Konjugat- och kvadreringsreglerna

Vi skriver ut den kvadrerade termen som (x+y+z)(x+y+z) och kan därefter använda distributiva lagen för att multiplicera alla termer i första parentesen med alla termer i den andra.

Vi sätter ut en parentes runt t.ex. y+z och låter den vara "b-termen" i första kvadreringsregeln.

Sista termen kan vi utveckla med kvadreringsregeln.

Vi hade även kunnat sätta parenteserna runt x+y och utvecklat ((x+y)+z)^2 på motsvarande sätt.

Vi låter poolens sidlängd utan gång vara xm och arean för poolen x^2m^2.

Sedan läggs det på plankor runt poolen som ökar poolområdet med en halv meter överallt.

Eftersom gång finns på båda sidor om poolen blir sidlängden för pool inklusive gång x+ 0,5 + 0,5 = x + 1 m. Vi beräknar arean av hela området genom att kvadrera sidlängden: A_(Hela) = (x+1)^2. Arean av enbart gången får vi genom att subtrahera poolområdet, som var x^2. Vi ställer upp och förenklar detta uttryck.

Vi vet även att gångens area är 9m 2, eftersom det var så mycket som arean ökade när den lades till. Nu kan x lösas ut genom att likställa ekvationen för gången med 9.

Poolens sida är 4 meter.

Vi utvecklar den kvadrerade termen med första kvadreringsregeln.

Om vi omarrangerar termerna ser vi att det kan förenklas ytterligare med andra kvadreringsregeln.

Vi har förenklat uttrycket till en differens i kvadrat. När vi kvadrerar ett positivt eller negativt tal blir resultatet alltid positivt och skulle differensen vara noll blir resultatet noll. Vi har därmed visat att (x+y)^2-4xy alltid är större eller lika med noll.

Vi börjar med att förenkla differensen i uttryckets första term med kvadreringsreglerna.

Den andra termen är exakt likadan som den första med enda skillnaden att variabeln är y istället för x. Förenklas denna kommer vi då få 16y. Vi sätter in detta i det ursprungliga uttrycket och får då (16x)^2-(16y)^2. Det förenklade uttrycket är en differens av två kvadrater. Vi kan därmed använda konjugatregeln för att faktorisera.

((x+4)^2-(x-4)^2)^2-((y+4)^2-(y-4)^2)^2 kan alltså skrivas om till 256(x-y)(x+y).

Vi börjar med att använda konjugatregeln på faktorerna innanför parentesen.

Nu har vi ett uttryck på formen (a-b)^2 och kan därmed använda andra kvadreringsregeln för att förenkla uttrycket ytterligare.

Både n^4 och 16 kan skrivas om som potenser med exponenten 2. Gör vi detta kan vi skriva uttrycket på en form som kan förenklas med konjugatregeln.

Den första faktorn i det omskrivna uttrycket kan förenklas ytterligare genom att använda konjugatregeln en gång till, vilket ger oss produkt med tre faktorer.

Första parantesen står på formen (a+b)^2 så denna kan utvecklas med första kvadreringsregeln. Vi börjar med att göra detta och förenklar sedan så långt det går.

Uttrycket kan alltså förenklas till sqrt(3x).

Vi börjar med att förenkla parenteserna i täljaren. Eftersom det enda som skiljer dem åt är tecknet i mitten kan vi använda konjugatregeln: (a+b)(a-b)=a^2-b^2. Det ger oss uttrycket x^(56)((x^(13))^2-1^2)/x^(16)* x^(13). Vi fortsätter förenkla med hjälp av potenslagarna.

Nu multiplicerar vi in x^(56) i parentesen.

Vi delar nu upp bråket i två bråk för att kunna förenkla vidare.

Uttrycket förenklas alltså till x-x^(13).