Linjär optimering

Vi kallar antalet rostbiffwraps för x och antalet falafelwraps för y. De kan inte tillverka ett negativt antal wraps så x≥0 y≥ 0. Det finns också en begränsing på hur mycket tid de kan lägga ner på sina wraps. Eftersom det tar 4 minuter för varje rostbiffwrap tar det 4x minuter för x st. På samma sätt tar det 6y minuter att göra y st. falafelwraps. Summan av detta får inte överstiga 35 timmar dvs. 35*60=2100 minuter: 4x+6y≤ 2100. Det finns också restriktioner på hur mycket omslagspapper de kan använda. Det går 0.75 meter för varje rostbiffwrap och 0.5 meter för varje falafelwrap. Summan av detta får inte vara mer än 200 meter. Det ger villkoret 0.75x+0.5y≤ 200. Nu har vi fyra olikheter som beskriver ett område i ett koordinatsystem. Det maximala värdet på vinstfunktionen kommer att antas i något av hörnen på det här området. Vi börjar med att lösa ut y i de två sista olikheterna.

Den första olikheten beskriver alla punkter på och under linjen y=350-2x/3 och den andra beskriver alla punkter på och under y=400-1.5x. Eftersom x≥ 0 och y≥ 0 är vi också begränsade till första kvadranten.

Nu vill vi bestämma koordinaterna för hörnen på det här området. Det ena är origo, (0,0). Det översta är den röda linjen skär y-axeln. Där är x=0 och y-värdet är linjens m-värde dvs. 350. Koordinaterna är alltså (0,350). Det högra hörnet är där den blå linjen skär x-axeln. Där är y=0.

Det tredje hörnet är (800/3,0). Det sista hörnet är linjernas skärningspunkt, så vi likställer dem för att hitta x-värdet.

Nu bestämmer vi y-värdet genom att sätta in x=60 i ekvationen för en av linjerna.

Nu har vi alla fyra hörns koordinater. Vinsten bestäms av hur mycket som säljs av varje wrap. De tjänar 12 kr för varje rostbiffwrap och motsvarande siffra för falafelwrapsen är 17 kr. Det betyder att den totala vinsten, z, är z=12x+17y. Nu sätter vi in hörnens koordinater i z för att avgöra när vinsten blir störst.

Den maximala vinsten är alltså 5990 kr, vilket kräver 60 rostbiffwraps och 310 falafelwraps.

Det är kombinationen av antal förråd F1 och F2 som bestämmer kostnaden så vi inför variablerna x och y: &x=antal F1-förråd &y=antal F2-förråd. Vi kallar kostnadsfunktionen för z och eftersom kostnaden är 1800 kr respektive 1500 kr för förrådstyperna blir den totala kostnaden för x stycken F1 och y stycken F2 z=1800x+1500y. Antalet förråd, x och y, kan inte understiga 0, dvs. &x≥ 0 och &y≥ 0. För arean vet vi att x stycken F1-förråd rymmer 15x m^2 och y stycken F2-förråd rymmer 30y m^2. Summan av förrådens area måste vara minst 210 m^2. För volymen vet vi att x stycken F1-förråd rymmer 81x m^3 och y stycken F2-förråd rymmer 54y m^2. Summan av förrådens volym måste vara minst 486m^3. Vi får två olikheter till: & 15x+30y ≥ 210 och &81x+54y≥ 486. De fyra bivillkoren blir: 15x+30y≥210 81x+54y≥486 x≥0 y≥0. För att bestämma det minimala värdet av kostnadsfunktionen ritar vi det område som olikheterna begränsar. Det minsta värdet kommer att ges av koordinaterna för något av hörnen. Vi löser först ut y ur de två översta olikheterna.

Vi har nu villkoren y≥7-0.5x y≥9-1.5x y≥0 x≥0, som vi ritar in i ett koordinatsystem. Man kan rita olikheterna i räknaren eller för hand.

Området har inte någon gräns till höger eller uppåt. Det betyder att kostnaden inte har någon övre gräns. Den har dock en lägre gräns, som vi hittar med något av områdets hörn. Koordinaterna i hörnen kan läsas av och är (0,9), (2,6), och (14,0). Till sist sätter vi in dessa koordinater i kostnadsfunktionen z=1800x+1500y för att avgöra för vilken av dessa som kostnadsfunktionen antar sitt lägsta värde.

Funktionen har sitt minsta värde, 12 600, i punkten (2,6). Man bör alltså välja 2 st. F1-förråd och 6 st. F2-förråd för att minimera kostnaden och den blir då 12 600 kr.