1. Konjugat- och kvadreringsreglerna
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
1.
Konjugat- och kvadreringsreglerna
Konjugatregeln och kvadreringsreglerna är viktiga verktyg inom algebra som används för att förenkla och beräkna uttryck. Kvadreringsreglerna används när en parentes med två termer multipliceras med sig själv, det vill säga kvadreras. Beroende på om det finns ett plus- eller minustecken mellan termerna används första eller andra kvadreringsregeln. Konjugatregeln används när två parenteser, som är varandras konjugat, multipliceras ihop. Dessa regler är inte bara användbara för att multiplicera ihop parenteser, utan kan också användas för att dela upp uttryck i faktorer. Dessa koncept är centrala inom matematik och ger en djupare förståelse för algebra.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 30 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Konjugat- och kvadreringsreglerna
Sida av 5
Videolektion Mathleaks
play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt
Minispelare aktiv
Regel
Kvadreringsreglerna
När en parentes med två termer multipliceras med sig själv, dvs. kvadreras, kan beräkningarna underlättas med de så kallade kvadreringsreglerna. De kan alltså tillämpas för att förenkla och beräkna uttryck som
(x+2)2och(3−x)2.
Beroende på om det står ett plus- eller minustecken mellan termerna används första eller andra kvadreringsregeln.
Regel
Första kvadreringsregeln
Regel
(a+b)2=a2+2ab+b2Den första kvadreringsregeln kan härledas genom att skriva kvadraten som en multiplikation av två likadana parenteser.
Man får alltså att
(a+b)2
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
(a+b)(a+b)
ExpandPar
Multiplicera parenteser
a⋅a+a⋅b+b⋅a+b⋅b
Multiply
Multiplicera faktorer
a2+ab+ab+b2
SimpTerms
Förenkla termer
a2+2ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2.
Regel
Andra kvadreringsregeln
Regel
(a−b)2=a2−2ab+b2Den andra kvadreringsregeln kan härledas genom att skriva kvadraten som en multiplikation av två likadana parenteser.
Man får alltså att
(a−b)2
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
(a−b)(a−b)
ExpandPar
Multiplicera parenteser
a⋅a+a⋅(−b)+(−b)⋅a+(−b)⋅(−b)
Multiply
Multiplicera faktorer
a2−ab−ab+b2
SimpTerms
Förenkla termer
a2−2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2.
Exempel
Förenkla uttrycken med kvadreringsreglerna
Förenkla (x+3)2 och (7−x)2 med kvadreringsreglerna.
Visa Lösning expand_more
Den första parentesen har ett plustecken mellan termerna så vi använder första kvadreringsregeln.
Den andra parentesen har ett minustecken mellan termerna så vi använder andra kvadreringsregeln.
(x+3)2
(a+b)2=a2+2ab+b2
x2+2⋅x⋅3+32
Multiply
Multiplicera faktorer
x2+6x+32
CalcPow
Beräkna potens
x2+6x+9
(7−x)2
(a−b)2=a2−2ab+b2
72−2⋅7⋅x+x2
CalcPow
Beräkna potens
49−2⋅7⋅x+x2
Multiply
Multiplicera faktorer
49−14x+x2
Uttrycken kan alltså utvecklas till x2+6x+9 respektive 49−14x+x2.
Regel
Konjugatregeln
Om två parenteser på formen (a+b) och (a−b) ska multipliceras ihop kan beräkningarna underlättas med den så kallade konjugatregeln. Exempelvis kan regeln användas för förenkling av
(x+5)(x−5)och(2+6y)(2−6y).
Två parenteser på den här formen är varandras konjugat, och därför kallas detta konjugatregeln. Regel
(a+b)(a−b)=a2−b2Exempel
Utveckla uttrycket med konjugatregeln
Utveckla (x+3)(x−3) med konjugatregeln.
Visa Lösning expand_more
När man använder konjugatregeln kvadrerar man den första termen och subtraherar sedan med kvadraten av den andra.
Man får alltså x2−9.
Regel
Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna
Konjugat- och kvadreringsreglerna är inte bara användbara för att multiplicera ihop parenteser utan kan även användas för att dela upp uttryck i faktorer. I uttrycket x2−16 kan man identifiera båda termerna som kvadrater, alltså x2−42, och använda konjugatregeln baklänges för att få faktoriseringen
x2−42=(x+4)(x−4).
Konjugat- och kvadreringsreglerna
Uppgift 3.1
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y","z"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y","z"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi skriver ut den kvadrerade termen som (x+y+z)(x+y+z) och kan därefter använda distributiva lagen för att multiplicera alla termer i första parentesen med alla termer i den andra.
Vi sätter ut en parentes runt t.ex. y+z och låter den vara "b-termen" i första kvadreringsregeln.
Sista termen kan vi utveckla med kvadreringsregeln.
Vi hade även kunnat sätta parenteserna runt x+y och utvecklat ((x+y)+z)^2 på motsvarande sätt.
security
report
code
Familjen Andersson har skaffat en kvadratisk pool och vill lägga en gång gjord av plankor runt hela poolen. Gången planeras bli en halv meter bred längs med poolen och enligt ritningarna behöver familjen då köpa 9 m2 plankor. Hur lång är poolens sida?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"m","answer":{"text":["4"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi låter poolens sidlängd utan gång vara x m och arean för poolen x^2 m^2.
Sedan läggs det på plankor runt poolen som ökar poolområdet med en halv meter överallt.
Eftersom gång finns på båda sidor om poolen blir sidlängden för pool inklusive gång x+ 0.5 + 0.5 = x + 1 m. Vi beräknar arean av hela området genom att kvadrera sidlängden: A_(Hela) = (x+1)^2. Arean av enbart gången får vi genom att subtrahera poolområdet, som var x^2. Vi ställer upp och förenklar detta uttryck.
Vi vet även att gångens area är 9 m^2, eftersom det var så mycket som arean ökade när den lades till. Nu kan x lösas ut genom att likställa ekvationen för gången med 9.
Poolens sida är 4 meter.
security
report
code
Är differensen
(x+y)2−4xy
alltid icke-negativ, d.v.s. större än eller lika med 0?
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Vi utvecklar den kvadrerade termen med första kvadreringsregeln.
Om vi omarrangerar termerna ser vi att det kan förenklas ytterligare med andra kvadreringsregeln.
Vi har förenklat uttrycket till en differens i kvadrat. När vi kvadrerar ett positivt eller negativt tal blir resultatet alltid positivt och skulle differensen vara noll blir resultatet noll. Vi har därmed visat att (x+y)^2-4xy alltid är större eller lika med noll.
security
report
code
Förenkla uttrycket.
((x+4)2−(x−4)2)2−((y+4)2−(y−4)2)2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["256(x-y)(x+y)","256(x^2-y^2)"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att förenkla differensen i uttryckets första term med kvadreringsreglerna.
Den andra termen är exakt likadan som den första med enda skillnaden att variabeln är y istället för x. Förenklas denna kommer vi då få 16y. Vi sätter in detta i det ursprungliga uttrycket och får då (16x)^2-(16y)^2. Det förenklade uttrycket är en differens av två kvadrater. Vi kan därmed använda konjugatregeln för att faktorisera.
((x+4)^2-(x-4)^2)^2-((y+4)^2-(y-4)^2)^2 kan alltså skrivas om till 256(x-y)(x+y).
security
report
code
((x+2)(x−2))2.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^4-8x^2+16"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["n"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["(n-2)(n+2)(n^{2}+4)"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att använda konjugatregeln på faktorerna innanför parentesen.
Nu har vi ett uttryck på formen (a-b)^2 och kan därmed använda andra kvadreringsregeln för att förenkla uttrycket ytterligare.
Både n^4 och 16 kan skrivas om som potenser med exponenten 2. Gör vi detta kan vi skriva uttrycket på en form som kan förenklas med konjugatregeln.
Den första faktorn i det omskrivna uttrycket kan förenklas ytterligare genom att använda konjugatregeln en gång till, vilket ger oss produkt med tre faktorer.
security
report
code
Förenkla uttrycket så långt som möjligt.
2(x+3)2−(x+3)
Nationella provet VT15 2b
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sqrt{3x}"]}}
x61⋅x31x65(x31+1)(x31−1)
Nationella provet VT15 2b
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x-x^{\\frac{1}{3}}"]}}
security
report
code
security
report
code
Första parantesen står på formen (a+b)^2 så denna kan utvecklas med första kvadreringsregeln. Vi börjar med att göra detta och förenklar sedan så långt det går.
Uttrycket kan alltså förenklas till sqrt(3x).
Vi börjar med att förenkla parenteserna i täljaren. Eftersom det enda som skiljer dem åt är tecknet i mitten kan vi använda konjugatregeln:
(a+b)(a-b)=a^2-b^2.
Det ger oss uttrycket
x^(56)((x^(13))^2-1^2)/x^(16)* x^(13).
Vi fortsätter förenkla med hjälp av potenslagarna.
Nu multiplicerar vi in x^(56) i parentesen.
Vi delar nu upp bråket i två bråk för att kunna förenkla vidare.
Uttrycket förenklas alltså till x-x^(13).
security
report
code
Konjugat- och kvadreringsreglerna
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll