Konjugat- och kvadreringsreglerna

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Regel

Kvadreringsreglerna

När en parentes med två termer multipliceras med sig själv, dvs. kvadreras, kan beräkningarna underlättas med de så kallade kvadreringsreglerna. De kan alltså tillämpas för att förenkla och beräkna uttryck som (x+2)2och(3x)2. (x+2)^2 \quad \text{och} \quad (3-x)^2. Beroende på om det står ett plus- eller minustecken mellan termerna används första eller andra kvadreringsregeln.

Regel

Första kvadreringsregeln

Står det ett plustecken mellan termerna i parentesen kan man använda första kvadreringsregeln.

Regel

(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Den första kvadreringsregeln kan härledas genom att skriva kvadraten som en multiplikation av två likadana parenteser.
(a+b)2(a + b)^2
(a+b)(a+b)(a + b)(a + b)
aa+ab+ba+bba\cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b
a2+ab+ab+b2a^2 + ab + ab + b^2
a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2
Man får alltså att (a+b)2=a2+2ab+b2. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
Regel

Andra kvadreringsregeln

Står det ett minustecken mellan termerna i parentesen kan man använda andra kvadreringsregeln.

Regel

(ab)2=a22ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
Den andra kvadreringsregeln kan härledas genom att skriva kvadraten som en multiplikation av två likadana parenteser.
(ab)2(a - b)^2
(ab)(ab)(a - b)(a - b)
aa+a(-b)+(-b)a+(-b)(-b)a\cdot a + a \cdot (\text{-} b) + (\text{-} b) \cdot a + (\text{-} b) \cdot (\text{-} b)
a2abab+b2a^2 - ab - ab + b^2
a22ab+b2a^2 - 2ab + b^2
Man får alltså att (ab)2=a22ab+b2. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.
Uppgift

Förenkla (x+3)2(x+3)^2 och (7x)2(7-x)^2 med kvadreringsreglerna.

Lösning
Den första parentesen har ett plustecken mellan termerna så vi använder första kvadreringsregeln.
(x+3)2(x+3)^2
(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
x2+2x3+32x^2+2\cdot x\cdot3+3^2
x2+6x+32x^2+6x+3^2
x2+6x+9x^2+6x+9
Den andra parentesen har ett minustecken mellan termerna så vi använder andra kvadreringsregeln.
(7x)2(7-x)^2
(ab)2=a22ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
7227x+x27^2-2\cdot7\cdot x +x^2
4927x+x249-2\cdot7\cdot x +x^2
4914x+x249-14x +x^2

Uttrycken kan alltså utvecklas till x2+6x+9x^2+6x+9 respektive 4914x+x2.49-14x +x^2.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Konjugatregeln

Om två parenteser på formen (a+b)(a+b) och (ab)(a-b) ska multipliceras ihop kan beräkningarna underlättas med den så kallade konjugatregeln. Exempelvis kan regeln användas för förenkling av (x+5)(x5)och(2+6y)(26y). (x+5)(x-5) \quad \text{och} \quad (2+6y)(2-6y). Två parenteser på den här formen är varandras konjugat, och därför kallas detta konjugatregeln.

Regel

(a+b)(ab)=a2b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
Konjugatregeln kan härledas genom att utföra multiplikationen av parenteserna med hjälp av vanlig parentesmultiplikation.
(a+b)(ab)(a + b)(a - b)
aa+a(-b)+ba+b(-b)a \cdot a + a \cdot (\text{-} b) + b \cdot a + b \cdot (\text{-} b)
a2ab+abb2a^2 - ab + ab - b^2
a2b2a^2 - b^2
Man får alltså att (a+b)(ab)=a2b2. (a + b)(a - b) = a^2 - b^2.
Uppgift

Utveckla (x+3)(x3)(x+3)(x-3) med konjugatregeln.

Lösning

När man använder konjugatregeln kvadrerar man den första termen och subtraherar sedan med kvadraten av den andra.

(x+3)(x3)(x+3)(x-3)
(a+b)(ab)=a2b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2
x232x^2-3^2
x29x^2-9

Man får alltså x29.x^2-9.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna


Konjugat- och kvadreringsreglerna är inte bara användbara för att multiplicera ihop parenteser utan kan även användas för att dela upp uttryck i faktorer. I uttrycket x216x^2 - 16 kan man identifiera båda termerna som kvadrater, alltså x242x^2 - 4^2, och använda konjugatregeln baklänges för att få faktoriseringen

x242=(x+4)(x4). x^2 - 4^2 = (x+4)(x-4).

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}