4. Linjär optimering
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
4.
Linjär optimering
Linjär optimering är en del av matematisk optimering där man strävar efter att hitta det mest optimala värdet, oftast inom ramen för vissa begränsningar. Det kan handla om att maximera vinsten eller minimera kostnaden. I det här fallet studeras ett företag som producerar och säljer apelsinsaft och apelsinläsk. Företaget har begränsningar i form av tillverkningstid och tillgång på apelsiner. Genom att använda linjär optimering kan företaget bestämma hur mycket av varje produkt de ska tillverka för att maximera sin veckovinst, givet de begränsningar de har. Detta är ett praktiskt exempel på hur matematisk optimering kan användas i verkligheten för att fatta optimala beslut.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 9 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Linjär optimering
Sida av 6
Teori
Linjär optimering
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Optimering
- Linjär optimering
- Bestämma extremvärden med linjär optimering
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Optimering
Ordet optimering kommer från latinets
optimussom betyder
det bästa. Optimering handlar om att hitta den bästa lösningen på ett problem. Det kan handla om att hitta de mått som ger maximal volym för t.ex. ett bagageutrymme i en bil, eller att lägga ett så bra skolschema som möjligt utifrån olika önskemål och begränsningar. Inom matematik handlar optimering om att hitta maximum eller minimum för olika funktioner.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Linjär optimering
Funktioner som använder mer än en variabel är ofta väldigt svåra att hitta maximum eller minimum till, men det finns undantag. Om funktionen enbart består av förstagradstermer, som exempelvis z = 200x + 150y, kallas den linjär. En sådan funktion kallas ofta målfunktion i optimeringsproblem. Då finns ett knep som underlättar optimeringen, men det finns ett par krav för att det ska fungera:
- Funktionen måste ha en begränsad definitionsmängd. Om den inte vore begränsad skulle x och y kunna vara hur stora som helst och därmed även värdet på z, dvs. inget maximum skulle finnas.
- Definitionsmängden måste begränsas av räta linjer.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Bestämma extremvärden med linjär optimering
För att bestämma största och minsta värde av en funktion som z=2x+4y krävs en begränsad definitionsmängd. Den anges ofta med ett system av olikheter, exempelvis y+0,4x≤20 y-0,5x≥1 y≤3x-11, som tillsammans beskriver vilka kombinationer av x och y som är tillåtna att sätta in i funktionen.
1
Rita området som villkoren beskriver
expand_more Olikheterna beskriver ett område som man kan markera i ett koordinatsystem.
Detta kan man göra för hand eller med räknare.
2
Bestäm hörnens koordinater
expand_more De maximala och minimala värdena på funktionen z finns i områdets hörn. Man behöver därför bestämma hörnens koordinater.
I vissa fall kan man läsa av koordinaterna direkt. Här är det dock svårt att göra det, så istället får man bestämma skärningspunkterna mellan de olika linjerna genom att lösa tre olika ekvationssystem. För hörn H_1, H_2 och H_3 gäller följande system. &H_1: y=3x-11 y=0,5x+1 &H_2: y=-0,4x+20 y=3x-11 &H_3: y=0,5x+1 y=-0,4x+20 Lösningarna på ekvationssystemen ger hörnens koordinater. I de två nedre systemen har koordinaterna avrundats till en decimal. &H_1: x=4,8 y=3,4 &H_2: x=9,1 y=16,4 &H_3: x=21,1 y=11,6
3
Sätt in koordinater i funktionen
expand_more Nu sätter man in koordinaterna från respektive hörn i funktionen z=2x+4y för att se vilka av dessa som ger största och minsta värde på z.
| (x,y) | 2x+4y | z |
|---|---|---|
| (4,8;3,4) | 2*4,8+4*3,4 | 23,2 |
| (9,1;16,4) | 2*9,1+4*16,4 | 83,8 |
| (21,1;11,6) | 2*21,1+4*11,6 | 88,6 |
Det största och minsta värdet är alltså 88,6 respektive 23,2.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Maximera vinsten med linjär optimering
Ett företag producerar och säljer exklusiv apelsinsaft och apelsinläsk. Tillverkningstid, apelsinåtgång och hur stor vinst företaget gör per liter visas i tabellen.
| Produkt | Tid (h) | Apelsiner (st.) | Vinst (kr) |
|---|---|---|---|
| Saft | 4 | 16 | 35 |
| Läsk | 2 | 4 | 28 |
Hur mycket kan företaget maximalt tjäna på en vecka, om man vet att de anställda tillsammans får jobba max 84.h /vecka. och att apelsintillgången är 192.st. /vecka?.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"kr","answer":{"text":["1176"]}}
Ledtråd
Börja med att formulera bivillkoren med olikheter. Använd sedan metoden för att bestämma extremvärden med linjär optimering för att hitta den maximala vinsten.
Lösning
Vi kallar antal liter saft för x och antal liter läsk för y. Funktionen som ska maximeras ska beskriva den totala vinsten. Eftersom varje liter saft ger vinsten 35kr och motsvarande vinst för läsken är 28kr blir vinstfunktionen
z=35x+28y.
Variablerna x och y kan inte anta vilka värden som helst. Eftersom båda beskriver antal liter kan de inte vara negativa:
x ≥ 0 y ≥ 0.
Vidare finns det begränsningar på antalet apelsiner och antal timmar personalen kan jobba. Tillverkningstiden för saften är 4 timmar per liter och därför tar det 4x timmar att producera x liter saft. På samma sätt tar det 2y timmar att producera y liter läsk. Detta får inte överstiga 84 timmar, vilket ger villkoret
4x+2y≤ 84.
På liknande sätt kan man bestämma ett villkor för apelsintillgången då man vet att det går åt 16 st. per liter saft och 4 st. per liter läsk. Det totala antalet apelsiner får inte överstiga 192.st. /vecka,. så 16x+4y≤ 192. De fyra bivillkoren samlas i ett system av olikheter:
4x+2y≤ 84 16x+4y≤ 192 x≥ 0 y≥ 0.
Detta område vill vi nu rita upp så vi börjar med att lösa ut y i de två översta olikheterna.
Nu tar vi den andra.
Den första olikheten beskriver alla punkter på och under linjen y=-2x+42 och den andra beskriver alla punkter på och under linjen y=-4x+48. Olikheterna x≥0 och y≥0 betyder att både x och y måste vara 0 eller positiva, så alla punkter måste vara i första kvadranten.
Funktionens största värde antas i något av hörnen så vi bestämmer koordinaterna för dem. Vi börjar med linjernas skärningspunkt.
Skärningspunktens x-koordinat är 3. Vi sätter in detta i en av funktionerna för att beräkna y-koordinaten: y=-2x+42 ⇒ y=-2*3+42=36. Det ena hörnet är alltså (3,36). Det övre hörnet är där linjen y=-2x+42 skär y-axeln. Där är x=0 och y-värdet blir linjens m-värde dvs. y=42. Det högra hörnet är där y=-4x+48 skär x-axeln. Där är y-koordinaten 0 och vi bestämmer x-värdet genom att lösa ekvationen 0=-4x+48 vilket ger x=12. Det sista hörnet är i origo dvs. (0,0). För att avgöra vilket hörn som ger störst värde på vinstfunktionen sätter vi in punkternas koordinater och jämför funktionsvärdena.
| (x,y) | 35x+28y | z |
|---|---|---|
| (0,0) | 35*0+28*0 | 0 |
| (0,42) | 35*0+28*42 | 1 176 |
| (12,0) | 35*12+28*0 | 420 |
| (3,36) | 35*3+28*36 | 1 113 |
Det största värdet som z=28x+35y antar är alltså 1 176 vilket betyder att den maximala veckovinsten är 1 176 kr.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Träna på funktionsoptimering i ett begränsat område
Bestäm det maximala eller minimala värde som den givna funktionen kan anta inom det markerade området. Tänk på hur koordinaterna för punkterna A, B och C relaterar till funktionens värden.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Linjär optimering
Uppgift 4.1
Villes Supersaft är en blandning av två saftsorter. Saft A har en koncentration på 15 % och kostar 40kr per liter medan saft B har en koncentration på 25 % och kostar 55kr per liter. Ville har listat ut att smaken blir bäst om blandningens koncentration är minst 17 % och maximalt 18 %. Till en fest behövs minst 30 liter Supersaft. Det visar sig att han har kvar 7 liter av saft B sedan tidigare som han kan använda om han vill. Hur många liter av saft A måste han köpa för att få så billig Supersaft som möjligt?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"liter","answer":{"text":["23"]}}
security
report
code
security
report
code
Till att börja med behöver vi införa lite variabler. Det är antal liter av varje sort som ska bestämmas, så vi kan t.ex. använda x: & Antal liter av saftA y: & Antal liter av saftB. Den billigare sorten kostar 40kr per liter och den dyrare 55kr per liter, så den totala kostnaden K är K = 40x + 55y. Detta är den kostnadsfunktion vi vill minimera, men för att göra det behövs bivillkor. Vi får veta att det totalt behövs minst 30 liter, dvs. x+y ≥ 30. Vi vet också att Ville inte kan använda mindre än 0 liter av någon sort, så bivillkoren x≥ 0 och y≥ 0 kan också införas. Kom ihåg att han redan har 7 liter av saft B, men han är inte tvingad att använda allt detta. Därför används inte detta som bivillkor. Då återstår koncentrationen.
Koncentration
Att saften har en koncentration på 15 % innebär att det är andelen av vätskan som är saftkoncentrat; resten är vatten och annat. För att hitta ett uttryck för koncentrationen i blandningen använder vi andelsformeln
Andel = Delen/Det hela
eftersom procent är en andel. Det hela
är blandningens totala volym, dvs. x+y, medan Delen
är mängden saftkoncentrat som tillförts från båda saftsorter. I den billigare finns 15 % i varje liter och i den dyrare finns det 25 % i varje liter. Totalt finns då 0,15x + 0,25y liter koncentrat i blandningen, och procenthalten p blir enligt andelsformeln
p = 0,15x + 0,25y/x+y.
Detta måste vara minst 0,17 och max 0,18, vilket ger de två bivillkoren
0,15x + 0,25y/x+y ≥ 0,17 och 0,15x + 0,25y/x+y ≤ 0,18.
Skriv om olikheter
För att rita upp definitionsmängden behöver vi lösa ut y ur bivillkoren. x+y ≥ 30 kan direkt skrivas om till y ≥ 30-x, men bivillkoren som vi fick från koncentration kräver lite mer arbete. Vi gör dessa ett i taget.
Den nedre koncentrationsgränsen ger bivillkoret y ≥ 0,25x. Vi gör samma sak för den övre gränsen.
Rita området
Nu har vi samtliga bivillkor: y ≥ 30 - x y ≥ 0,25x y≤ .3x /7. y≥ 0 x≥ 0. Vi ritar upp linjerna i ett koordinatsystem och markerar olikheternas gemensamma område. Vi ritar även in y=7, eftersom det är så många liter av saft B han redan har och alltså inte behöver köpa. Det ger fler "hörn" och alltså fler möjligheter till ett minimum.
I det här fallet har vi ett obegränsat område. Det beror på att Ville behöver minst 30 liter, men det finns ingen maxgräns. Från den information vi har finns inte heller någon övre gräns på vad det får kosta. Ju längre åt höger och uppåt, desto fler liter köper han och desto mer pengar kostar det. Eftersom vi ska minimera kostnaden är det bara skärningspunkterna som kan vara intressanta.
Minimera kostnaden
Kostnadsfunktionens minsta värde kan bara antas i en hörnpunkt. Men pga. den röda linjen vid y = 7 har vi tre områden med olika kostnadsfunktioner. Vi går igenom dessa ett i taget. Om Ville inte använder den saft han redan har utan köper allt används inte den röda linjen, och områdets hörn är (21,9) och (24,6). Vi sätter in dessa i kostnadsfunktionen K = 40x + 55y. Den som ger det minsta värdet måste vara funktionens minimum.
| (x,y) | 40x+55y | K |
|---|---|---|
| (21,9) | 40* 21 + 55* 9 | 1 335 |
| (24,6) | 40* 24 + 55* 6 | 1 290 |
Om Ville väljer att inte använda sina 7 liter blir alltså det billigaste alternativet 1290kr, om han köper 24 liter av saft A och 6 liter av saft B. Om Ville istället använder alla 7 liter han redan har bildas andra hörn. Då skärmar den röda linjen av området nedåt eftersom han använder minst 7 liter av saft B.
Hörnet i (21,9) är kvar, men det andra har bytts mot två nya. Den första är skärningspunkten mellan y=7 och y=30-x. För att bestämma denna punkt likställer vi funktionsuttrycken och löser ut x.
Ena hörnet är alltså (23,7). Det andra är skärningspunkten mellan y=7 och y=0,25x.
Det här området har alltså hörn i (21,9), (23,7) och (28,7). Eftersom han redan har 7 liter av typ B blir kostnadsfunktionen för den här situationen K = 40x + 55(y-7). Det är alltså bara antalet liter över 7 som behöver köpas, vilket är y-7 st. Vi sätter in hörnen i kostnadsfunktionen.
| (x,y) | 40x+55(y-7) | K |
|---|---|---|
| (21,9) | 40* 21 + 55* (9-7) | 950 |
| (23,7) | 40* 23 + 55* (7-7) | 920 |
| (28,7) | 40* 28 + 55* (7-7) | 1 120 |
Om han använder alla 7 liter han redan har blir alltså det billigaste alternativet 920kr, och då måste han köpa 23 liter av saft A. Sist tittar vi på det tredje alternativet, vilket är då Ville använder upp till 7 liter av den saft B han har hemma, men inte mer.
Områdets hörn ligger i (23,7), (24,6) och (28,7). Eftersom han inte behöver köpa någon mer saft av sort B blir kostnadsfunktionen bara K = 40x. Då det bara är antalet x som spelar roll kan vi direkt slå fast att (23,7) är det bästa alternativet eftersom det är punkten med den minsta x-koordinaten. Det är samma punkt som för förra området och kostnaden blir även denna gång 40* 23 = 920kr. De lägsta kostnaderna för de tre områdena blir alltså (24,6): 1 290 kr (23,7): 920 kr (23,7): 920 kr. Villes billigaste alternativ är alltså att använda de 7 liter av saft B han har hemma och köpa 23 liter av saft A, vilket kostar honom 920kr.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll