeln kvadrerar man den första termen och subtraherar sedan med kvadraten av den andra.

(x+3)(x-3)

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

x^2-3^2

CalcPow

Beräkna potens

x^2-9

Man får alltså x^2-9.

Övning

Öva på att förenkla uttryck

Förenkla det givna algebraiska uttrycket genom att följa de regler som diskuterades i lektionen. Kom ihåg att multiplicera en variabel med sig själv resulterar i kvadraten av variabeln. Den kvadrerade variabeln kan skrivas som a^2, b^2, c^2 eller x^2.

Appletet genererar slumpmässigt algebraiska uttryck som innehåller parenteser och uppmanar till den korrekta förenklingen av uttrycket.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Parentesmultiplikation

Uppgift 1.1

Utveckla uttrycket med konjugatregeln.

(x - 9)(x + 9)

(4 + y)(4 - y)

(7 - a)(a + 7)

Konjugatregeln har formen (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 och vi ser att vårt uttryck har samma form, med a=x och b = 9. Vi använder detta i formeln.

Vi gör på samma sätt som i förra uppgiften och utvecklar uttrycket med hjälp av konjugatregeln.

Här står termerna inte i samma ordning i parenteserna, men byter vi plats på termerna i (a+7) kan vi använda konjugatregeln även här.

Vi måste inte skriva om uttrycket så att (7+a) står före (7-a), eftersom resultatet av en multiplikation blir detsamma oavsett ordningen på faktorerna.

Ange det uttryck som ska stå i parentesen för att likheten ska gälla. ( )*(x-5)=x^2-25

Nationella provet VT15 2a/2b/2c

Vi kan se att högerledet, x^2-25, liknar det som brukar stå i ena ledet när man använder konjugatregeln: (a+b)(a-b)=a^2-b^2. Detta blir tydligare om vi skriver om 25 som 5^2. ( )*(x-5)=x^2-5^2 I konjugatregeln ser vi att det enda som skiljer de två parenteserna åt är tecknet mellan termerna. Eftersom vår utskrivna parentes, (x-5), innehåller ett minustecken måste den sökta innehålla ett plustecken. Det innebär alltså att det bör stå x+5 i den tomma parentesen. Vi kontrollerar att det stämmer. (x+5)*(x-5)=x^2-5^2=x^2-25

Skriv ett uttryck för rektangelns area och förenkla så långt som möjligt.

Skriv ett uttryck för triangelns area och förenkla så långt som möjligt.

Rektangelns area beräknas genom att multiplicera bredden med längden, dvs. A=(x+3)(x-3). Vi förenklar detta med konjugatregeln.

Triangelns area beräknas genom att multiplicera bas med höjd och dela produkten med 2, dvs. A= (a+2)(a-2)2. Vi förenklar detta med konjugatregeln.

Förenkla (x+5)^2-10x

så långt som möjligt.

Nationella provet HT13 2a

Vi börjar med att utveckla (x+5)^2 med hjälp av första kvadreringsregeln och sedan förenklar vi termerna.

Uttrycket kan alltså förenklas till x^2+25.

Du har uttrycket (x+10)(x+11)-11(x+10).

Sätt in x=4 och beräkna.

Förenkla först uttrycket och sätt sedan in x=4 och beräkna.

Vi sätter in x=4 genom att ersätta x med 4.

Vi börjar med att multiplicera ihop de två första parenteserna. Sedan multiplicerar vi in elvan i den sista parentesen.

Nu har vi förenklat så långt det går och sätter in x=4.

Förenkla följande uttryck.

2x(3+x-5y)-2x^2

(2a+6b+10)*7b

(5-4x)(x+8)

(2y-4)(2y-3)

Här ska 2x multipliceras med varje term inuti parentesen. När vi gjort detta kan vi förenkla uttrycket.

Även om faktorn står efter parentesen multipliceras den in på samma sätt som i föregående uppgift, dvs. med alla termer inuti parentesen.

När två parenteser multipliceras ska varje term i den första parentesen multipliceras med varje term i den andra.

Vi multiplicerar parenteserna på samma sätt som tidigare. Kom ihåg att när negativa tal multipliceras blir produkten positiv.

Med hjälp av konjugat- och kvadreringsreglerna kan man förenkla vissa beräkningar med huvudräkning. Använd reglerna för att beräkna.

52^2

999 * 1001

89^2

106 * 94

Vi skriver om 52 som 50 + 2 och använder första kvadreringsregeln.

I det här fallet kan vi använda konjugatregeln eftersom vi kan skriva 999 som 1 000 - 1 och 1 001 som 1 000 + 1.

89 kan skrivas som (90 - 1), vilket innebär att vi kan använda andra kvadreringsregeln.

Vi skriver om 106 som 100 + 6 och 94 som 100 - 6 och använder konjugatregeln igen.

Förenkla uttrycket.

3(x+5)^2-75

(7-x)(x+7)+49

(x-4)(x+4)-(x-4)^2

Här finns en parentes som upphöjs med 2. Den kan vi utveckla med första kvadreringsregeln.

Den första termen ser nästan ut som att man kan använda konjugatregeln. Men om man byter plats på termerna i den andra parentesen står den på rätt form.

Nu får vi använda både konjugat- och kvadreringsregeln.

Parentesmultiplikation

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan