Konjugat- och kvadreringsreglerna

Uttrycket liknar faktorisering med konjugatreglen: a^2-b^2=(a+b)(a-b). Vi löser uppgiften enklast genom att titta på uttrycket och resonera oss fram: y^2-△=(◊ +7)(y-♡). Eftersom högerledet är konjugat måste termerna vara samma, dvs. första termen ska vara y och andra 7. Det ger oss att ◊=y och ♡=7. Triangeln motsvarar första termen i kvadrat, så eftersom 7^2=49 får vi att △=49, ◊=y, och ♡=7.

Här har vi ett uttryck som påminner om första kvadreringsregeln baklänges: a^2+2ab+b^2=(a + b)^2. Vi resonerar oss fram till en symbol i taget. 9x^2+△+25=(◊+♡)^2. Vi ser med hjälp av första termen i vänsterledet att a^2=9x^2, så ◊=sqrt(9x^2)=3x eftersom rutan står för a. Tredje termen i vänsterledet ger oss att b^2=25, vilket innebär att b=♡=5. Nu kan vi bestämma triangeln, eftersom vi vet att den står för 2ab.

Sammanfattningsvis blir symbolerna △=30x, ◊=3x, och ♡=5.

Slutligen har vi något som liknar andra kvadreringsregeln, a^2-2ab+b^2=(a - b)^2: 64z^2-32z+△=(◊-♡)^2. Vi börjar med att ta reda på a, genom att vi vet att 64z^2=a^2. Det ger oss att a=sqrt(64z^2)=8z. Nu vet vi att ◊=8z. Med hjälp av detta kan vi ta reda på b, eftersom vi vet att 2ab=32z.

Eftersom △=b^2=4 får vi alltså △=4, ◊=8z, och ♡=2.

Två binom är konjugat om de har samma termer men där en har bytt tecken, t.ex. (x+2) och (x-2). Vi vet att produkten av två konjugat kan förenklas med konjugatregeln: (a+b)(a-b)=a^2-b^2. Vi kan också faktorisera genom att använda regeln baklänges: a^2-b^2=(a+b)(a-b).

Genom att skriva om vårt uttryck x^2-81 på formen a^2+b^2 kan vi direkt se vilka konjugaten är. 81 kan skrivas som 9^2 eftersom 81=9 * 9.

Konjugaten är alltså x+9 och x-9, dvs. produkten av dessa ger (x+9)(x-9)=x^2-81.

Vi skriver om 4x^2-36 så att det liknar ett uttryck på formen a^2-b^2. 4 kan skrivas som 2^2.

Konjugaten är alltså 2x+6 och 2x-6.

Vi gör på samma sätt med 25y^2-1. Kom ihåg att 1 kan skrivas som 1^2.

Konjugaten är alltså 5y+1 och 5y-1.

För att skriva om 7-0.25z^2 på formen måste vi hitta det tal som gånger sig självt blir 7, vilket ju är sqrt(7). Vi kommer också ihåg att 0.5 * 0.5=0.25.

De sista konjugaten är sqrt(7)+0.5z och sqrt(7)-0.5z.

Eftersom uttrycket är skrivet på formen (a+b)(a-b) är det enklast att använda konjugatregeln för att utveckla det. Kom ihåg att sqrt(x) * sqrt(x)=x, eftersom kvadratroten ur x är just det tal som ska multipliceras med sig självt för att få x.

Även här multipliceras två konjugat, så vi använder samma regel.

Det här uttrycket innehåller termer som kan utvecklas med både första och andra kvadreringsreglen. Vi förenklar parenteserna en i taget och lägger sedan ihop resultaten.

sqrt(450) är det positiva tal som blir 450 när det multipliceras med sig självt. Vi prövar därför att kvadrera talen att se vilket som hamnar närmast 450. Vi börjar med 16, som vi kan skriva som 10+6 och sedan utveckla med första kvadreringsregeln.

16^2 är lika med 256. Vi gör på samma sätt med 22^2, och som vi skriver som (20+2)^2.

Eftersom 22^2 blir 484 kan sqrt(450) inte vara större än 22. Vi behöver därför inte pröva de övriga talen, för kvadraterna av dem kommer bara vara ännu större. 484 är närmare 450 än 256 så därför måste 22 vara närmare sqrt(450) än 16.

Vi noterar att 11 011 är samma sak som 11 012 -1 och 11 013 är samma sak som 11 012 +1. Genom att göra denna omskrivning kan produkten förenklas med konjugatregeln.

Uttrycket är alltså lika med - 1

Subtraherar vi den mindre kvadratens area från den större skapar vi ett uttryck för hur mycket större A_2 är än A_1. Eftersom båda figurerna är kvadrater kan vi beräkna deras areor genom att kvadrera sidlängderna, vilket ger ekvationen A_2-A_1=(x+1)^2-x^2. Vi förenklar med första kvadreringsregeln.

A_2 är (2x+1) areanheter större.

Samma sak igen fast vi subtraherar A_2 från A_1. A_1-A_2=x^2-(x-2)(x+2) Vi förenklar sedan med konjugatregeln.

Arean för A_1 är 4 areaenheter större.

Kvadratens area kan beräknas genom att addera de fyra delareorna som bildar den större kvadraten, vi räknar ut dessas areor.

Adderar vi dessa areor får vi uttrycket: a^2+ab+ab+b^2 = a^2+2ab+b^2.

Vi kan även bestämma arean genom att lägga ihop sidlängderna och därefter multiplicera den stora kvadratens sidor.

Multiplicerar vi kvadratens sidlängder får vi uttrycket (a+b)^2. Eftersom summan av de fyra delareorna är lika stort som den stora kvadraten kan vi likställa uttrycken för dem vilket visar första kvadreringsregeln: (a+b)^2=a^2+2ab+b^2.

När man faktoriserar brukar man oftast bryta ut en gemensam faktor. Vårt uttryck har dock inga gemensamma faktorer, men tittar vi närmare på det ser vi att y^2+10y+25 liknar a^2+2ab+b^2. Om vi kan skriva om vårt uttryck på formen a^2+2ab+b^2 kan vi faktorisera det genom att använda första kvadreringsregeln baklänges: a^2+2ab+b^2=(a+b)^2. Vi skriver upp uttrycken under varandra och jämför: & y^2+10y+ 25 & a^2+2ab+ b^2. Första och sista termen stämmer med första kvadreringsregeln, eftersom 25 kan skrivas som 5^2. Alltså är a=y och b=5.

Men, kan mittentermen 10y skrivas som 2ab? Ja, stoppar vi in uttrycken för a och b får vi 2ab=2 * y * 5 = 10y.

Nu när vi konstaterat att uttrycket är skrivet på samma form som första kvadreringsregeln behöver vi bara utföra själva faktoriseringen genom att sätta in a och b. Uttrycket kan faktoriseras till (y+5)^2.

Första parentesen kan förenklas genom att utveckla uttrycket med andra kvadreringsregeln och den andra kan förenklas genom att multiplicera in 4 i parentesen.

Uttrycket förenklas till 9x^2.