Matematisk Optimering: Utforska Linjär Optimering i Matte

$(x, y)$	$2 x + 4 y$	$z$
$(4.8, 3.4)$	$2 \cdot 4.8 + 4 \cdot 3.4$	$23.2$
$(9.1, 16.4)$	$2 \cdot 9.1 + 4 \cdot 16.4$	$83.8$
$(21.1, 11.6)$	$2 \cdot 21.1 + 4 \cdot 11.6$	$88.6$

(x, y)

2 x + 4 y

z

(4.8, 3.4)

2 \cdot 4.8 + 4 \cdot 3.4

23.2

(9.1, 16.4)

2 \cdot 9.1 + 4 \cdot 16.4

83.8

(21.1, 11.6)

2 \cdot 21.1 + 4 \cdot 11.6

88.6

Produkt	Tid (h)	Apelsiner (st.)	Vinst (kr)
Saft	$4$	$16$	$35$
Läsk	$2$	$4$	$28$

Produkt

Tid (h)

Apelsiner (st.)

Vinst (kr)

Saft

4

16

35

Läsk

2

4

28

$(x, y)$	$35 x + 28 y$	$z$
$(0, 0)$	$35 \cdot 0 + 28 \cdot 0$	$0$
$(0, 42)$	$35 \cdot 0 + 28 \cdot 42$	$1176$
$(12, 0)$	$35 \cdot 12 + 28 \cdot 0$	$420$
$(3, 36)$	$35 \cdot 3 + 28 \cdot 36$	$1113$

(x, y)

35 x + 28 y

z

(0, 0)

35 \cdot 0 + 28 \cdot 0

0

(0, 42)

35 \cdot 0 + 28 \cdot 42

1176

(12, 0)

35 \cdot 12 + 28 \cdot 0

420

(3, 36)

35 \cdot 3 + 28 \cdot 36

1113

Per-Ohlson planerar att tjäna lite extra genom att odla tomat- och majsplantor. Tomatplantorna behöver

4

gram gödsel per dag och planta medan det behövs

8

gram till majsplantorna. Per-Ohlsons marsvin genererar dock bara

34

gram gödsel per dag. Han har också begränsat med utrymme på sin balkong, där han har

2.25 m^{2}

över till sin odling. Av detta behöver varje tomatplanta

0.4 m^{2}

medan majsplantorna behöver

0.2 m^{2} .

Om han kan sälja tomatplantorna för

40

kr och majsplantorna för

50

kr, vilken måste han plantera flest av för att tjäna som mest?

Vi börjar med att ställa upp frågan som ett matematiskt problem vi kan lösa med linjär optimering. Det vi är ute efter är antalet tomat- och majsplantor som Per-Ohlson ska plantera för att maximera sin vinst. Vi låter antalet tomatplantor vara x och antalet majsplantor y, och eftersom eftersom det inte kan finnas ett negativt antal plantor måste dessa vara större än eller lika med 0 : x≥0 y≥ 0. Vi vet också att det behövs 4 gram gödsel per tomatplanta och 8 gram gödsel per majsplanta, alltså totalt 4x + 8y gram. Mängden gödsel är dock begränsad och den totala vikten får inte överstiga 34 gram, vilket ger 4x + 8y ≤ 34. Utöver detta finns det också en begränsning på utrymmet som säger att alla plantor ska få plats på 2.25 m^2. Varje tomatplanta tar upp 0.2 m^2 medan majsplantorna tar upp 0.4 m^2, vilket ger olikheten 0.4x + 0.2y ≤ 2.25. Nu har vi ställt upp de fyra olikheter som begränsar värdena på x och y. Vi fortsätter med att lösa ut y ur de två sista så att vi kan visualisera området de beskriver.

Med hjälp av dessa fyra olikheter kan vi nu rita ut det område i första kvadraten som som innehåller de tillåtna värdena för x och y.

Uppgiften går ut på att maximera Per-Ohlsons vinst, så målfunktionen kommer att beskriva hur hans inkomst beror på antalet odlade tomat- och majsplantor. Han tjänar 40 kr på varje tomatplanta och 50 kr på varje majsplanta, vilket ger z = 40x + 50y. Innan vi går vidare är det viktigt att komma ihåg att det faktiskt finns en till begränsning på problemet. Det är ju tomat- och majsplantor som Per-Ohlson ska odla, och det går ju inte att odla en halv tomatplanta. Variablerna x och y måste alltså vara heltal. Det innebär att det bara är de markerade punkterna i koordinatsystemet som är tillåtna.

Förutom origo ingår inte en enda av skärningspunkterna, och det känns ju inte så troligt att Per-Ohlson skulle maximera sin vinst genom att inte odla några grönsaker alls. Så var någonstans ligger den punkt som maximerar målfunktionen? Vi skulle kunna testa oss igenom alla tillåtna punkter, men det låter ganska jobbigt. Målfunktionen är z = 40x + 50y. Den blir större när någon av x eller y ökar, så om det finns två punkter där x- eller y-värdet har ökat medan det andra är oförändrat måste det ge ett högre värde på z. T.ex. ger (0,4) en högre vinst än (0,3). Om man kan odla en till tomat- eller majsplanta utan att odla mindre av den andra måste det öka vinsten. Den största vinsten måste därför nås i någon av de röda punkterna.

Det känns mer hanterbart att testa dessa fyra punkter, som är (0,4), (2,3), (4,2) och (5,1). Vi sätter in dem i målfunktionen och beräknar hur mycket Per-Ohlson tjänar i de olika fallen.

(x,y)	40x+50y	z
(0,4)	400+504	200
(2,3)	402+503	230
(4,2)	404+502	260
(5,1)	405+501	250

Per-Ohlson tjänar alltså som mest om han odlar 4 tomatplantor och 2 majsplantor.

Linjär optimering

Optimering

Linjär optimering

Bestämma extremvärden med linjär optimering

Exempel

Maximera vinsten med linjär optimering

Linjär optimering

Rekommenderade uppgifter

	4 sidor teori
	9 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.