Logaritmlagar

Vi kan flytta ner tvåan framför logaritmen enligt lg(a^b)= b*lg(a). Det ger lg(5^2)=2*lg(5).

Vi använder samma regel och flyttar ner trean framför logaritmen: lg(11^3)=3*lg(11).

Här står det ingen potens i logaritmen, men vi kan skriva 49 som 7^2. Sedan använder vi samma regel igen.

Vi kan flytta upp tvåan som exponent i logaritmen.

Här sätter vi femman som exponent.

Vi fortsätter på samma sätt.

Vi lägger ihop logaritmerna till en enda med logaritmlagen lg(a)+lg(b)=lg(ab).

Samma sak igen. Det spelar ingen roll att vi lägger ihop tre logaritmer, lagen fungerar på samma sätt.

Vi använder samma lag som tidigare.

Eftersom logaritmerna är 3 stycken identiska skulle vi kunna skriva om uttrycket som 3 * lg(5) och därefter sätta 3:an som exponent på 5:an.

Vi skriver om logaritmerna till en enda med logaritmlagen lg(a)-lg(b)=lg(a/b).

Vi använder samma regel igen för att förenkla.

Samma sak igen. Det spelar ingen roll att det är tre logaritmer, lagen fungerar på samma sätt. För tydlighetens skull använder vi dock lagen två gånger.

Vi ska beräkna lg(10* 10) med hjälp av logaritmlagen lg(ab)=lg(a) + lg(b) och börjar med att skriva om logaritmen med denna lag.

lg10 är det tal 10 ska upphöjas till för att få 10, dvs. 1.

Vi kan alltså konstatera att lg(10* 10) är lika med 2.

Nu ska vi istället beräkna lg(10* 10) med hjälp av logaritmlagen lg(a^b)= b*lg(a). Innan vi kan använda denna lag måste vi skriva om 10* 10 som en potens.

Vi har alltså ännu en gång kommit fram till att värdet av lg(10* 10) är 2.

Vi löser ut lg(x) och använder lg(a) + lg(b)=lg(ab).

Vi löser ut logaritmen som innehåller x.

På samma sätt som tidigare börjar vi med att lösa ut logaritmen med x.

Vi använder lagen lg(a) + lg(b)=lg(ab) för att skriva om högerledet till en enda logaritm. Då ser vi att x och 50 har samma tiologaritm, vilket måste innebära att x och 50 är samma tal.

Vi löser ekvationen på motsvarande sätt, men för att slå ihop HL används lagen lg(a)-lg(b)=lg( ab).

Vi använder oss av b*lg(a)=lg(a^b) och flyttar upp 4:an som exponent på 2. Därefter kan vi jämföra argumenten och se att de är lika.

Vi skriver om högerledet till en enda logaritm.

Ekvationen har lösningen x=100.

Nu skriver vi om vänsterledet. Till sist likställer vi logaritmernas argument och löser ekvationen.

Ekvationen har lösningen x=0,5.

Här använder vi logaritmlagen b*lg(a)=lg(a^b) för att skriva om vänsterledet.

Ekvationen har lösningen x=2.

Här kan vi använda logaritmlagen för potenser direkt, b* lg(a)=lg(a^b), vilket ger att z sätts som exponent på y. Vi får då z*lg(y)=lg(y^z).

Till att börja med förenklar vi lg(10) till 1. Därefter använder vi samma logaritmlag som i föregående deluppgift.

Även här förenklar vi logaritmen och använder logaritmlagen för potenser.

Vi skriver om högerledet till en logaritm.

För att dessa två logaritmer ska vara lika med varandra måste de två argumenten vara lika. Vi likställer dem och löser ekvationen.

Ekvationen har lösningen x=4.

Vi skriver om högerledet som en enda logaritm. Sedan likställer vi argumenten och löser ekvationen.

Ekvationen har lösningen x=3.

Vi skriver om vänsterledet och likställer sedan de två logaritmernas argument, samt löser ekvationen.

x=4,5 löser ekvationen.

Varken lg(6) eller lg(36) är enkla att beräkna i huvudet, så vi får göra omskrivningar för att lösa uppgiften. I högerledet är logaritmens argument en perfekt kvadrat vilket betyder att den kan skrivas om som en potens med exponenten 2. Vi utnyttjar alltså att 36 =6^2 och använder därefter logaritmlagarna.

I vänster- och högerled har vi produkter där ena faktorn är lg(6) i båda led. Genom att dela med lg(6) får vi x ensamt i vänsterledet.

x=2 löser alltså ekvationen.

I högerledet är argumentet 125, dvs. en perfekt kub. Vi gör på samma sätt som tidigare och skriver om argumentet i högerledet som en potens och använder sedan samma logaritmlag igen.

x=1,5 löser ekvationen.