Konjugat- och kvadreringsreglerna

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Regel

Kvadreringsreglerna

När en parentes med två termer multipliceras med sig själv, dvs. kvadreras, kan beräkningarna underlättas med de så kallade kvadreringsreglerna. De kan alltså tillämpas för att förenkla och beräkna uttryck som (x+2)2och(3x)2. (x+2)^2 \quad \text{och} \quad (3-x)^2. Beroende på om det står ett plus- eller minustecken mellan termerna används första eller andra kvadreringsregeln.

Regel

Första kvadreringsregeln

Står det ett plustecken mellan termerna i parentesen kan man använda första kvadreringsregeln.

Regel

(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Den första kvadreringsregeln kan härledas genom att skriva kvadraten som en multiplikation av två likadana parenteser.
(a+b)2(a + b)^2
Dela upp i faktorer
(a+b)(a+b)(a + b)(a + b)
aa+ab+ba+bba\cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b
a2+ab+ab+b2a^2 + ab + ab + b^2
a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2
Man får alltså att (a+b)2=a2+2ab+b2. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
Regel

Andra kvadreringsregeln

Står det ett minustecken mellan termerna i parentesen kan man använda andra kvadreringsregeln.

Regel

(ab)2=a22ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
Den andra kvadreringsregeln kan härledas genom att skriva kvadraten som en multiplikation av två likadana parenteser.
(ab)2(a - b)^2
Dela upp i faktorer
(ab)(ab)(a - b)(a - b)
aa+a(-b)+(-b)a+(-b)(-b)a\cdot a + a \cdot (\text{-} b) + (\text{-} b) \cdot a + (\text{-} b) \cdot (\text{-} b)
a2abab+b2a^2 - ab - ab + b^2
a22ab+b2a^2 - 2ab + b^2
Man får alltså att (ab)2=a22ab+b2. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.
Uppgift

Förenkla (x+3)2(x+3)^2 och (7x)2(7-x)^2 med kvadreringsreglerna.

Lösning
Den första parentesen har ett plustecken mellan termerna så vi använder första kvadreringsregeln.
(x+3)2(x+3)^2
(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
x2+2x3+32x^2+2\cdot x\cdot3+3^2
x2+6x+32x^2+6x+3^2
x2+6x+9x^2+6x+9
Den andra parentesen har ett minustecken mellan termerna så vi använder andra kvadreringsregeln.
(7x)2(7-x)^2
(ab)2=a22ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
7227x+x27^2-2\cdot7\cdot x +x^2
4927x+x249-2\cdot7\cdot x +x^2
4914x+x249-14x +x^2

Uttrycken kan alltså utvecklas till x2+6x+9x^2+6x+9 respektive 4914x+x2.49-14x +x^2.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Konjugatregeln

Om två parenteser på formen (a+b)(a+b) och (ab)(a-b) ska multipliceras ihop kan beräkningarna underlättas med den så kallade konjugatregeln. Exempelvis kan regeln användas för förenkling av (x+5)(x5)och(2+6y)(26y). (x+5)(x-5) \quad \text{och} \quad (2+6y)(2-6y). Två parenteser på den här formen är varandras konjugat, och därför kallas detta konjugatregeln.

Regel

(a+b)(ab)=a2b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
Konjugatregeln kan härledas genom att utföra multiplikationen av parenteserna med hjälp av vanlig parentesmultiplikation.
(a+b)(ab)(a + b)(a - b)
aa+a(-b)+ba+b(-b)a \cdot a + a \cdot (\text{-} b) + b \cdot a + b \cdot (\text{-} b)
a2ab+abb2a^2 - ab + ab - b^2
a2b2a^2 - b^2
Man får alltså att (a+b)(ab)=a2b2. (a + b)(a - b) = a^2 - b^2.
Uppgift

Utveckla (x+3)(x3)(x+3)(x-3) med konjugatregeln.

Lösning

När man använder konjugatregeln kvadrerar man den första termen och subtraherar sedan med kvadraten av den andra.

(x+3)(x3)(x+3)(x-3)
(a+b)(ab)=a2b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2
x232x^2-3^2
x29x^2-9

Man får alltså x29.x^2-9.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna


Konjugat- och kvadreringsreglerna är inte bara användbara för att multiplicera ihop parenteser utan kan även användas för att dela upp uttryck i faktorer. I uttrycket x216x^2 - 16 kan man identifiera båda termerna som kvadrater, alltså x242x^2 - 4^2, och använda konjugatregeln baklänges för att få faktoriseringen

x242=(x+4)(x4). x^2 - 4^2 = (x+4)(x-4).

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Utveckla uttrycken med hjälp av kvadreringsreglerna.


a

(x+7)2(x+7)^2

b

(y5)2(y-5)^2

c

(2x+3)2(2x+3)^2

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Utveckla uttrycken med hjälp av kvadreringsreglerna.


a

(t12)2(t-12)^2

b

(63z)2(6-3z)^2

c

(4u+1)216u2(4u+1)^2-16u^2

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Utveckla uttrycken med konjugatregeln.

a

(x9)(x+9)(x - 9)(x + 9)

b

(4+y)(4y)(4 + y)(4 - y)

c

(7a)(a+7)(7 - a)(a + 7)

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Utveckla uttrycken med konjugatregeln.

a

(p64)(p+64)\left(p-64\right)\left(p+64\right)

b

(x+2y)(x2y)(x+2y)(x-2y)

c

(x28)(x2+8)\left(x^2-8\right)\left(x^2+8\right)

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Utveckla uttrycken med hjälp av kvadreringsreglerna.

a

(5ab+100)2\left(5ab+100\right)^2

b

(-2+x)2\left(\text{-} 2+x\right)^2

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Utveckla uttrycken med hjälp av kvadreringsreglerna.

a

(1+2a)2\left(1+2a\right)^2

b

(9+x2)2\left(9+x^2\right)^2

c

(4yx2)2\left(4y-\dfrac{x}{2}\right)^2

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Skriv ett uttryck för rektangelns area och förenkla så långt som möjligt.


1019 1.svg
b

Skriv ett uttryck för triangelns area och förenkla så långt som möjligt.

1019 2.svg
1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Utveckla uttrycken med konjugatregeln.

a

(x212)(x2+12)\left(x^2 - 12\right)\left(x^2 + 12\right)

b

(23+2y)(232y)\left(2^3+2y\right)\left(2^3 - 2y\right)

c

(2(-a))(-a+2)(2 -(\text{-} a))(\text{-} a + 2)

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Utveckla uttrycken med konjugatregeln.

a

(u26z)(u2+6z)\left(u^2-6z\right)\left(u^2+6z\right)

b

(2+y2)(2y2)\left(2+\dfrac{y}{2}\right)\left(2-\dfrac{y}{2}\right)

c

(t10+x8)(t10x8)\left(\dfrac{t}{10}+\dfrac{x}{8}\right)\left(\dfrac{t}{10}-\dfrac{x}{8}\right)

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Med hjälp av konjugat- och kvadreringsreglerna kan man förenkla vissa beräkningar med huvudräkning. Använd reglerna för att beräkna följande multiplikationer och potenser. Beräkna


a

52252^2 genom att skriva 5252 som 50+2.50+2.

b

9991001.999 \cdot 1001.

c

892.89^2.

d

10694.106 \cdot 94.

1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycken.

a

3(x+5)2753(x+5)^2-75

b

(7x)(x+7)+49(7-x)(x+7)+49

c

(x4)(x+4)(x4)2(x-4)(x+4)-(x-4)^2

1.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycket (x+5)(x5)+25(x+5)(x-5)+25 så långt som möjligt.

Nationella provet VT12 2b/2c
1.13
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange det uttryck som ska stå i parentesen för att likheten ska gälla.(        )(x5)=x225 (\ \ \ \ \ \ \ \ )\cdot(x-5)=x^2-25

Nationella provet VT15 2a/2b/2c
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Nedan står några uttryck som har utvecklats med konjugat- eller kvadreringsreglerna. Vad ska stå istället för symbolerna?

a

y2=(+7)(y)y^2-\triangle=(\diamondsuit+7)(y-\heartsuit)

b

9x2++25=(+)29x^2+\triangle+25=(\diamondsuit+\heartsuit)^2

c

64z232z+=()264z^2-32z+\triangle=(\diamondsuit-\heartsuit)^2

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm de konjugat som multiplicerat med varandra ger följande resultat.


a

x281x^2-81

b

4x2364x^2-36

c

25y2125y^2-1

d

70.25z27-0.25z^2

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla.

a

(x+2)(x2)\left(\sqrt{x}+2\right)(\sqrt{x}-2)

b

(3x+7)(3x7)+49(3\sqrt{x}+7)(3\sqrt{x}-7)+49

c

(x+5)2+(x5)2(\sqrt{x}+5)^2+(\sqrt{x}-5)^2

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör utan räknare vilket av talen som är närmast 450\sqrt{450}: 16,22,25,31. 16, \quad 22, \quad 25, \quad 31.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande utan att använda din räknare: 1101111013110122. 11\,011\cdot 11\,013 - 11\,012^2.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Hur mycket större är arean för figur A2A_2 jämfört med A1A_1? Båda figurer är kvadrater.


1011 1.svg
b

Hur mycket mindre area har figuren A2A_2 jämfört med A1A_1? Den första figuren är en kvadrat.


1011 2.svg
2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att första kvadreringsregeln gäller genom att använda nedanstående figur.

983.svg
2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Faktorisera uttrycket 25+y2+10y.25+y^2+10y.

2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycket (3x2)2+4(3x1)(3x-2)^2+4(3x-1) så långt som möjligt.

Nationella provet bedömningsexempel 2b/2c
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Utveckla (x+y+z)2(x+y+z)^2 med distributiva lagen.

b

Utveckla (x+y+z)2(x+y+z)^2 med första kvadreringsregeln.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Familjen Andersson har skaffat en kvadratisk pool och vill lägga en gång gjord av plankor runt hela poolen. Gången planeras bli en halv meter bred längs med poolen och enligt ritningarna behöver familjen då köpa 9 m29 \text{ m}^2 plankor. Hur lång är poolens sida?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att differensen (x+y)24xy(x+y)^2-4xy aldrig kan bli mindre än noll oavsett värde på xx och y.y.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att uttrycket ((x+4)2(x4)2)2((y+4)2(y4)2)2 \left((x+4)^2-(x-4)^2\right)^2-\left((y+4)^2-(y-4)^2\right)^2 kan förenklas till 256(xy)(x+y).256(x-y)(x+y).

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Utveckla ((x+2)(x2))2.\left((x+2)(x-2)\right)^2.

b

Skriv n416n^4-16 som en produkt av tre faktorer.

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.

a

(x+3)2(x+3)2\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)^2-(x+3)}{2}

b

x56(x13+1)(x131)x16x13\dfrac{x^{\frac{5}{6}}\left(x^{\frac{1}{3}}+1\right)\left(x^{\frac{1}{3}}-1\right)}{x^{\frac{1}{6}}\cdot x^{\frac{1}{3}}}

Nationella provet VT15 2b
Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En perfekt kvadrat är ett heltal som är kvadraten av ett heltal. Vilket primtal är fyra mindre än en perfekt kvadrat? Prövning ej tillåten.

4.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Faktorisera följande uttryck genom att bryta ut faktorer och att använda konjugat- och kvadreringsreglerna.


a

xa+2+10xa+1+25xax^{a+2}+10x^{a+1}+25x^a

b

abx2aabx2ba^bx^{2a}-a^bx^{2b}

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}