Vi kallar antal liter saft för
x och antal liter läsk för
y. Funktionen som ska maximeras ska beskriva den totala vinsten. Eftersom varje liter saft ger vinsten
35 kr och motsvarande vinst för läsken är
28 kr blir vinstfunktionen
z=35x+28y.
x och
y kan inte anta vilka värden som helst. Eftersom båda beskriver antal liter kan de inte vara negativa:
{x≥0y≥0.
Vidare finns det begränsningar på antalet apelsiner och antal timmar personalen kan jobba. Tillverkningstiden för saften är
4 timmar per liter och därför tar det
4x timmar att producera
x liter saft. På samma sätt tar det
2y timmar att producera
y liter läsk. Detta får inte överstiga
84 timmar, vilket ger villkoret
4x+2y≤84.
På liknande sätt kan man bestämma ett villkor för apelsintillgången då man vet att det går åt
16 st. per liter saft och
4 st. per liter läsk. Det totala antalet apelsiner får inte överstiga
192 st./vecka, så
16x+4y≤192. De fyra samlas i ett :
⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧4x+2y≤8416x+4y≤192x≥0y≥0.
Detta område vill vi nu rita upp så vi börjar med att lösa ut
y i de två översta .
4x+2y≤84
2y≤-4x+84
y≤-2x+42
Nu tar vi den andra.
16x+4y≤192
4y≤-16x+192
y≤-4x+48
Den första olikheten beskriver alla punkter på och under linjen
y=-2x+42 och den andra beskriver alla punkter på och under linjen
y=-4x+48. Olikheterna
x≥0 och
y≥0 betyder att både
x och
y måste vara
0 eller positiva, så alla punkter måste vara i första .
så vi bestämmer koordinaterna för dem. Vi börjar med linjernas skärningspunkt.
-2x+42=-4x+48
2x+42=48
2x=6
x=3
Skärningspunktens
x-koordinat är
3. Vi sätter in detta i en av funktionerna för att beräkna
y-koordinaten:
y=-2x+42⇒y=-2⋅3+42=36.
Det ena hörnet är alltså
(3,36). Det övre hörnet är där linjen
y=-2x+42 skär
y-axeln. Där är
x=0 och
y-värdet blir linjens
m-värde dvs.
y=42. Det högra hörnet är där
y=-4x+48 skär
x-axeln. Där är
y-koordinaten
0 och vi bestämmer
x-värdet genom att lösa ekvationen
0=-4x+48vilket gerx=12.
Det sista hörnet är i origo dvs. (0,0). För att avgöra vilket hörn som ger störst värde på vinstfunktionen sätter vi in punkternas koordinater och jämför .
(x,y) |
35x+28y |
z
|
(0,0) |
35⋅0+28⋅0 |
0
|
(0,42) |
35⋅0+28⋅42 |
1176
|
(12,0) |
35⋅12+28⋅0 |
420
|
(3,36) |
35⋅3+28⋅36 |
1113
|
Det största värdet som
z=28x+35y antar är alltså
1176 vilket betyder att den maximala veckovinsten är
1176 kr.