MathReads
Premium
Mitt konto

Mitt konto Logga ut
2b
Kurs 2b Visa detaljer
7. Logaritmer
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
arrow_back
eKurser /
( Ma 2b , Ma 2c ) /
Kapitel 2
7. 

Logaritmer

Denna sida handlar om logaritmer och förklarar begreppet på ett lättförståeligt sätt. Den täcker olika aspekter av logaritmer, inklusive tiologaritmer, och hur man räknar med dem. Sidan innehåller också digitala verktyg för att beräkna logaritmer och förklarar regler och samband som är bra att känna till. Det finns exempel och övningar som hjälper till att förstå hur man använder logaritmer i olika matematiska sammanhang.
Begrepp Modellering Problemlösning Procedur Resonemang och Kommunikation
Inställningar & verktyg för lektion
8 sidor teori
24 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Logaritmer
Sida av 8

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

  • Logaritm
  • Tiologaritm
  • Grundläggande samband för tiologaritmen

Förkunskaper
Koncept

Logaritm

En logaritm av ett tal anger den exponent man måste upphöja logaritmens bas till för att få tillbaka talet. Logaritmen av ett positivt tal skrivs som nedan, där anger vilken bas som används. Detta utläses som logaritmen av

Exempelvis är eftersom är den exponent man ska upphöja basen till för att få resultatet Logaritmen är inte definierad för negativa
Resultatet av en logaritm beror på logaritmens bas. Fyralogaritmer anger exponenter som sätts på basen medan exempelvis niologaritmer anger exponenter som sätts på basen Byter man logaritmens bas blir resultatet av det logaritmerade talet något annat.
En vanligt använd logaritm är tiologaritmen, som ofta betecknas med istället för För alla logaritmer gäller logaritmlagarna.
Koncept

Tiologaritm

En tiologaritm är en logaritm som använder basen . T.ex. är lika med då är lika med
Samband mellan bas och exponent för tiologaritmer och potenser
Tiologaritmen kan skrivas men eftersom den används ofta har den fått en egen notation, Det är den logaritm de flesta räknare använder när man trycker på För ett positivt tal skrivs definitionen av en tiologaritm som nedan.

Talen och kan skrivas som tiopotenser, dvs. och Beräknar man tiologaritmen av dessa blir resultatet exponenten på tiopotensen.

Man kan även beräkna tiologaritmer på räknaren.
Exempel

Bestäm tiologaritmernas värden

Bestäm värdena på logaritmerna utan räknare:

Ledtråd

Skriv varje tal som en potens av

Lösning
är tiologaritmen, så är alltså det tal man ska höja upp till för att få Eftersom är lika med är
Tänker vi på samma sätt för övriga logaritmer får vi följande. Kom ihåg att alla tal (förutom ) upphöjt till är

Vi ser att vi även kan bestämma tiologaritmerna genom att räkna nollor, så länge vi tar logaritmen av ett tal som består av en etta följt med ett antal nollor före eller efter. Talet har nollor, har nollor, har nollor och har nollor och är ett tal mindre än så då får vi komma ihåg att det ska bli

Exempel

Vilken logaritm hör ihop med vilket värde?

Para ihop tiologaritmerna med de avrundade värdena utan att använda räknare. Det finns fler värden än logaritmer.

Svar




Ledtråd

Vilka tal med exakta logaritmer är nära och ?

Lösning
Börja med de logaritmer som är av exakta tiopotenser, alltså och De kan skrivas som respektive vilka kan bestämmas exakt. Logaritmen av en tiopotens är exponenten, vilket ger
Övriga logaritmer kan vi inte bestämma exakt, men baserat på de tiopotenser de ligger mellan kan vi avgöra vilket värde som passar ihop med dem. Talet ligger mellan och Alltså måste vara större än och mindre än så det enda värdet logaritmen kan passa ihop med är
På motsvarande sätt ligger mellan och vilket innebär att den måste passa ihop med värdet

Nu har vi parat ihop alla logaritmer med rätt värden, med följande resultat.

Digitala verktyg

Logaritmer på räknare

Hur man beräknar logaritmer med räknaren beror på vilken bas logaritmen har.

Tiologaritmer

På räknaren kan man beräkna tiologaritmen av ett tal genom att trycka på

Tiologaritm på TI-räknare

Det man sedan skriver in är argumentet till logaritmen, alltså det som räknaren kommer att beräkna logaritmen av. Om man ska utföra fler räkneoperationer efter logaritmen är det viktigt att komma ihåg att avsluta argumentet med en högerparentes, vilket skrivs genom att trycka på knappen

Tiologaritmer på TI-räknare
Regel

Grundläggande samband för tiologaritmer

Ur definitionen av logaritmer får man två samband som är bra att känna till. De kan tolkas som att tiologaritmen av och tio upphöjt till tar ut varandra.

Regel

Sitter en logaritm, som exponent på kan man direkt bestämma tiopotensens värde genom att läsa av logaritmens argument, dvs.

Samband mellan tiopotenser och tiologaritmer
Man kan endast logaritmera positiva tal. Det finns ju inget tal man kan upphöja till som ger noll eller ett negativt resultat. Denna identitet gäller alltså endast när

Regel

Logaritmerar man en tiopotens blir resultatet exponenten i tiopotensen. Detta är den praktiska tolkningen av definitionen av en tiologaritm.

Samband mellan tiologaritmer och tiopotenser
Exempel

Skriv talet som en tiopotens och tiologaritm

Skriv talet både som en potens med basen och som en tiologaritm.

Svar

Ledtråd

Använd de grundläggande relationerna för tiologaritmer.

Lösning
Vi ska skriva på formen Vad ska vara? Det är det tal man ska höja upp till för att få Det är ju, enligt definitionen av logaritmer, så därför är
Nu ska vi skriva som en tiologaritm. Det betyder att den ska stå på formen Vad ska vara? Om vi tar tiologaritmen av får vi den exponent som ska upphöjas till för att få dvs. vi får tillbaka exponenten
Vi kan även i båda fallen tänka att och upphöjt till tar ut varandra.
Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Logaritmer
Övningar

Beräkna tiopotensen utan räknare.

Vi kan tänka på minst två sätt här. Vi kan välja att börja med att beräkna lg(100), som är det tal man ska sätta som exponent på 10 för att få 100. Alltså är lg(100) lika med 2, vilket ger 10^(lg(100))=10^2=100. Men vi skulle även kunna utgå ifrån definitionen av logaritmer som säger att 10^(lg(a))=a, dvs. att logaritmen av ett tal a är den exponent som 10 ska upphöjas till för att få a. Vi kan då direkt avläsa att 10^(lg( 100))= 100.


lg(72) är det tal man ska sätta som exponent på 10 får att det ska bli 72. Vad får man då om man sätter det som exponent på 10? Jo, 72! 10^(lg(72))=72.


Det spelar ingen roll att det står ett decimaltal i logaritmen. Samma regler gäller: 10^(lg(1,3))=1,3.

Beräkna uttrycket utan räknare.

lg(5) är det tal man ska sätta på som exponent på 10 för att man ska få 5. Det betyder att 10^(lg(5))=5.


Vi beräknar tiopotenserna först innan vi adderar dem.



Vi gör på samma sätt som i förra deluppgiften och beräknar tiopotenserna innan vi multiplicerar ihop dem.


Beräkna värdet av logaritmen utan att använda räknare.

När man beräknar tiologaritmen av ett tal bestämmer man vilken exponent man ska upphöja 10 med för att få talet. Talet 10^(78) får vi genom att upphöja 10 med 78 så lg(10^(78)) = 78. Vi läser alltså bara av exponenten i argumentet. Detta kan visas som en räkneregel.



Samma resonemang gäller här. Talet 10^(- 36) bildas genom att sätta exponenten - 36 på 10.



Vi skriver om talet som en tiopotens. Då kan logaritmen bestämmas precis som i tidigare beräkningar.


Beräkna värdet av logaritmen utan räknare.

Vilket tal ska man höja upp 10 med för att få 10^2? Jo, 2. Därför är lg(10^2) lika med 2? Vi kan visa detta med en räkneregel.



Vilken exponent ska vi sätta på 10 för att få 0,001? Vi kan bestämma det genom att skriva om 0,001 som en tiopotens. 0,001 är en tusendel så vi börjar med skriva det som ett bråk som därefter skrivs om till en tiopotens.



Vi skriver om 0,1 som en tiopotens och gör sedan som i tidigare deluppgifter.


Beräkna värdet av logaritmen utan räknare.

lg(1000) anger talet man ska sätta som exponent på basen 10 för att få 1000. Vi vet att 1000=10^3 vilket innebär att lg(1000)=3.



Samma sak här. Vilken exponent ska man höja upp 10 med för att få 10^5? Det är bara att läsa av exponenten på tiopotensen i argumentet, dvs. 5. Vi kan även använda identiteten lg(10^a)=a.



Vad ska man upphöja 10 med för att få 1? Alla tal (förutom 0 ) upphöjt till 0 blir 1. Det betyder att 1 kan skrivas som 10^0.



För att beräkna lg( 1100) skriver vi om argumentet som en tiopotens och använder därefter samma logaritmlag som tidigare.


Beräkna med räknare och avrunda till decimaler.

För att beräkna logaritmer på räknaren använder vi LOG, som brukar användas för tiologaritmen lg. Det är bra att vänja sig vid att sätta ut parenteserna runt talet som logaritmeras.


Vi anvrundar till två decimaler och får 2,60.


Även här använder vi LOG-knappen och parenteser. 8:an ska inte vara med i parentesen.

Avrundning till två decimaler ger 8,70. Testa gärna att skriva in uträkningen utan parenteser runt 5:an och kontrollera om du samma svar.


4lg(87) betyder 4 * lg(87). Räknaren tolkar det första skrivsättet som en multiplikation så du kan skriva uttrycket utan multiplikationstecken.


Vi avrundar och får 7,76.

Beräkna med räknare och avrunda till decimaler.

Här behöver vi inte räkna ut 897 * 463 för sig utan vi kan skriva in hela operationen direkt i räknaren som LOG(897 * 463).


Lösningen är alltså ca 5,62.


Även här kan vi skriva in hela uttrycket på en gång.


På displayen ser vi svaret, som är ca 0,33.


Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgifter.


Vi avrundar och får resultatet 1,46.


Även här skriver vi in logaritmerna precis som de står i uppgiften.


Resultatet är alltså ca 1,24.

Skriv talet som en potens med basen

Vad ska man höja upp 10 till för att det ska bli 1 000? Det är en etta följt av tre nollor, vilket betyder att vi kan skriva 1 000=10^3. 3 är alltså den exponent man ska sätta på tio för att potensen ska bli 1 000. Det är det som är tiologaritmen av tusen, lg(1 000), vilket betyder att man även hade kunnat skriva 1 000=10^(lg(1 000)).


Nu ska vi hitta den exponent som man ska sätta på 10 för att det ska bli 17. Det finns inget jämnt tal som man kan upphöja 10 till för att få 17, så vi måste använda logaritmer. Dår får vi lg(17). Det betyder att 17=10^(lg(17)).


Vi fortsätter på samma sätt. lg(0,4) är det man ska höja upp tio till för att det ska blir 0,4, så 0,4=10^(lg(0,4)).

Skriv som en tiologaritm.

Vi ska skriva talet 1 som en logaritm dvs. på formen lg(a). En logaritm är en exponent. Vilken tiopotens har exponenten 1? Jo, 10^1=10. Därför är 1=lg(10).


Vi använder samma resonemang som i förra deluppgiften. Vi ska alltså hitta den tiopotens som har exponenten 6. Det är 10^6, så 6=lg(10^6).


Nu har vi ett negativt tal, men det spelar ingen roll. En tiopotens med exponenten -3 är 10^(-3). Det betyder att -3=lg(10^(-3)).

På tallinjen finns sex punkter A – F.

En tallinje med sex punkter
Varje tal nedan motsvaras av en markerad punkt på tallinjen.
Para ihop vart och ett av talen med en punkt på tallinjen. Du får inte använda räknare.
Nationella provet VT15 2b/2c

Vi börjar med 99^0 och 2^(-1). Alla tal (förutom 0 ) upphöj till 0 är 1. Det betyder att 99^0=1 och vi kan para ihop det med punkt C. 2^(-1) kan skrivas om som 1/2=0,5, så det måste vara punkt B. Vad är sqrt(5)? sqrt(4) är lika med 2 så sqrt(5) måste vara lite större än 2 dvs. vi kan koppla ihop den med punkt E. Någonting upphöjt till 12 är samma sak som att ta roten ur det talet. Det betyder att 10^(12)=sqrt(10). sqrt(9) är lika med 3 så sqrt(10) är lite större än 3. Det finns bara en sådan punkt på tallinjen: F. Till sist undersöker vi lg(90). Det är det tal man ska höja upp 10 till för att få 90. Vi vet att 10^2=100, dvs. lg(100)=2. Det betyder att lg(90) måste vara lite mindre än 2. Därför hör den ihop med punkt D.

Värde Punkt
99^0 C
sqrt(5) E
2^(-1) B
10^(12) F
lg(90) D

Nedanstående graf visar

Grafen till funktionen y=log(x).
 Bestäm värdet av med hjälp av grafen.
Uppskatta värdet av med hjälp av grafen. Svara med en decimal.
Uppskatta vilken tiologaritm som ger värdet Avrunda det som står i parentesen till närmaste heltal.

För att bestämma lg(100) utgår vi från x=100 på x-axeln och går lodrät upp mot grafen. När vi träffar grafen läser vi av motsvarande y-värde på y-axeln.


Från grafen ser vi att log(100)=2 vilket stämmer eftersom 10 upphöjt till 2 är 100.


För att bestämma lg(250) gör vi på samma sätt som för lg(100). Vi utgår från x=250 på x-axeln, går lodrät upp mot grafen och läser av punktens y-värde.


Läser vi av motsvarande värde på y-axeln ser vi att y-värdet är ungefär 2,4. Det innebär att lg(250) ≈ 2,4, vilket också kan tolkas som att 10^(2,4)≈ 250.


Nu ska vi alltså hitta det argument, dvs. det x-värde som insatt i y=lg(x) ger y=1,8.


Vi ser att x ska ligga mellan 50 och 75 för att ge 1,8. Pilen verkar peka lite över mitt emellan, vilket kan avläsas som ett värde mellan 60 och 65, t.ex. 63. En faktisk uträkning av 10^(1,8) ger ungefär 63,096, så avläsningen gav ett bra resultat.

Logaritmer

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.