body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

( Ma 2b , Ma 2c ) /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

Visa mindre Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Kvadreringsreglerna
Konjugatregeln
Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna

Förkunskaper

Kvadrering
Andragradsuttryck

Regel

Kvadreringsreglerna

När en parentes med två termer multipliceras med sig själv, dvs. kvadreras, kan beräkningarna underlättas med de så kallade kvadreringsreglerna. De kan alltså tillämpas för att förenkla och beräkna uttryck som

(x + 2)^{2} och (3 - x)^{2} .

Beroende på om det står ett plus- eller minustecken mellan termerna används första eller andra kvadreringsregeln.

Första kvadreringsregeln

Står det ett plustecken mellan termerna i parentesen kan man använda första kvadreringsregeln.

Bevis

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Den första kvadreringsregeln kan härledas genom att skriva kvadraten som en multiplikation av två likadana parenteser.

(a + b)^{2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

(a + b) (a + b)

ExpandPar

Multiplicera parenteser

a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b

Multiply

Multiplicera faktorer

a^{2} + a b + a b + b^{2}

SimpTerms

Förenkla termerna

a^{2} + 2 a b + b^{2}

Man får alltså att

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} .

Andra kvadreringsregeln

Står det ett minustecken mellan termerna i parentesen kan man använda andra kvadreringsregeln.

Bevis

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Den andra kvadreringsregeln kan härledas genom att skriva kvadraten som en multiplikation av två likadana parenteser.

(a - b)^{2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

(a - b) (a - b)

ExpandPar

Multiplicera parenteser

a \cdot a + a \cdot (- b) + (- b) \cdot a + (- b) \cdot (- b)

Multiply

Multiplicera faktorer

a^{2} - a b - a b + b^{2}

SimpTerms

Förenkla termerna

a^{2} - 2 a b + b^{2}

Man får alltså att

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} .

Exempel

Förenkla uttrycken med kvadreringsreglerna

Förenkla följande uttryck med kvadreringsreglerna.

(x + 3)^{2}

(7 - x)^{2}

Ledtråd

a Använd den första kvadreringsregeln.

b Använd den andra kvadreringsregeln.

Lösning

a Den första parentesen har ett plustecken mellan termerna så vi använder första kvadreringsregeln.

(x + 3)^{2}

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}

Multiply

Multiplicera faktorer

x^{2} + 6 x + 3^{2}

CalcPow

Beräkna potens

x^{2} + 6 x + 9

Uttrycken kan alltså utvecklas till

x^{2} + 6 x + 9 .

b Den andra parentesen har ett minustecken mellan termerna så vi använder andra kvadreringsregeln.

(7 - x)^{2}

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

7^{2} - 2 \cdot 7 \cdot x + x^{2}

CalcPow

Beräkna potens

49 - 2 \cdot 7 \cdot x + x^{2}

Multiply

Multiplicera faktorer

49 - 14 x + x^{2}

Det andra uttrycket kan utvecklas till

49 - 14 x + x^{2} .

Koncept

Konjugat

Ett konjugat bildas genom att byta tecken på en av termerna i ett binom, alltså ett uttryck med två termer. Exempelvis har

x + 2 konjugatet x - 2 .

När man skapar ett konjugat säger man att man konjugerar, och uttrycken

x + 2

och

x - 2

kallas ibland för konjugerade par.

Regel

Konjugatregeln

Om två parenteser på formen

(a + b)

och

(a - b)

ska multipliceras ihop kan beräkningarna underlättas med den så kallade konjugatregeln. Exempelvis kan regeln användas för förenkling av

(x + 5) (x - 5) och (2 + 6 y) (2 - 6 y) .

Två parenteser på den här formen är varandras konjugat, och därför kallas detta konjugatregeln.

Bevis

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Konjugatregeln kan härledas genom att utföra multiplikationen av parenteserna med hjälp av vanlig parentesmultiplikation.

(a + b) (a - b)

ExpandPar

Multiplicera parenteser

a \cdot a + a \cdot (- b) + b \cdot a + b \cdot (- b)

Multiply

Multiplicera faktorer

a^{2} - a b + a b - b^{2}

SimpTerms

Förenkla termerna

a^{2} - b^{2}

Man får alltså att

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2} .

Exempel

Utveckla uttrycket med konjugatregeln

Utveckla

(x + 3) (x - 3)

med konjugatregeln.

Ledtråd

Använd konjugatregeln.

Lösning

När man använder konjugatregeln kvadrerar man den första termen och subtraherar sedan med kvadraten av den andra.

(x + 3) (x - 3)

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

x^{2} - 3^{2}

CalcPow

Beräkna potens

x^{2} - 9

Man får alltså

x^{2} - 9 .

Regel

Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna

Konjugat- och kvadreringsreglerna är inte bara användbara för att multiplicera ihop parenteser utan kan även användas för att dela upp uttryck i faktorer.

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

I uttrycket

x^{2} - 16

kan man identifiera båda termerna som kvadrater, alltså

x^{2} - 4^{2},

och använda konjugatregeln baklänges för att få faktoriseringen

x^{2} - 4^{2} = (x + 4) (x - 4) .

$a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}$

Övning

Hitta den ledande koefficienten och graden av polynom

Hitta det resulterande uttrycket efter att ha kvadrerat ett binom eller multiplicerat de konjugerade binomen.

Laddar innehåll

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Första kvadreringsregeln

Bevis

Andra kvadreringsregeln

Bevis

Ledtråd

Lösning

Bevis

Ledtråd

Lösning