Videolektion Minispelare aktiv
En logaritm av ett tal anger den exponent man måste upphöja logaritmens bas till för att få tillbaka talet. Logaritmen av ett positivt tal a skrivs som nedan, där b anger vilken bas som används. Detta utläses som b-logaritmen av a.
logb(a)
En tiologaritm är en logaritm som använder basen 10. T.ex. är log10(1000) lika med 3 då 103 är lika med 1000.
Tiologaritmen kan skrivas log10(), men eftersom den används ofta har den fått en egen notation, lg(). Det är den logaritm de flesta räknare använder när man trycker på log. För ett positivt tal a skrivs definitionen av en tiologaritm som nedan.
a=10b⇔b=lg(a)
Bestäm värdena på logaritmerna utan räknare: lg(10000)lg(100)lg(1)lg(0.001).
lg är tiologaritmen, så lg(10000) är alltså det tal man ska höja upp 10 till för att få 10000. Eftersom 10000 är lika med 104 ärlg(10000)=lg(104)=4. Tänker vi på samma sätt för övriga logaritmer får vi följande. Kom ihåg att alla tal (förutom 0) upphöjt till 0 är 1.
| lg(10000) | = | lg(104) | = | 4 |
| lg(100) | = | lg(102) | = | 2 |
| lg(1) | = | lg(100) | = | 0 |
| lg(0.001) | = | lg(10-3) | = | -3 |
Vi ser att vi även kan bestämma tiologaritmerna genom att räkna nollor, så länge vi tar logaritmen av ett tal som består av en etta följt med ett antal nollor före eller efter. Talet 10000 har 4 nollor, 100 har 2 nollor, 1 har 0 nollor och 0.001 har 3 nollor och är ett tal mindre än 1, så då får vi komma ihåg att det ska bli -3.
Para ihop tiologaritmerna med de avrundade värdena utan att använda räknare. Det finns fler värden än logaritmer. lg(900)lg(100)lg(0.01)lg(0.25) -5-3.57-2-0.6000.3022.953
Börja med de logaritmer som är av exakta tiopotenser, alltså lg(100) och lg(0.01). De kan skrivas som lg(102) respektive lg(10-2), vilka kan bestämmas exakt. Logaritmen av en tiopotens är exponenten, vilket ger lg(100)=2ochlg(0.01)=-2. Övriga logaritmer kan vi inte bestämma exakt, men baserat på de tiopotenser de ligger mellan kan vi avgöra vilket värde som passar ihop med dem. Talet 900 ligger mellan 100 och 1000. Alltså måste lg(900) vara större än lg(100)=2 och mindre än lg(1000)=3, så det enda värdet logaritmen kan passa ihop med är 2.95.lg(900)≈2.95 På motsvarande sätt ligger lg(0.25) mellan lg(0.1)=lg(10-1)=-1 och lg(1)=0, vilket innebär att den måste passa ihop med värdet -0.60.lg(0.25)≈-0.60
Nu har vi parat ihop alla logaritmer med rätt värden, med följande resultat.
| lg(900) | lg(100) | lg(0.25) | lg(0.01) |
| ∼2.95 | 2 | ∼-0.60 | -2 |
Hur man beräknar logaritmer med räknaren beror på vilken bas logaritmen har.
På räknaren kan man beräkna tiologaritmen av ett tal genom att trycka på LOG.
Det man sedan skriver in är argumentet till logaritmen, alltså det som räknaren kommer att beräkna logaritmen av. Om man ska utföra fler räkneoperationer efter logaritmen är det viktigt att komma ihåg att avsluta argumentet med en högerparentes, vilket skrivs genom att trycka på knappen ).
Ur definitionen av logaritmer får man två samband som är bra att känna till. De kan tolkas som att "tiologaritmen av" och "tio upphöjt till" tar ut varandra.
Skriv talet 14 både som en potens med basen 10 och som en tiologaritm.
Vi ska skriva 14 på formen 10a. Vad ska a vara? Det är det tal man ska höja upp 10 till för att få 14. Det är ju, enligt definitionen av logaritmer, lg(14) så därför är 14=10lg(14). Nu ska vi skriva 14 som en tiologaritm. Det betyder att den ska stå på formen lg(a). Vad ska a vara? Om vi tar tiologaritmen av 1014 får vi den exponent som 10 ska upphöjas till för att få 1014, dvs. vi får tillbaka exponenten 14: 14=lg(1014). Vi kan även i båda fallen tänka att "lg" och "10 upphöjt till" tar ut varandra.