4. Linjär optimering
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
4.
Linjär optimering
Linjär optimering är en del av matematisk optimering där man strävar efter att hitta det mest optimala värdet, oftast inom ramen för vissa begränsningar. Det kan handla om att maximera vinsten eller minimera kostnaden. I det här fallet studeras ett företag som producerar och säljer apelsinsaft och apelsinläsk. Företaget har begränsningar i form av tillverkningstid och tillgång på apelsiner. Genom att använda linjär optimering kan företaget bestämma hur mycket av varje produkt de ska tillverka för att maximera sin veckovinst, givet de begränsningar de har. Detta är ett praktiskt exempel på hur matematisk optimering kan användas i verkligheten för att fatta optimala beslut.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 9 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Linjär optimering
Sida av 6
Teori
Linjär optimering
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Optimering
- Linjär optimering
- Bestämma extremvärden med linjär optimering
Förkunskaper
Koncept
Optimering
Ordet optimering kommer från latinets
optimussom betyder
det bästa. Optimering handlar om att hitta den bästa lösningen på ett problem. Det kan handla om att hitta de mått som ger maximal volym för t.ex. ett bagageutrymme i en bil, eller att lägga ett så bra skolschema som möjligt utifrån olika önskemål och begränsningar. Inom matematik handlar optimering om att hitta maximum eller minimum för olika funktioner.
Koncept
Linjär optimering
Funktioner som använder mer än en variabel är ofta väldigt svåra att hitta maximum eller minimum till, men det finns undantag. Om funktionen enbart består av förstagradstermer, som exempelvis z = 200x + 150y, kallas den linjär. En sådan funktion kallas ofta målfunktion i optimeringsproblem. Då finns ett knep som underlättar optimeringen, men det finns ett par krav för att det ska fungera:
- Funktionen måste ha en begränsad definitionsmängd. Om den inte vore begränsad skulle x och y kunna vara hur stora som helst och därmed även värdet på z, dvs. inget maximum skulle finnas.
- Definitionsmängden måste begränsas av räta linjer.
Metod
Bestämma extremvärden med linjär optimering
För att bestämma största och minsta värde av en funktion som z=2x+4y krävs en begränsad definitionsmängd. Den anges ofta med ett system av olikheter, exempelvis
y+0,4x≤20 y-0,5x≥1 y≤3x-11,
som tillsammans beskriver vilka kombinationer av x och y som är tillåtna att sätta in i funktionen. 
1
Rita området som villkoren beskriver
expand_more Olikheterna beskriver ett område som man kan markera i ett koordinatsystem.
Detta kan man göra för hand eller med räknare.
2
Bestäm hörnens koordinater
expand_more De maximala och minimala värdena på funktionen z finns i områdets hörn. Man behöver därför bestämma hörnens koordinater.
I vissa fall kan man läsa av koordinaterna direkt. Här är det dock svårt att göra det, så istället får man bestämma skärningspunkterna mellan de olika linjerna genom att lösa tre olika ekvationssystem. För hörn H_1, H_2 och H_3 gäller följande system. &H_1: y=3x-11 y=0,5x+1 &H_2: y=-0,4x+20 y=3x-11 &H_3: y=0,5x+1 y=-0,4x+20 Lösningarna på ekvationssystemen ger hörnens koordinater. I de två nedre systemen har koordinaterna avrundats till en decimal. &H_1: x=4,8 y=3,4 &H_2: x=9,1 y=16,4 &H_3: x=21,1 y=11,6
3
Sätt in koordinater i funktionen
expand_more Nu sätter man in koordinaterna från respektive hörn i funktionen z=2x+4y för att se vilka av dessa som ger största och minsta värde på z.
| (x,y) | 2x+4y | z |
|---|---|---|
| (4,8;3,4) | 2*4,8+4*3,4 | 23,2 |
| (9,1;16,4) | 2*9,1+4*16,4 | 83,8 |
| (21,1;11,6) | 2*21,1+4*11,6 | 88,6 |
Det största och minsta värdet är alltså 88,6 respektive 23,2.
Exempel
Maximera vinsten med linjär optimering
Ett företag producerar och säljer exklusiv apelsinsaft och apelsinläsk. Tillverkningstid, apelsinåtgång och hur stor vinst företaget gör per liter visas i tabellen.
| Produkt | Tid (h) | Apelsiner (st.) | Vinst (kr) |
|---|---|---|---|
| Saft | 4 | 16 | 35 |
| Läsk | 2 | 4 | 28 |
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"kr","answer":{"text":["1176"]}}
Ledtråd
Börja med att formulera bivillkoren med olikheter. Använd sedan metoden för att bestämma extremvärden med linjär optimering för att hitta den maximala vinsten.
Lösning
Vi kallar antal liter saft för x och antal liter läsk för y. Funktionen som ska maximeras ska beskriva den totala vinsten. Eftersom varje liter saft ger vinsten 35kr och motsvarande vinst för läsken är 28kr blir vinstfunktionen
z=35x+28y.
Variablerna x och y kan inte anta vilka värden som helst. Eftersom båda beskriver antal liter kan de inte vara negativa:
x ≥ 0 y ≥ 0.
Vidare finns det begränsningar på antalet apelsiner och antal timmar personalen kan jobba. Tillverkningstiden för saften är 4 timmar per liter och därför tar det 4x timmar att producera x liter saft. På samma sätt tar det 2y timmar att producera y liter läsk. Detta får inte överstiga 84 timmar, vilket ger villkoret
4x+2y≤ 84.
På liknande sätt kan man bestämma ett villkor för apelsintillgången då man vet att det går åt 16 st. per liter saft och 4 st. per liter läsk. Det totala antalet apelsiner får inte överstiga 192.st. /vecka,. så 16x+4y≤ 192. De fyra bivillkoren samlas i ett system av olikheter:
4x+2y≤ 84 16x+4y≤ 192 x≥ 0 y≥ 0.
Detta område vill vi nu rita upp så vi börjar med att lösa ut y i de två översta olikheterna.
Nu tar vi den andra.
Den första olikheten beskriver alla punkter på och under linjen y=-2x+42 och den andra beskriver alla punkter på och under linjen y=-4x+48. Olikheterna x≥0 och y≥0 betyder att både x och y måste vara 0 eller positiva, så alla punkter måste vara i första kvadranten. 
Funktionens största värde antas i något av hörnen så vi bestämmer koordinaterna för dem. Vi börjar med linjernas skärningspunkt.
Skärningspunktens x-koordinat är 3. Vi sätter in detta i en av funktionerna för att beräkna y-koordinaten:
y=-2x+42 ⇒ y=-2*3+42=36.
Det ena hörnet är alltså (3,36). Det övre hörnet är där linjen y=-2x+42 skär y-axeln. Där är x=0 och y-värdet blir linjens m-värde dvs. y=42. Det högra hörnet är där y=-4x+48 skär x-axeln. Där är y-koordinaten 0 och vi bestämmer x-värdet genom att lösa ekvationen
0=-4x+48 vilket ger x=12.
Det sista hörnet är i origo dvs. (0,0). För att avgöra vilket hörn som ger störst värde på vinstfunktionen sätter vi in punkternas koordinater och jämför funktionsvärdena.
| (x,y) | 35x+28y | z |
|---|---|---|
| (0,0) | 35*0+28*0 | 0 |
| (0,42) | 35*0+28*42 | 1 176 |
| (12,0) | 35*12+28*0 | 420 |
| (3,36) | 35*3+28*36 | 1 113 |
Det största värdet som z=28x+35y antar är alltså 1 176 vilket betyder att den maximala veckovinsten är 1 176 kr.
Övning
Träna på funktionsoptimering i ett begränsat område
Bestäm det maximala eller minimala värde som den givna funktionen kan anta inom det markerade området. Tänk på hur koordinaterna för punkterna A, B och C relaterar till funktionens värden.
Linjär optimering
Övningar
Grethe säljer blåbär och hallon längs väg 21. En liter blåbär säljs för 35kr och en liter hallon säljs för 30kr. Totalt får det plats max 40 liter bär i cykelsläpet.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"z=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["35x+30y"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"kr","answer":{"text":["1400"]}}
security
report
code
security
report
code
Varje liter blåbär säljs för 35kr. Det betyder att om Grethe säljer x liter blåbär tjänar hon 35xkr. På samma sätt tjänar hon 30ykr för y liter hallon. Totala vinsten ges av summan av försäljningen för både hallonen och blåbären, dvs. z=35x+30y.
Vinsten beror på hur mycket Grethe kan sälja. Hon kan max ta med sig 40 liter bär vilket betyder att
x+y≤40 ⇔ y≤ 40-x.
Vidare kan inte x och y vara negativa eftersom de beskriver antal liter, så x≥ 0 och y≥0 vilket avgränsar första kvadranten. Området som olikheterna beskriver blir en triangel med hörn i origo samt punkterna (0,40) och (40,0).
De maximala värdet på z kommer att antas i något av hörnen på området. Vi sätter in dem för att hitta det.
| (x,y) | 35x+30y | z |
|---|---|---|
| (0,0) | 35*0+30*0 | 0 |
| (0,40) | 35*0+30*40 | 1 200 |
| (40,0) | 35*40+30*0 | 1 400 |
Det största värdet är 1 400 så Grethes maximala vinst är 1 400kr. Man kan också resonera sig fram till detta. Eftersom hon maximalt kan sälja 40 liter bär vill hon enbart sälja dem som drar in mest pengar, dvs. blåbären. Den maximala vinsten blir därför 40*35=1 400kr.
security
report
code
Funktionen z = 4x + 3y är definierad på det markerade området. Vad är funktionens minsta värde?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["46"]}}
security
report
code
security
report
code
Funktionens minsta värde kan bara antas i något av områdets hörn. Dessa kan läsas i koordinatsystemet. (4,10)& (10,18) (12,2)& (16,16) Vi sätter in dessa punkter en i taget i funktionen z = 4x + 3y. Det minsta värdet måste vara funktionens minimum.
| (x,y) | 4x+3y | z |
|---|---|---|
| (4,10) | 4* 4 + 3* 10 | 46 |
| (10,18) | 4* 10 + 3* 18 | 94 |
| (16,16) | 4* 16 + 3* 16 | 112 |
| (12,2) | 4* 12 + 3* 2 | 54 |
Funktionens minsta värde är alltså 46, vilket nås i punkten (4,10).
security
report
code
Bestäm det maximala värdet på funktionen m=5x+11y då följande bivillkor gäller.
y-x≤1 y+0,5x≤7 x≥0 y≥0
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["75"]}}
security
report
code
security
report
code
Funktionens maximum måste antas i något av definitionsmängdens hörn. För att hitta dessa börjar vi med att rita upp det område som olikheterna bildar. Det kräver att vi löser ut y ur alla olikheter där det går, vilket ger följande. y≤ x+1 y≤ - 0,5x+7 x≥0 y≥0 Motsvarande linjära funktioner ritas in i ett koordinatsystem, antingen för hand eller med räknare, och det område som uppfyller alla olikheter markeras. Området kommer se ut som i figuren.
Områdets hörn kan nu läsas av ur bilden. (0,0) & (0,1) (4,5) & (14,0) För att avgöra vilken av dessa som ger funktionen dess maximala värde sätter vi in punkterna i m=5x+11y, en i taget.
| (x,y) | 5x+11y | m |
|---|---|---|
| (0,0) | 5*0+11*0 | 0 |
| (0,1) | 5*0+11*1 | 11 |
| (4,5) | 5*4+11*5 | 75 |
| (14,0) | 5*14+11*0 | 70 |
Funktionens maximala värde är alltså 75.
security
report
code
Bestäm största och minsta värde för funktionen z = 11x + 13y på det område som uppfyller följande bivillkor.
y + 160 ≥ 20x y + 2,5x ≤ 42,5 y ≤ 5x - 10 y≥ 0
{"type":"text","form":{"type":"extrema","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"valueTypes":["St\u00f6rsta v\u00e4rde","Minsta v\u00e4rde"],"point":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"type":0,"text":["402"]},{"type":1,"text":["22"]}]}}
security
report
code
security
report
code
Funktionens största och minsta värde nås i något av områdets hörn. För att hitta dessa hörn behöver vi rita upp området, och för att rita upp området behöver vi först lösa ut y ur olikheterna.
Olikheterna beskriver områden ovanför eller nedanför fyra olika linjer. När alla fyra linjer ritats och deras områden markerats har de en fyrhörning gemensam. Fyrhörningen utgör funktionens definitionsmängd.
Funktionens extremvärden måste nås i definitionsmängdens hörnpunkter. I det här fallet kan de läsas av grafiskt. (2,0)& (7,25) (8,0)& (9,20) Vi sätter in punkternas koordinater i funktionen z = 11x+13y och jämför de funktionsvärden vi får.
| (x,y) | 11x+13y | z |
|---|---|---|
| (2,0) | 11* 2 + 13* 0 | 22 |
| (7,25) | 11* 7 + 13* 25 | 402 |
| (8,0) | 11* 8 + 13* 0 | 88 |
| (9,20) | 11* 9 + 13* 20 | 359 |
Funktionens största värde är alltså 402 och dess minsta värde är 22.
security
report
code
Linjär optimering
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll