Utforska parentesmultiplikation: kvadreringsregeln och konjugatregeln med belysande exempel

Förenkla uttrycket så långt som möjligt.

3 (x y + 5) (2 y - 3 x)

2 a (3 + b) - 3 a^{2} (5 a - 6 b)

6 t (t^{2} - 4 t - 6) - t^{2} (2 t - 25) - 4 t^{3}

Multiplicera först parenteserna. Därefter kan du multiplicera in 3 med alla fyra termer i den nya parentesen.

Multiplicera in faktorerna utanför parenteserna. Vänta dock med minustecknet och teckenväxla istället termerna i parentesen när du plockar bort parentesen.

Då gör vi samma sak igen.

Multiplicera ihop parenteserna och förenkla.

(x^{2} y^{3} + x y) (x^{4} y^{3} - x^{3} y)

(2 a^{3} - 4 b^{2}) (a^{5} - 3 b^{3})

(5 + q) (3 q + 2 r - 15)

Här har vi lite mer komplicerade uttryck, så för att hålla koll på vad som händer väljer vi att färga den första termen som multipliceras in blå, och den andra grön.

Vi multiplicerar parenteserna på samma sätt som i förra uppgiften, och tar hjälp av färgkodning. Kom ihåg att när två negativa termer multipliceras blir produkten positiv.

Det spelar ingen roll att vi har tre termer i sista parentesen. Alla termer i första parentesen ska fortfarande multipliceras med alla termer i den andra. Vi färgkodar för att hålla koll på vad som händer.

Förenkla uttrycket så långt som möjligt.

(\frac{x}{2} + \frac{x}{3}) (\frac{3}{x} + \frac{9}{x})

(\frac{2 b}{3} + \frac{5 a}{7}) (\frac{a}{7} - \frac{5 b}{6})

(\frac{3 s}{2} - \frac{2 t}{9})^{2}

Här kan vi börja med att multiplicera in x2 med båda termerna i andra parentesen och sedan multiplicera in x3 på samma sätt. Ännu enklare blir det om vi börjar med att slå ihop bråken i andra parentesen till ett och sedan multiplicera in det. Vi visar det enklare sättet.

Vi multiplicerar alla termer i den första parentesen med alla termer i den andra parentesen.

För att addera bråken som innehåller ab behöver vi hitta en gemensam nämnare. Vi förlänger första bråket med 2 så att nämnaren blir 42.

Börja med att skriva om kvadratuttrycket som en produkt av två likadana parenteser. Multiplicera sedan in på samma sätt som tidigare.

Minsta gemensamma nämnare för dessa bråk blir väldigt stor, därför väljer vi att hålla bråken separata.

Förenkla uttrycket

\frac{a ^{2} - 2 b}{4}

så långt som möjligt om

a = 2 x + 1

och

b = 2 x - 1.5 .

Nationella provet HT13 2a

Vi börjar med att sätta in uttrycken för a och b i bråket. Nu förenklar vi genom att utveckla kvadraten med första kvadreringsregeln samt multiplicera in 2:an i den andra parentesen.

Uttrycket förenklas alltså till x^2+1.

Beräkna följande utan att använda din räknare:

11011 \cdot 11013 - 1101 2^{2} .

Vi noterar att 11 011 är samma sak som 11 012 -1 och 11 013 är samma sak som 11 012 +1. Genom att göra denna omskrivning kan produkten förenklas med konjugatregeln.

Uttrycket är alltså lika med - 1

Avgör utan räknare vilket av talen som är närmast

450

16, 22, 25, 31 .

sqrt(450) är det positiva tal som blir 450 när det multipliceras med sig självt. Vi prövar därför att kvadrera talen att se vilket som hamnar närmast 450. Vi börjar med 16, som vi kan skriva som 10+6 och sedan utveckla med första kvadreringsregeln.

16^2 är lika med 256. Vi gör på samma sätt med 22^2, och som vi skriver som (20+2)^2.

Eftersom 22^2 blir 484 kan sqrt(450) inte vara större än 22. Vi behöver därför inte pröva de övriga talen, för kvadraterna av dem kommer bara vara ännu större. 484 är närmare 450 än 256 så därför måste 22 vara närmare sqrt(450) än 16.

Hur mycket större är arean för figur $A_{2}$ jämfört med $A_{1}$ ? Båda figurer är kvadrater.

Två kvadrater, en med sidan x och en med sidan x+1.

Hur mycket mindre area har figuren $A_{2}$ jämfört med $A_{1}$ ? Den första figuren är en kvadrat.

En kvadrat med sidan x och en rektangel med långsidan x+2 och kortsidan x-2.

Subtraherar vi den mindre kvadratens area från den större skapar vi ett uttryck för hur mycket större A_2 är än A_1. Eftersom båda figurerna är kvadrater kan vi beräkna deras areor genom att kvadrera sidlängderna, vilket ger ekvationen A_2-A_1=(x+1)^2-x^2. Vi förenklar med första kvadreringsregeln.

A_2 är (2x+1) areanheter större.

Samma sak igen fast vi subtraherar A_2 från A_1. A_1-A_2=x^2-(x-2)(x+2) Vi förenklar sedan med konjugatregeln.

Arean för A_1 är 4 areaenheter större.

Ställ upp ett uttryck för arean av det gröna området och utveckla det.

Arean för den gröna rektangeln beräknas genom att multiplicera basen med höjden. Basen är x+11 le. eftersom längden av den högra delen är lika lång som x. Höjden är lika stor som hela höjden 14 fast vi drar bort längden av det blå området y, dvs. 14-y.

Vi kan nu ställa upp uttrycket för arean.

Den gröna arean är (14x-xy+154-11y) a.e.

Förenkla uttrycket

\frac{a ^{2} - 2 b}{4}

så långt som möjligt om

a = 2 x + 1, b = 2 x - 1.5 .

Nationella provet VT15 2a/2b/2c

Vi sätter in a och b i uttrycket och förenklar.

Uttrycket förenklas till x^2+1.

Parentesmultiplikation

Förkunskaper

Kvadreringsreglerna

Första kvadreringsregeln

Bevis

Andra kvadreringsregeln

Bevis

Förenkla uttrycken med kvadreringsreglerna

Ledtråd

Lösning

Konjugatregeln

Bevis

Utveckla uttrycket med konjugatregeln

Ledtråd

Lösning

Parentesmultiplikation

Rekommenderade uppgifter

	5 sidor teori
	22 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.