Matematisk Optimering: Utforska Linjär Optimering i Matte

$(x, y)$	$2 x + 4 y$	$z$
$(4.8, 3.4)$	$2 \cdot 4.8 + 4 \cdot 3.4$	$23.2$
$(9.1, 16.4)$	$2 \cdot 9.1 + 4 \cdot 16.4$	$83.8$
$(21.1, 11.6)$	$2 \cdot 21.1 + 4 \cdot 11.6$	$88.6$

(x, y)

2 x + 4 y

z

(4.8, 3.4)

2 \cdot 4.8 + 4 \cdot 3.4

23.2

(9.1, 16.4)

2 \cdot 9.1 + 4 \cdot 16.4

83.8

(21.1, 11.6)

2 \cdot 21.1 + 4 \cdot 11.6

88.6

Produkt	Tid (h)	Apelsiner (st.)	Vinst (kr)
Saft	$4$	$16$	$35$
Läsk	$2$	$4$	$28$

Produkt

Tid (h)

Apelsiner (st.)

Vinst (kr)

Saft

4

16

35

Läsk

2

4

28

$(x, y)$	$35 x + 28 y$	$z$
$(0, 0)$	$35 \cdot 0 + 28 \cdot 0$	$0$
$(0, 42)$	$35 \cdot 0 + 28 \cdot 42$	$1176$
$(12, 0)$	$35 \cdot 12 + 28 \cdot 0$	$420$
$(3, 36)$	$35 \cdot 3 + 28 \cdot 36$	$1113$

(x, y)

35 x + 28 y

z

(0, 0)

35 \cdot 0 + 28 \cdot 0

0

(0, 42)

35 \cdot 0 + 28 \cdot 42

1176

(12, 0)

35 \cdot 12 + 28 \cdot 0

420

(3, 36)

35 \cdot 3 + 28 \cdot 36

1113

Villes Supersaft är en blandning av två saftsorter. Saft

A

har en koncentration på

15 %

och kostar

40

kr per liter medan saft

B

har en koncentration på

25 %

och kostar

55

kr per liter. Ville har listat ut att smaken blir bäst om blandningens koncentration är minst

17 %

och maximalt

18 %

. Till en fest behövs minst

30

liter Supersaft. Det visar sig att han har kvar

7

liter av saft

B

sedan tidigare som han kan använda om han vill. Hur många liter av saft

A

måste han köpa för att få så billig Supersaft som möjligt?

Till att börja med behöver vi införa lite variabler. Det är antal liter av varje sort som ska bestämmas, så vi kan t.ex. använda x: & Antal liter av saftA y: & Antal liter av saftB. Den billigare sorten kostar 40 kr per liter och den dyrare 55 kr per liter, så den totala kostnaden K är K = 40x + 55y. Detta är den kostnadsfunktion vi vill minimera, men för att göra det behövs bivillkor. Vi får veta att det totalt behövs minst 30 liter, dvs. x+y ≥ 30. Vi vet också att Ville inte kan använda mindre än 0 liter av någon sort, så bivillkoren x≥ 0 och y≥ 0 kan också införas. Kom ihåg att han redan har 7 liter av saft B, men han är inte tvingad att använda allt detta. Därför används inte detta som bivillkor. Då återstår koncentrationen.

Koncentration

Att saften har en koncentration på 15 % innebär att det är andelen av vätskan som är saftkoncentrat; resten är vatten och annat. För att hitta ett uttryck för koncentrationen i blandningen använder vi andelsformeln Andel = Delen/Det hela eftersom procent är en andel. "Det hela" är blandningens totala volym, dvs. x+y, medan "Delen" är mängden saftkoncentrat som tillförts från båda saftsorter. I den billigare finns 15 % i varje liter och i den dyrare finns det 25 % i varje liter. Totalt finns då 0.15x + 0.25y liter koncentrat i blandningen, och procenthalten p blir enligt andelsformeln p = 0.15x + 0.25y/x+y. Detta måste vara minst 0.17 och max 0.18, vilket ger de två bivillkoren 0.15x + 0.25y/x+y ≥ 0.17 och 0.15x + 0.25y/x+y ≤ 0.18.

Skriv om olikheter

För att rita upp definitionsmängden behöver vi lösa ut y ur bivillkoren. x+y ≥ 30 kan direkt skrivas om till y ≥ 30-x, men bivillkoren som vi fick från koncentration kräver lite mer arbete. Vi gör dessa ett i taget.

Den nedre koncentrationsgränsen ger bivillkoret y ≥ 0.25x. Vi gör samma sak för den övre gränsen.

Rita området

Nu har vi samtliga bivillkor: y ≥ 30 - x y ≥ 0.25x y≤ .3x /7. y≥ 0 x≥ 0. Vi ritar upp linjerna i ett koordinatsystem och markerar olikheternas gemensamma område. Vi ritar även in y=7, eftersom det är så många liter av saft B han redan har och alltså inte behöver köpa. Det ger fler "hörn" och alltså fler möjligheter till ett minimum.

I det här fallet har vi ett obegränsat område. Det beror på att Ville behöver minst 30 liter, men det finns ingen maxgräns. Från den information vi har finns inte heller någon övre gräns på vad det får kosta. Ju längre åt höger och uppåt, desto fler liter köper han och desto mer pengar kostar det. Eftersom vi ska minimera kostnaden är det bara skärningspunkterna som kan vara intressanta.

Minimera kostnaden

Kostnadsfunktionens minsta värde kan bara antas i en hörnpunkt. Men pga. den röda linjen vid y = 7 har vi tre områden med olika kostnadsfunktioner. Vi går igenom dessa ett i taget. Om Ville inte använder den saft han redan har utan köper allt används inte den röda linjen, och områdets hörn är (21,9) och (24,6). Vi sätter in dessa i kostnadsfunktionen K = 40x + 55y. Den som ger det minsta värdet måste vara funktionens minimum.

(x,y)	40x+55y	K
(21,9)	40* 21 + 55* 9	1335
(24,6)	40* 24 + 55* 6	1290

Om Ville väljer att inte använda sina 7 liter blir alltså det billigaste alternativet 1290 kr, om han köper 24 liter av saft A och 6 liter av saft B. Om Ville istället använder alla 7 liter han redan har bildas andra hörn. Då skärmar den röda linjen av området nedåt eftersom han använder minst 7 liter av saft B.

Hörnet i (21,9) är kvar, men det andra har bytts mot två nya. Den första är skärningspunkten mellan y=7 och y=30-x. För att bestämma denna punkt likställer vi funktionsuttrycken och löser ut x.

Ena hörnet är alltså (23,7). Det andra är skärningspunkten mellan y=7 och y=0.25x.

Det här området har alltså hörn i (21,9), (23,7) och (28,7). Eftersom han redan har 7 liter av typ B blir kostnadsfunktionen för den här situationen K = 40x + 55(y-7). Det är alltså bara antalet liter över 7 som behöver köpas, vilket är y-7 st. Vi sätter in hörnen i kostnadsfunktionen.

(x,y)	40x+55(y-7)	K
(21,9)	40* 21 + 55* (9-7)	950
(23,7)	40* 23 + 55* (7-7)	920
(28,7)	40* 28 + 55* (7-7)	1120

Om han använder alla 7 liter han redan har blir alltså det billigaste alternativet 920 kr, och då måste han köpa 23 liter av saft A. Sist tittar vi på det tredje alternativet, vilket är då Ville använder upp till 7 liter av den saft B han har hemma, men inte mer.

Områdets hörn ligger i (23,7), (24,6) och (28,7). Eftersom han inte behöver köpa någon mer saft av sort B blir kostnadsfunktionen bara K = 40x. Då det bara är antalet x som spelar roll kan vi direkt slå fast att (23,7) är det bästa alternativet eftersom det är punkten med den minsta x-koordinaten. Det är samma punkt som för förra området och kostnaden blir även denna gång 40* 23 = 920 kr. De lägsta kostnaderna för de tre områdena blir alltså (24,6): 1290 kr (23,7): 920 kr (23,7): 920 kr. Villes billigaste alternativ är alltså att använda de 7 liter av saft B han har hemma och köpa 23 liter av saft A, vilket kostar honom 920 kr.

Linjär optimering

Optimering

Linjär optimering

Bestämma extremvärden med linjär optimering

Exempel

Maximera vinsten med linjär optimering

Koncentration

Skriv om olikheter

Rita området

Minimera kostnaden

Linjär optimering

Rekommenderade uppgifter

	4 sidor teori
	9 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.