Linjär optimering

Vi kallar antal liter saft för $x$ och antal liter läsk för $y.$ Funktionen som ska maximeras ska beskriva den totala vinsten. Eftersom varje liter saft ger vinsten $35\text{ kr}$ och motsvarande vinst för läsken är $28\text{ kr}$ blir vinstfunktionen Variablerna $x$ och $y$ kan inte anta vilka värden som helst. Eftersom båda beskriver antal liter kan de inte vara negativa: Vidare finns det begränsningar på antalet apelsiner och antal timmar personalen kan jobba. Tillverkningstiden för saften är $4$ timmar per liter och därför tar det $4x$ timmar att producera $x$ liter saft. På samma sätt tar det $2y$ timmar att producera $y$ liter läsk. Detta får inte överstiga $84$ timmar, vilket ger villkoret På liknande sätt kan man bestämma ett villkor för apelsintillgången då man vet att det går åt $16$ st. per liter saft och $4$ st. per liter läsk. Det totala antalet apelsiner får inte överstiga $192\text{st.}/\text{vecka},$ så $16x+4y\le 192.$ De fyra bivillkoren samlas i ett system av olikheter: Detta område vill vi nu rita upp så vi börjar med att lösa ut $y$ i de två översta olikheterna. Nu tar vi den andra. Den första olikheten beskriver alla punkter på och under linjen $y=-2x+42$ och den andra beskriver alla punkter på och under linjen $y=-4x+48.$ Olikheterna $x\ge 0$ och $y\ge 0$ betyder att både $x$ och $y$ måste vara $0$ eller positiva, så alla punkter måste vara i första kvadranten. Funktionens största värde antas i något av hörnen så vi bestämmer koordinaterna för dem. Vi börjar med linjernas skärningspunkt. Skärningspunktens $x\text{-}$koordinat är $3.$ Vi sätter in detta i en av funktionerna för att beräkna $y\text{-}$koordinaten: Det ena hörnet är alltså $(3,36).$ Det övre hörnet är där linjen $y=-2x+42$ skär $y$-axeln. Där är $x=0$ och $y\text{-}$värdet blir linjens $m\text{-}$värde dvs. $y=42.$ Det högra hörnet är där $y=-4x+48$ skär $x\text{-}$axeln. Där är $y\text{-}$koordinaten $0$ och vi bestämmer $x\text{-}$värdet genom att lösa ekvationen Det sista hörnet är i origo dvs. $(0,0).$ För att avgöra vilket hörn som ger störst värde på vinstfunktionen sätter vi in punkternas koordinater och jämför funktionsvärdena.

$(x,y)$	$35x+28y$	$z$
$(0,0)$	$35\cdot 0+28\cdot 0$	$0$
$(0,42)$	$35\cdot 0+28\cdot 42$	$1176$
$(12,0)$	$35\cdot 12+28\cdot 0$	$420$
$(3,36)$	$35\cdot 3+28\cdot 36$	$1113$

Det största värdet som $z=28x+35y$ antar är alltså $1176$ vilket betyder att den maximala veckovinsten är