Logaritmer

$\lg$ är tiologaritmen, så $\lg(10\,000)$ är alltså det tal man ska höja upp $10$ till för att få $10\,000.$ Eftersom $10\,000$ är lika med $10^4$ är$\lg(10\,000)=\lg\left(10^{\color{#0000FF}{4}}\right)={\color{#0000FF}{4}}.$ Tänker vi på samma sätt för övriga logaritmer får vi följande. Kom ihåg att alla tal (förutom $0$) upphöjt till $0$ är $1.$

Vi ser att vi även kan bestämma tiologaritmerna genom att räkna nollor, så länge vi tar logaritmen av ett tal som består av en etta följt med ett antal nollor före eller efter. Talet $10\,000$ har $4$ nollor, $100$ har $2$ nollor, $1$ har $0$ nollor och $0.001$ har $3$ nollor och är ett tal mindre än $1,$ så då får vi komma ihåg att det ska bli $\text{-} 3.$

Börja med de logaritmer som är av exakta tiopotenser, alltså $\lg{(100)}$ och $\lg{(0.01)}.$ De kan skrivas som $\lg{\left(10^2\right)}$ respektive $\lg{\left(10^{\text{-} 2}\right)},$ vilka kan bestämmas exakt. Logaritmen av en tiopotens är exponenten, vilket ger $\lg{(100)} = 2 \quad \text{och} \quad \lg{(0.01)}=\text{-} 2.$ Övriga logaritmer kan vi inte bestämma exakt, men baserat på de tiopotenser de ligger mellan kan vi avgöra vilket värde som passar ihop med dem. Talet 900 ligger mellan 100 och 1000. Alltså måste $\lg{(900)}$ vara större än $\lg{(100)}=2$ och mindre än $\lg{(1000)}=3,$ så det enda värdet logaritmen kan passa ihop med är $2.95.$$\lg{(900)} \approx 2.95$ På motsvarande sätt ligger $\lg{(0.25)}$ mellan $\lg{(0.1)}=\lg{\left(10^{\text{-}1}\right)}=\text{-}1$ och $\lg{(1)}=0,$ vilket innebär att den måste passa ihop med värdet $\text{-}0.60.$$\lg{(0.25)} \approx \text{-}0.60$

Nu har vi parat ihop alla logaritmer med rätt värden, med följande resultat.

Vi ska skriva $14$ på formen $10^a.$ Vad ska $a$ vara? Det är det tal man ska höja upp $10$ till för att få $14.$ Det är ju, enligt definitionen av logaritmer, $\lg(14)$ så därför är $14=10^{\lg(14)}.$ Nu ska vi skriva $14$ som en tiologaritm. Det betyder att den ska stå på formen $\lg(a).$ Vad ska $a$ vara? Om vi tar tiologaritmen av $10^{14}$ får vi den exponent som $10$ ska upphöjas till för att få $10^{14},$ dvs. vi får tillbaka exponenten $14$: $14=\lg\left(10^{14}\right).$ Vi kan även i båda fallen tänka att "$\lg$" och "$10$ upphöjt till" tar ut varandra.