Matematisk Optimering: Utforska Linjär Optimering i Matte

$(x, y)$	$2 x + 4 y$	$z$
$(4.8, 3.4)$	$2 \cdot 4.8 + 4 \cdot 3.4$	$23.2$
$(9.1, 16.4)$	$2 \cdot 9.1 + 4 \cdot 16.4$	$83.8$
$(21.1, 11.6)$	$2 \cdot 21.1 + 4 \cdot 11.6$	$88.6$

(x, y)

2 x + 4 y

z

(4.8, 3.4)

2 \cdot 4.8 + 4 \cdot 3.4

23.2

(9.1, 16.4)

2 \cdot 9.1 + 4 \cdot 16.4

83.8

(21.1, 11.6)

2 \cdot 21.1 + 4 \cdot 11.6

88.6

Produkt	Tid (h)	Apelsiner (st.)	Vinst (kr)
Saft	$4$	$16$	$35$
Läsk	$2$	$4$	$28$

Produkt

Tid (h)

Apelsiner (st.)

Vinst (kr)

Saft

4

16

35

Läsk

2

4

28

$(x, y)$	$35 x + 28 y$	$z$
$(0, 0)$	$35 \cdot 0 + 28 \cdot 0$	$0$
$(0, 42)$	$35 \cdot 0 + 28 \cdot 42$	$1176$
$(12, 0)$	$35 \cdot 12 + 28 \cdot 0$	$420$
$(3, 36)$	$35 \cdot 3 + 28 \cdot 36$	$1113$

(x, y)

35 x + 28 y

z

(0, 0)

35 \cdot 0 + 28 \cdot 0

0

(0, 42)

35 \cdot 0 + 28 \cdot 42

1176

(12, 0)

35 \cdot 12 + 28 \cdot 0

420

(3, 36)

35 \cdot 3 + 28 \cdot 36

1113

Grethe säljer blåbär och hallon längs väg $21 .$ En liter blåbär säljs för $35$ kr och en liter hallon säljs för $30$ kr. Totalt får det plats max $40$ liter bär i cykelsläpet.

Ställ upp en funktion,

z,

som beskriver Grethes vinst om hon säljer

x

liter blåbär och

y

liter hallon.

Vad blir Grethes maximala vinst om hon fyller hela cykelsläpet?

Varje liter blåbär säljs för 35 kr. Det betyder att om Grethe säljer x liter blåbär tjänar hon 35x kr. På samma sätt tjänar hon 30y kr för y liter hallon. Totala vinsten ges av summan av försäljningen för både hallonen och blåbären, dvs. z=35x+30y.

Vinsten beror på hur mycket Grethe kan sälja. Hon kan max ta med sig 40 liter bär vilket betyder att x+y≤40 ⇔ y≤ 40-x. Vidare kan inte x och y vara negativa eftersom de beskriver antal liter, så x≥ 0 och y≥0 vilket avgränsar första kvadranten. Området som olikheterna beskriver blir en triangel med hörn i origo samt punkterna (0,40) och (40,0).

De maximala värdet på z kommer att antas i något av hörnen på området. Vi sätter in dem för att hitta det.

(x,y)	35x+30y	z
(0,0)	350+300	0
(0,40)	350+3040	1200
(40,0)	3540+300	1400

Det största värdet är 1400 så Grethes maximala vinst är 1400 kr. Man kan också resonera sig fram till detta. Eftersom hon maximalt kan sälja 40 liter bär vill hon enbart sälja dem som drar in mest pengar, dvs. blåbären. Den maximala vinsten blir därför 40*35=1400 kr.

Funktionen $z = 4 x + 3 y$ är definierad på det markerade området. Vad är funktionens minsta värde?

Fyra räta linjer som skär varandra och bildar en fyrhörning.

Funktionens minsta värde kan bara antas i något av områdets hörn. Dessa kan läsas i koordinatsystemet. (4,10)& (10,18) (12,2)& (16,16) Vi sätter in dessa punkter en i taget i funktionen z = 4x + 3y. Det minsta värdet måste vara funktionens minimum.

(x,y)	4x+3y	z
(4,10)	4* 4 + 3* 10	46
(10,18)	4* 10 + 3* 18	94
(16,16)	4* 16 + 3* 16	112
(12,2)	4* 12 + 3* 2	54

Funktionens minsta värde är alltså 46, vilket nås i punkten (4,10).

Bestäm det maximala värdet på funktionen

m = 5 x + 11 y

då följande bivillkor gäller.

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ y - x \leq 1 y + 0.5 x \leq 7 x \geq 0 y \geq 0

Funktionens maximum måste antas i något av definitionsmängdens hörn. För att hitta dessa börjar vi med att rita upp det område som olikheterna bildar. Det kräver att vi löser ut y ur alla olikheter där det går, vilket ger följande. y≤ x+1 y≤ - 0.5x+7 x≥0 y≥0 Motsvarande linjära funktioner ritas in i ett koordinatsystem, antingen för hand eller med räknare, och det område som uppfyller alla olikheter markeras. Området kommer se ut som i figuren.

Områdets hörn kan nu läsas av ur bilden. (0,0) & (0,1) (4,5) & (14,0) För att avgöra vilken av dessa som ger funktionen dess maximala värde sätter vi in punkterna i m=5x+11y, en i taget.

(x,y)	5x+11y	m
(0,0)	50+110	0
(0,1)	50+111	11
(4,5)	54+115	75
(14,0)	514+110	70

Funktionens maximala värde är alltså 75.

Bestäm största och minsta värde för funktionen

z = 11 x + 13 y

på det område som uppfyller följande bivillkor.

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ y + 160 \geq 20 x y + 2.5 x \leq 42.5 y \leq 5 x - 10 y \geq 0

Funktionens största och minsta värde nås i något av områdets hörn. För att hitta dessa hörn behöver vi rita upp området, och för att rita upp området behöver vi först lösa ut y ur olikheterna.

Olikheterna beskriver områden ovanför eller nedanför fyra olika linjer. När alla fyra linjer ritats och deras områden markerats har de en fyrhörning gemensam. Fyrhörningen utgör funktionens definitionsmängd.

Funktionens extremvärden måste nås i definitionsmängdens hörnpunkter. I det här fallet kan de läsas av grafiskt. (2,0)& (7,25) (8,0)& (9,20) Vi sätter in punkternas koordinater i funktionen z = 11x+13y och jämför de funktionsvärden vi får.

(x,y)	11x+13y	z
(2,0)	11* 2 + 13* 0	22
(7,25)	11* 7 + 13* 25	402
(8,0)	11* 8 + 13* 0	88
(9,20)	11* 9 + 13* 20	359

Funktionens största värde är alltså 402 och dess minsta värde är 22.

Linjär optimering

Optimering

Linjär optimering

Bestämma extremvärden med linjär optimering

Exempel

Maximera vinsten med linjär optimering

Linjär optimering

Rekommenderade uppgifter

	4 sidor teori
	9 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.