Logaritmer

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Begrepp

Logaritm

En logaritm av ett tal anger den exponent man måste upphöja logaritmens bas till för att få tillbaka talet. Logaritmen av ett positivt tal $a$ skrivs som nedan, där $b$ anger vilken bas som används. Detta utläses som $b$ -logaritmen av $a .$

$lo g_{b} (a)$

Exempelvis är

lo g_{4} (16) = 2,

eftersom

2

är den exponent man ska upphöja basen

4

till för att få resultatet

16 .

Logaritmen är inte definierad för negativa

a .

Begrepp

Tiologaritm

En tiologaritm är en logaritm som använder basen $10$ . T.ex. är $lo g_{10} (1000)$ lika med $3$ då $1 0^{3}$ är lika med $1000 .$

Tiologaritmen kan skrivas $lo g_{10} (),$ men eftersom den används ofta har den fått en egen notation, $l g () .$ Det är den logaritm de flesta räknare använder när man trycker på $lo g$ . För ett positivt tal $a$ skrivs definitionen av en tiologaritm som nedan.

$a = 1 0^{b} \Leftrightarrow b = l g (a)$

Bestäm tiologaritmernas värden

fullscreen

Uppgift

Bestäm värdena på logaritmerna utan räknare: $l g (10000) l g (100) l g (1) l g (0.001) .$

Visa Lösning

Lösning

$l g$ är tiologaritmen, så $l g (10000)$ är alltså det tal man ska höja upp $10$ till för att få $10000 .$ Eftersom $10000$ är lika med $1 0^{4}$ är $l g (10000) = l g (1 0^{4}) = 4 .$ Tänker vi på samma sätt för övriga logaritmer får vi följande. Kom ihåg att alla tal (förutom $0$ ) upphöjt till $0$ är $1 .$

$l g (10000)$	$=$	$l g (1 0^{4})$	$=$	$4$
$l g (100)$	$=$	$l g (1 0^{2})$	$=$	$2$
$l g (1)$	$=$	$l g (1 0^{0})$	$=$	$0$
$l g (0.001)$	$=$	$l g (1 0^{- 3})$	$=$	$- 3$

Vi ser att vi även kan bestämma tiologaritmerna genom att räkna nollor, så länge vi tar logaritmen av ett tal som består av en etta följt med ett antal nollor före eller efter. Talet $10000$ har $4$ nollor, $100$ har $2$ nollor, $1$ har $0$ nollor och $0.001$ har $3$ nollor och är ett tal mindre än $1,$ så då får vi komma ihåg att det ska bli $- 3 .$

Vilken logaritm hör ihop med vilket värde?

fullscreen

Uppgift

Para ihop tiologaritmerna med de avrundade värdena utan att använda räknare. Det finns fler värden än logaritmer. $l g (900) l g (100) l g (0.01) l g (0.25)$ $- 5 - 3.57 - 2 - 0.6000.3022.953$

Visa Lösning

Lösning

Börja med de logaritmer som är av exakta tiopotenser, alltså $l g (100)$ och $l g (0.01) .$ De kan skrivas som $l g (1 0^{2})$ respektive $l g (1 0^{- 2}),$ vilka kan bestämmas exakt. Logaritmen av en tiopotens är exponenten, vilket ger $l g (100) = 2 och l g (0.01) = - 2 .$ Övriga logaritmer kan vi inte bestämma exakt, men baserat på de tiopotenser de ligger mellan kan vi avgöra vilket värde som passar ihop med dem. Talet 900 ligger mellan 100 och 1000. Alltså måste $l g (900)$ vara större än $l g (100) = 2$ och mindre än $l g (1000) = 3,$ så det enda värdet logaritmen kan passa ihop med är $2.95 .$ $l g (900) \approx 2.95$ På motsvarande sätt ligger $l g (0.25)$ mellan $l g (0.1) = l g (1 0^{- 1}) = - 1$ och $l g (1) = 0,$ vilket innebär att den måste passa ihop med värdet $- 0.60 .$ $l g (0.25) \approx - 0.60$

Nu har vi parat ihop alla logaritmer med rätt värden, med följande resultat.

$l g (900)$	$l g (100)$	$l g (0.25)$	$l g (0.01)$
$\sim 2.95$	$2$	$\sim - 0.60$	$- 2$

Digitala verktyg

Logaritmer på räknare

Digitala verktyg

Logaritmer på räknare

Hur man beräknar logaritmer med räknaren beror på vilken bas logaritmen har.

Digitala verktyg

Tiologaritmer

På räknaren kan man beräkna tiologaritmen av ett tal genom att trycka på LOG.

Det man sedan skriver in är argumentet till logaritmen, alltså det som räknaren kommer att beräkna logaritmen av. Om man ska utföra fler räkneoperationer efter logaritmen är det viktigt att komma ihåg att avsluta argumentet med en högerparentes, vilket skrivs genom att trycka på knappen ).

Regel

Grundläggande samband för tiologaritmer

Ur definitionen av logaritmer får man två samband som är bra att känna till. De kan tolkas som att "tiologaritmen av" och "tio upphöjt till" tar ut varandra.

Regel

1 0^{l g (a)} = a

Sitter en logaritm,

l g (a),

som exponent på

10

kan man direkt bestämma tiopotensens värde genom att läsa av logaritmens argument, dvs.

a .

Samband mellan tiopotenser och tiologaritmer

Man kan endast logaritmera positiva tal. Det finns ju inget tal man kan upphöja 10 till som ger noll eller ett negativt resultat. Denna identitet gäller alltså endast när

a > 0 .

Regel

l g (1 0^{a}) = a

Logaritmerar man en tiopotens blir resultatet exponenten i tiopotensen. Detta är den praktiska tolkningen av definitionen av en tiologaritm.

Samband mellan tiologaritmer och tiopotenser

Skriv talet som en tiopotens och tiologaritm

fullscreen

Uppgift

Skriv talet $14$ både som en potens med basen $10$ och som en tiologaritm.

Visa Lösning

Lösning

Vi ska skriva $14$ på formen $1 0^{a} .$ Vad ska $a$ vara? Det är det tal man ska höja upp $10$ till för att få $14 .$ Det är ju, enligt definitionen av logaritmer, $l g (14)$ så därför är $14 = 1 0^{l g (14)} .$ Nu ska vi skriva $14$ som en tiologaritm. Det betyder att den ska stå på formen $l g (a) .$ Vad ska $a$ vara? Om vi tar tiologaritmen av $1 0^{14}$ får vi den exponent som $10$ ska upphöjas till för att få $1 0^{14},$ dvs. vi får tillbaka exponenten $14$ : $14 = l g (1 0^{14}) .$ Vi kan även i båda fallen tänka att " $l g$ " och " $10$ upphöjt till" tar ut varandra.