body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 2b Visa detaljer

1. Konjugat- och kvadreringsreglerna

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

( Ma 2b , Ma 2c ) /

Kapitel 2

Konjugat- och kvadreringsreglerna

Konjugatregeln och kvadreringsreglerna är viktiga verktyg inom algebra som används för att förenkla och beräkna uttryck. Kvadreringsreglerna används när en parentes med två termer multipliceras med sig själv, det vill säga kvadreras. Beroende på om det finns ett plus- eller minustecken mellan termerna används första eller andra kvadreringsregeln. Konjugatregeln används när två parenteser, som är varandras konjugat, multipliceras ihop. Dessa regler är inte bara användbara för att multiplicera ihop parenteser, utan kan också användas för att dela upp uttryck i faktorer. Dessa koncept är centrala inom matematik och ger en djupare förståelse för algebra.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	8 sidor teori
	30 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Konjugat- och kvadreringsreglerna

Sida av 8

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Kvadreringsreglerna
Konjugatregeln
Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna

Förkunskaper

Kvadrering
Andragradsuttryck

Regel

Kvadreringsreglerna

När en parentes med två termer multipliceras med sig själv, dvs. kvadreras, kan beräkningarna underlättas med de så kallade kvadreringsreglerna. De kan alltså tillämpas för att förenkla och beräkna uttryck som

(x + 2)^{2} och (3 - x)^{2} .

Beroende på om det står ett plus- eller minustecken mellan termerna används första eller andra kvadreringsregeln.

Första kvadreringsregeln

Står det ett plustecken mellan termerna i parentesen kan man använda första kvadreringsregeln.

Bevis

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Den första kvadreringsregeln kan härledas genom att skriva kvadraten som en multiplikation av två likadana parenteser.

(a + b)^{2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

(a + b) (a + b)

ExpandPar

Multiplicera parenteser

a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b

Multiply

Multiplicera faktorer

a^{2} + a b + a b + b^{2}

SimpTerms

Förenkla termer

a^{2} + 2 a b + b^{2}

Man får alltså att

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} .

Andra kvadreringsregeln

Står det ett minustecken mellan termerna i parentesen kan man använda andra kvadreringsregeln.

Bevis

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Den andra kvadreringsregeln kan härledas genom att skriva kvadraten som en multiplikation av två likadana parenteser.

(a - b)^{2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

(a - b) (a - b)

ExpandPar

Multiplicera parenteser

a \cdot a + a \cdot (- b) + (- b) \cdot a + (- b) \cdot (- b)

Multiply

Multiplicera faktorer

a^{2} - a b - a b + b^{2}

SimpTerms

Förenkla termer

a^{2} - 2 a b + b^{2}

Man får alltså att

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} .

Exempel

Förenkla uttrycken med kvadreringsreglerna

Förenkla följande uttryck med kvadreringsreglerna.

(x + 3)^{2}

(7 - x)^{2}

Ledtråd

a Använd den första kvadreringsregeln.

b Använd den andra kvadreringsregeln.

Lösning

a Den första parentesen har ett plustecken mellan termerna så vi använder första kvadreringsregeln.

(x + 3)^{2}

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}

Multiply

Multiplicera faktorer

x^{2} + 6 x + 3^{2}

CalcPow

Beräkna potens

x^{2} + 6 x + 9

Uttrycken kan alltså utvecklas till

x^{2} + 6 x + 9 .

b Den andra parentesen har ett minustecken mellan termerna så vi använder andra kvadreringsregeln.

(7 - x)^{2}

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

7^{2} - 2 \cdot 7 \cdot x + x^{2}

CalcPow

Beräkna potens

49 - 2 \cdot 7 \cdot x + x^{2}

Multiply

Multiplicera faktorer

49 - 14 x + x^{2}

Det andra uttrycket kan utvecklas till

49 - 14 x + x^{2} .

Koncept

Konjugat

Ett konjugat bildas genom att byta tecken på en av termerna i ett binom, alltså ett uttryck med två termer. Exempelvis har

x + 2 konjugatet x - 2 .

När man skapar ett konjugat säger man att man konjugerar, och uttrycken

x + 2

och

x - 2

kallas ibland för konjugerade par.

Regel

Konjugatregeln

Om två parenteser på formen

(a + b)

och

(a - b)

ska multipliceras ihop kan beräkningarna underlättas med den så kallade konjugatregeln. Exempelvis kan regeln användas för förenkling av

(x + 5) (x - 5) och (2 + 6 y) (2 - 6 y) .

Två parenteser på den här formen är varandras konjugat, och därför kallas detta konjugatregeln.

Bevis

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Konjugatregeln kan härledas genom att utföra multiplikationen av parenteserna med hjälp av vanlig parentesmultiplikation.

(a + b) (a - b)

ExpandPar

Multiplicera parenteser

a \cdot a + a \cdot (- b) + b \cdot a + b \cdot (- b)

Multiply

Multiplicera faktorer

a^{2} - a b + a b - b^{2}

SimpTerms

Förenkla termer

a^{2} - b^{2}

Man får alltså att

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2} .

Exempel

Utveckla uttrycket med konjugatregeln

Utveckla

(x + 3) (x - 3)

med konjugatregeln.

Ledtråd

Använd konjugatregeln.

Lösning

När man använder konjugatregeln kvadrerar man den första termen och subtraherar sedan med kvadraten av den andra.

(x + 3) (x - 3)

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

x^{2} - 3^{2}

CalcPow

Beräkna potens

x^{2} - 9

Man får alltså

x^{2} - 9 .

Regel

Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna

Konjugat- och kvadreringsreglerna är inte bara användbara för att multiplicera ihop parenteser utan kan även användas för att dela upp uttryck i faktorer.

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

I uttrycket

x^{2} - 16

kan man identifiera båda termerna som kvadrater, alltså

x^{2} - 4^{2},

och använda konjugatregeln baklänges för att få faktoriseringen

x^{2} - 4^{2} = (x + 4) (x - 4) .

$a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}$

Övning

Hitta den ledande koefficienten och graden av polynom

Hitta det resulterande uttrycket efter att ha kvadrerat ett binom eller multiplicerat de konjugerade binomen.

Konjugat- och kvadreringsreglerna

Övningar

Utveckla uttrycket med hjälp av kvadreringsreglerna.

(x + 7)^{2}

(y - 5)^{2}

(2 x + 3)^{2}

Eftersom vi har ett plustecken inne i parentesen använder vi första kvadreringsregeln: (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. I vårt uttryck (x+7)^2 är a=x och b=7.

Eftersom vi har ett minustecken inne i parentesen använder vi andra kvadreringsregeln: (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. I vårt uttryck (y-5)^2 är a=y och b=5.

Även här använder vi första kvadreringsregeln. Nu är a=2x och b=3. Kom ihåg att upphöja hela termen 2x till två.

Utveckla uttrycket med hjälp av kvadreringsreglerna.

(t - 12)^{2}

(6 - 3 z)^{2}

(4 u + 1)^{2} - 16 u^{2}

Eftersom vi har ett minustecken inne i parentesen använder vi andra kvadreringsregeln: (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. I vårt uttryck (t-12)^2 är a=t och b=12.

Eftersom vi har ett minustecken inne i parentesen använder vi andra kvadreringsregeln: (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. I vårt uttryck (6-3z)^2 är a=6 och b=3z.

Vi börjar med att utveckla parentesen med första kvadreringsregeln. Därefter förenklar vi hela uttrycket.

Utveckla uttrycket med konjugatregeln.

(x - 9) (x + 9)

(4 + y) (4 - y)

(7 - a) (a + 7)

Konjugatregeln har formen (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 och vi ser att vårt uttryck har samma form, med a=x och b = 9. Vi använder detta i formeln.

Vi gör på samma sätt som i förra uppgiften och utvecklar uttrycket med hjälp av konjugatregeln.

Här står termerna inte i samma ordning i parenteserna, men byter vi plats på termerna i (a+7) kan vi använda konjugatregeln även här.

Vi måste inte skriva om uttrycket så att (7+a) står före (7-a), eftersom resultatet av en multiplikation blir detsamma oavsett ordningen på faktorerna.

Utveckla uttrycket med konjugatregeln.

(p - 64) (p + 64)

(x + 2 y) (x - 2 y)

(x^{2} - 8) (x^{2} + 8)

Konjugatregeln har formen (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 och vi ser att vårt uttryck har samma form, med a=p och b = 64.

Konjugatregeln har formen (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 och vi ser att vårt uttryck har samma form, med a=x och b = 2y.

Vi gör på samma sätt som i förra uppgiften och utvecklar uttrycket med hjälp av konjugatregeln.

Utveckla uttrycken med hjälp av kvadreringsreglerna.

(5 a b + 100)^{2}

(- 2 + x)^{2}

Eftersom vi har ett plustecken inne i parentesen använder vi första kvadreringsregeln: (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. I vårt uttryck (5ab+100)^2 är a=5ab och b=100. Notera att hela termen 5ab ska upphöjas till 2.

Återigen använder vi första kvadreringsregeln eftersom det står ett plustecken i parentesen.

Vi skulle även kunna utveckla uttrycket med hjälp av andra kvadreringsregeln om vi byter plats på termerna i parentesen.

Vi fick alltså samma svar, men termerna hamnade i en annan ordning.

Utveckla uttrycket med hjälp av kvadreringsreglerna.

(1 + 2 a)^{2}

(9 + x^{2})^{2}

(4 y - \frac{x}{2})^{2}

Eftersom vi har ett plustecken inne i parentesen använder vi första kvadreringsregeln: (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. I vårt uttryck (1+2a)^2 är a=1 och b=2a. Glöm inte att hela 2a ska upphöjas till 2 och inte bara a.

Återigen använder vi första kvadreringsregeln eftersom det står ett plustecken i parentesen.

Eftersom vi har ett minustecken inne i parentesen använder vi andra kvadreringsregeln: (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. Nu är a=4y och b= x2. Kom ihåg att upphöja hela termen 4y och hela termen x2 med 2.

Skriv ett uttryck för rektangelns area och förenkla så långt som möjligt.

Skriv ett uttryck för triangelns area och förenkla så långt som möjligt.

Rektangelns area beräknas genom att multiplicera bredden med längden, dvs. A=(x+3)(x-3). Vi förenklar detta med konjugatregeln.

Triangelns area beräknas genom att multiplicera bas med höjd och dela produkten med 2, dvs. A= (a+2)(a-2)2. Vi förenklar detta med konjugatregeln.

Utveckla uttrycket med konjugatregeln.

(x^{2} - 12) (x^{2} + 12)

(2^{3} + 2 y) (2^{3} - 2 y)

(2 - (- a)) (- a + 2)

Konjugatregeln har formen (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 och vi ser att vårt uttryck har samma form, med a=x^2 och b = 12. Vi använder detta i formeln.

Vi gör på samma sätt som tidigare och utvecklar uttrycket med hjälp av konjugatregeln. Kom ihåg att hela termen 2y, dvs. inklusive 2:an, ska kvadreras.

Här står termerna inte i samma ordning i parenteserna, men om vi börjar med att förenkla den första parentesen och därefter byter plats på termerna i (- a + 2) kan vi använda konjugatregeln även här.

Utveckla uttrycket med konjugatregeln.

(u^{2} - 6 z) (u^{2} + 6 z)

(2 + \frac{y}{2}) (2 - \frac{y}{2})

(\frac{t}{1 0} + \frac{x}{8}) (\frac{t}{1 0} - \frac{x}{8})

Använd konjugatregeln. Det spelar ingen roll att parentesen med minustecknet står före den med plustecknet, eftersom faktorerna i en multiplikation kan byta plats utan att värdet ändras. Kom ihåg att sätta 2:an som exponent på 6z och inte bara z.

Återigen används konjugatregeln. Notera att både täljare och nämnare i bråket ska kvadreras.

Vi gör på samma sätt igen.

Med hjälp av konjugat- och kvadreringsreglerna kan man förenkla vissa beräkningar med huvudräkning. Använd reglerna för att beräkna.

5 2^{2}

999 \cdot 1001

8 9^{2}

106 \cdot 94

Vi skriver om 52 som 50 + 2 och använder första kvadreringsregeln.

I det här fallet kan vi använda konjugatregeln eftersom vi kan skriva 999 som 1 000 - 1 och 1 001 som 1 000 + 1.

89 kan skrivas som (90 - 1), vilket innebär att vi kan använda andra kvadreringsregeln.

Vi skriver om 106 som 100 + 6 och 94 som 100 - 6 och använder konjugatregeln igen.

Förenkla uttrycket.

3 (x + 5)^{2} - 75

(7 - x) (x + 7) + 49

(x - 4) (x + 4) - (x - 4)^{2}

Här finns en parentes som upphöjs med 2. Den kan vi utveckla med första kvadreringsregeln.

Den första termen ser nästan ut som att man kan använda konjugatregeln. Men om man byter plats på termerna i den andra parentesen står den på rätt form.

Nu får vi använda både konjugat- och kvadreringsregeln.

Förenkla uttrycket $(x + 5) (x - 5) + 25$ så långt som möjligt.

Nationella provet VT12 2b/2c

Produkten av faktorerna (x+5) och (x-5) står på formen (a+b)(a-b) vilket innebär att vi kan använda konjugatregeln för att skriva om den på formen a^2-b^2. Därefter kan vi förenkla uttrycket ytterligare.

Uttrycket förenklas till x^2.

Ange det uttryck som ska stå i parentesen för att likheten ska gälla.

(a + a) \cdot (x - 5) = x^{2} - 25

Nationella provet VT15 2a/2b/2c

Vi kan se att högerledet, x^2-25, liknar det som brukar stå i ena ledet när man använder konjugatregeln: (a+b)(a-b)=a^2-b^2. Detta blir tydligare om vi skriver om 25 som 5^2. ( )*(x-5)=x^2-5^2 I konjugatregeln ser vi att det enda som skiljer de två parenteserna åt är tecknet mellan termerna. Eftersom vår utskrivna parentes, (x-5), innehåller ett minustecken måste den sökta innehålla ett plustecken. Det innebär alltså att det bör stå x+5 i den tomma parentesen. Vi kontrollerar att det stämmer. (x+5)*(x-5)=x^2-5^2=x^2-25

Konjugat- och kvadreringsreglerna

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.