body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

2b

Kurs 2b Visa detaljer

1. Konjugat- och kvadreringsreglerna

Fortsätt till nästa lektion

( Ma 2b , Ma 2c ) /

Kapitel 2

1.

Konjugat- och kvadreringsreglerna

Konjugatregeln och kvadreringsreglerna är viktiga verktyg inom algebra som används för att förenkla och beräkna uttryck. Kvadreringsreglerna används när en parentes med två termer multipliceras med sig själv, det vill säga kvadreras. Beroende på om det finns ett plus- eller minustecken mellan termerna används första eller andra kvadreringsregeln. Konjugatregeln används när två parenteser, som är varandras konjugat, multipliceras ihop. Dessa regler är inte bara användbara för att multiplicera ihop parenteser, utan kan också användas för att dela upp uttryck i faktorer. Dessa koncept är centrala inom matematik och ger en djupare förståelse för algebra.

Inställningar & verktyg för lektion

	8 sidor teori
	30 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Konjugat- och kvadreringsreglerna

Sida av 8

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Kvadreringsreglerna
Konjugatregeln
Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna

Förkunskaper

Kvadrering
Andragradsuttryck

Regel

Kvadreringsreglerna

När en parentes med två termer multipliceras med sig själv, dvs. kvadreras, kan beräkningarna underlättas med de så kallade kvadreringsreglerna. De kan alltså tillämpas för att förenkla och beräkna uttryck som

(x + 2)^{2} och (3 - x)^{2} .

Beroende på om det står ett plus- eller minustecken mellan termerna används första eller andra kvadreringsregeln.

Första kvadreringsregeln

Står det ett plustecken mellan termerna i parentesen kan man använda första kvadreringsregeln.

Bevis

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Den första kvadreringsregeln kan härledas genom att skriva kvadraten som en multiplikation av två likadana parenteser.

(a + b)^{2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

(a + b) (a + b)

Multiplicera parenteser

a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b

Multiplicera faktorer

a^{2} + a b + a b + b^{2}

Förenkla termer

a^{2} + 2 a b + b^{2}

Man får alltså att

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} .

Andra kvadreringsregeln

Står det ett minustecken mellan termerna i parentesen kan man använda andra kvadreringsregeln.

Bevis

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Den andra kvadreringsregeln kan härledas genom att skriva kvadraten som en multiplikation av två likadana parenteser.

(a - b)^{2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

(a - b) (a - b)

Multiplicera parenteser

a \cdot a + a \cdot (- b) + (- b) \cdot a + (- b) \cdot (- b)

Multiplicera faktorer

a^{2} - a b - a b + b^{2}

Förenkla termer

a^{2} - 2 a b + b^{2}

Man får alltså att

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} .

Exempel

Förenkla uttrycken med kvadreringsreglerna

Förenkla följande uttryck med kvadreringsreglerna.

a

(x + 3)^{2}

b

(7 - x)^{2}

Ledtråd

a Använd den första kvadreringsregeln.

b Använd den andra kvadreringsregeln.

Lösning

a Den första parentesen har ett plustecken mellan termerna så vi använder första kvadreringsregeln.

(x + 3)^{2}

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}

Multiplicera faktorer

x^{2} + 6 x + 3^{2}

Beräkna potens

x^{2} + 6 x + 9

Uttrycken kan alltså utvecklas till

x^{2} + 6 x + 9 .

b Den andra parentesen har ett minustecken mellan termerna så vi använder andra kvadreringsregeln.

(7 - x)^{2}

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

7^{2} - 2 \cdot 7 \cdot x + x^{2}

Beräkna potens

49 - 2 \cdot 7 \cdot x + x^{2}

Multiplicera faktorer

49 - 14 x + x^{2}

Det andra uttrycket kan utvecklas till

49 - 14 x + x^{2} .

Koncept

Konjugat

Ett konjugat bildas genom att byta tecken på en av termerna i ett binom, alltså ett uttryck med två termer. Exempelvis har

x + 2 konjugatet x - 2 .

När man skapar ett konjugat säger man att man konjugerar, och uttrycken

x + 2

och

x - 2

kallas ibland för konjugerade par.

Regel

Konjugatregeln

Om två parenteser på formen

(a + b)

och

(a - b)

ska multipliceras ihop kan beräkningarna underlättas med den så kallade konjugatregeln. Exempelvis kan regeln användas för förenkling av

(x + 5) (x - 5) och (2 + 6 y) (2 - 6 y) .

Två parenteser på den här formen är varandras konjugat, och därför kallas detta konjugatregeln.

Bevis

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Konjugatregeln kan härledas genom att utföra multiplikationen av parenteserna med hjälp av vanlig parentesmultiplikation.

(a + b) (a - b)

Multiplicera parenteser

a \cdot a + a \cdot (- b) + b \cdot a + b \cdot (- b)

Multiplicera faktorer

a^{2} - a b + a b - b^{2}

Förenkla termer

a^{2} - b^{2}

Man får alltså att

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2} .

Exempel

Utveckla uttrycket med konjugatregeln

Utveckla

(x + 3) (x - 3)

med konjugatregeln.

Ledtråd

Använd konjugatregeln.

Lösning

När man använder konjugatregeln kvadrerar man den första termen och subtraherar sedan med kvadraten av den andra.

(x + 3) (x - 3)

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

x^{2} - 3^{2}

Beräkna potens

x^{2} - 9

Man får alltså

x^{2} - 9 .

Regel

Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna

Konjugat- och kvadreringsreglerna är inte bara användbara för att multiplicera ihop parenteser utan kan även användas för att dela upp uttryck i faktorer.

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

I uttrycket

x^{2} - 16

kan man identifiera båda termerna som kvadrater, alltså

x^{2} - 4^{2},

och använda konjugatregeln baklänges för att få faktoriseringen

x^{2} - 4^{2} = (x + 4) (x - 4) .

$a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}$

Övning

Hitta den ledande koefficienten och graden av polynom

Hitta det resulterande uttrycket efter att ha kvadrerat ett binom eller multiplicerat de konjugerade binomen.

Konjugat- och kvadreringsreglerna

Övningar

En perfekt kvadrat är ett heltal som är kvadraten av ett heltal. Vilket primtal är fyra mindre än en perfekt kvadrat? Prövning ej tillåten.

Låt oss kalla vårt primtal för p och den perfekta kvadraten för a^2. Primtalet är då lika med a^2 minus 4: p=a^2-4. Eftersom 4 kan skrivas om som potensen 2^2 kan vi förenkla högerledet med konjugatregeln.

Ett primtal kan ju bara divideras med sig självt och ett, så om (a+2)(a-2) är ett primtal måste en av faktorerna vara 1 och den andra p. Är det inte så kan talet omöjligt vara ett primtal eftersom det då är delbart med någon av faktorerna. Vi får två fall som måste undersökas: a+2=1 a-2=p och a+2=p a-2=1. Vi löser ekvationssystemen med substitutionsmetoden.

Primtal kan inte vara negativa så vi får pröva det andra ekvationssystemet.

Primtalet vi söker är alltså 5.

Faktorisera uttrycket genom att bryta ut faktorer och att använda konjugat- och kvadreringsreglerna.

x^{a + 2} + 10 x^{a + 1} + 25 x^{a}

a^{b} x^{2 a} - a^{b} x^{2 b}

Att faktorisera en summa innebär att man skriver om den så att uttrycket istället består av en produkt med en eller flera faktorer. Vi skriver om den första termen som en produkt med hjälp av potenslagarna.

Om vi faktoriserar 10x och skriver 25 som en potens ser vi att uttrycket innanför parentesen kan faktoriseras ytterligare med första kvadreringsregeln.

Även här använder vi potenslagarna för att skriva om uttrycket för att sedan använda konjugatregeln baklänges, men först bryter vi ut den gemensamma fyran.

Konjugat- och kvadreringsreglerna

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll