1. Konjugat- och kvadreringsreglerna
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
1.
Konjugat- och kvadreringsreglerna
Konjugatregeln och kvadreringsreglerna är viktiga verktyg inom algebra som används för att förenkla och beräkna uttryck. Kvadreringsreglerna används när en parentes med två termer multipliceras med sig själv, det vill säga kvadreras. Beroende på om det finns ett plus- eller minustecken mellan termerna används första eller andra kvadreringsregeln. Konjugatregeln används när två parenteser, som är varandras konjugat, multipliceras ihop. Dessa regler är inte bara användbara för att multiplicera ihop parenteser, utan kan också användas för att dela upp uttryck i faktorer. Dessa koncept är centrala inom matematik och ger en djupare förståelse för algebra.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 30 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Konjugat- och kvadreringsreglerna
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Kvadreringsreglerna
- Konjugatregeln
- Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Kvadreringsreglerna
När en parentes med två termer multipliceras med sig själv, dvs. kvadreras, kan beräkningarna underlättas med de så kallade kvadreringsreglerna. De kan alltså tillämpas för att förenkla och beräkna uttryck som (x+2)^2 och (3-x)^2. Beroende på om det står ett plus- eller minustecken mellan termerna används första eller andra kvadreringsregeln.
Första kvadreringsregeln
Står det ett plustecken mellan termerna i parentesen kan man använda första kvadreringsregeln.
Bevis
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2Den första kvadreringsregeln kan härledas genom att skriva kvadraten som en multiplikation av två likadana parenteser.
(a + b)^2
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
(a + b)(a + b)
ExpandPar
Multiplicera parenteser
a* a + a * b + b * a + b * b
Multiply
Multiplicera faktorer
a^2 + ab + ab + b^2
SimpTerms
Förenkla termerna
a^2 + 2ab + b^2
Man får alltså att (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
Andra kvadreringsregeln
Står det ett minustecken mellan termerna i parentesen kan man använda andra kvadreringsregeln.
Bevis
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2Den andra kvadreringsregeln kan härledas genom att skriva kvadraten som en multiplikation av två likadana parenteser.
(a - b)^2
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
(a - b)(a - b)
ExpandPar
Multiplicera parenteser
a* a + a * (- b) + (- b) * a + (- b) * (- b)
Multiply
Multiplicera faktorer
a^2 - ab - ab + b^2
SimpTerms
Förenkla termerna
a^2 - 2ab + b^2
Man får alltså att (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Förenkla uttrycken med kvadreringsreglerna
Förenkla följande uttryck med kvadreringsreglerna.
a
(x+3)^2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^2+6x+9"]}}
b
(7-x)^2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["49-14x+x^2"]}}
Ledtråd
a Använd den första kvadreringsregeln.
b Använd den andra kvadreringsregeln.
Lösning
a Den första parentesen har ett plustecken mellan termerna så vi använder första kvadreringsregeln.
(x+3)^2
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
x^2+2* x*3+3^2
Multiply
Multiplicera faktorer
x^2+6x+3^2
CalcPow
Beräkna potens
x^2+6x+9
Uttrycken kan alltså utvecklas till x^2+6x+9.
b Den andra parentesen har ett minustecken mellan termerna så vi använder andra kvadreringsregeln.
(7-x)^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
7^2-2*7* x +x^2
CalcPow
Beräkna potens
49-2*7* x +x^2
Multiply
Multiplicera faktorer
49-14x +x^2
Det andra uttrycket kan utvecklas till 49-14x+x^2.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Konjugat
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Konjugatregeln
Om två parenteser på formen (a+b) och (a-b) ska multipliceras ihop kan beräkningarna underlättas med den så kallade konjugatregeln. Exempelvis kan regeln användas för förenkling av (x+5)(x-5) och (2+6y)(2-6y). Två parenteser på den här formen är varandras konjugat, och därför kallas detta konjugatregeln.
Bevis
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2Konjugatregeln kan härledas genom att utföra multiplikationen av parenteserna med hjälp av vanlig parentesmultiplikation.
(a + b)(a - b)
ExpandPar
Multiplicera parenteser
a * a + a * (- b) + b * a + b * (- b)
Multiply
Multiplicera faktorer
a^2 - ab + ab - b^2
SimpTerms
Förenkla termerna
a^2 - b^2
Man får alltså att (a + b)(a - b) = a^2 - b^2.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Utveckla uttrycket med konjugatregeln
Utveckla (x+3)(x-3) med konjugatregeln.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^2-9"]}}
Ledtråd
Använd konjugatregeln.
Lösning
När man använder konjugatregeln kvadrerar man den första termen och subtraherar sedan med kvadraten av den andra.
Man får alltså x^2-9.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna
Konjugat- och kvadreringsreglerna är inte bara användbara för att multiplicera ihop parenteser utan kan även användas för att dela upp uttryck i faktorer.
a^2-b^2 = (a+b)(a-b)
I uttrycket x^2 - 16 kan man identifiera båda termerna som kvadrater, alltså x^2 - 4^2, och använda konjugatregeln baklänges för att få faktoriseringen x^2 - 4^2 = (x+4)(x-4).
a^2± 2ab + b^2 = (a ± b)^2
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Hitta den ledande koefficienten och graden av polynom
Hitta det resulterande uttrycket efter att ha kvadrerat ett binom eller multiplicerat de konjugerade binomen.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Konjugat- och kvadreringsreglerna
Uppgift 3.1
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y","z"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y","z"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi skriver ut den kvadrerade termen som (x+y+z)(x+y+z) och kan därefter använda distributiva lagen för att multiplicera alla termer i första parentesen med alla termer i den andra.
Vi sätter ut en parentes runt t.ex. y+z och låter den vara "b-termen" i första kvadreringsregeln.
Sista termen kan vi utveckla med kvadreringsregeln.
Vi hade även kunnat sätta parenteserna runt x+y och utvecklat ((x+y)+z)^2 på motsvarande sätt.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Familjen Andersson har skaffat en kvadratisk pool och vill lägga en gång gjord av plankor runt hela poolen. Gången planeras bli en halv meter bred längs med poolen och enligt ritningarna behöver familjen då köpa 9 m^2 plankor. Hur lång är poolens sida?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"m","answer":{"text":["4"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi låter poolens sidlängd utan gång vara xm och arean för poolen x^2m^2.
Sedan läggs det på plankor runt poolen som ökar poolområdet med en halv meter överallt.
Eftersom gång finns på båda sidor om poolen blir sidlängden för pool inklusive gång x+ 0,5 + 0,5 = x + 1 m. Vi beräknar arean av hela området genom att kvadrera sidlängden: A_(Hela) = (x+1)^2. Arean av enbart gången får vi genom att subtrahera poolområdet, som var x^2. Vi ställer upp och förenklar detta uttryck.
Vi vet även att gångens area är 9m 2, eftersom det var så mycket som arean ökade när den lades till. Nu kan x lösas ut genom att likställa ekvationen för gången med 9.
Poolens sida är 4 meter.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Är differensen (x+y)^2-4xy alltid icke-negativ, d.v.s. större än eller lika med 0?
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Vi utvecklar den kvadrerade termen med första kvadreringsregeln.
Om vi omarrangerar termerna ser vi att det kan förenklas ytterligare med andra kvadreringsregeln.
Vi har förenklat uttrycket till en differens i kvadrat. När vi kvadrerar ett positivt eller negativt tal blir resultatet alltid positivt och skulle differensen vara noll blir resultatet noll. Vi har därmed visat att (x+y)^2-4xy alltid är större eller lika med noll.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Förenkla uttrycket. ((x + 4)^2 - (x - 4)^2)^2 - ((y + 4)^2 - (y - 4)^2)^2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["256(x-y)(x+y)","256(x^2-y^2)"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att förenkla differensen i uttryckets första term med kvadreringsreglerna.
Den andra termen är exakt likadan som den första med enda skillnaden att variabeln är y istället för x. Förenklas denna kommer vi då få 16y. Vi sätter in detta i det ursprungliga uttrycket och får då (16x)^2-(16y)^2. Det förenklade uttrycket är en differens av två kvadrater. Vi kan därmed använda konjugatregeln för att faktorisera.
((x+4)^2-(x-4)^2)^2-((y+4)^2-(y-4)^2)^2 kan alltså skrivas om till 256(x-y)(x+y).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^4-8x^2+16"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["n"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["(n-2)(n+2)(n^{2}+4)"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att använda konjugatregeln på faktorerna innanför parentesen.
Nu har vi ett uttryck på formen (a-b)^2 och kan därmed använda andra kvadreringsregeln för att förenkla uttrycket ytterligare.
Både n^4 och 16 kan skrivas om som potenser med exponenten 2. Gör vi detta kan vi skriva uttrycket på en form som kan förenklas med konjugatregeln.
Den första faktorn i det omskrivna uttrycket kan förenklas ytterligare genom att använda konjugatregeln en gång till, vilket ger oss produkt med tre faktorer.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Nationella provet VT15 2b
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sqrt{3x}"]}}
Nationella provet VT15 2b
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x-x^{\\frac{1}{3}}"]}}
security
report
code
security
report
code
Första parantesen står på formen (a+b)^2 så denna kan utvecklas med första kvadreringsregeln. Vi börjar med att göra detta och förenklar sedan så långt det går.
Uttrycket kan alltså förenklas till sqrt(3x).
Vi börjar med att förenkla parenteserna i täljaren. Eftersom det enda som skiljer dem åt är tecknet i mitten kan vi använda konjugatregeln:
(a+b)(a-b)=a^2-b^2.
Det ger oss uttrycket
x^(56)((x^(13))^2-1^2)/x^(16)* x^(13).
Vi fortsätter förenkla med hjälp av potenslagarna.
Nu multiplicerar vi in x^(56) i parentesen.
Vi delar nu upp bråket i två bråk för att kunna förenkla vidare.
Uttrycket förenklas alltså till x-x^(13).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Konjugat- och kvadreringsreglerna
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll