1. Konjugat- och kvadreringsreglerna
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
1.
Konjugat- och kvadreringsreglerna
Konjugatregeln och kvadreringsreglerna är viktiga verktyg inom algebra som används för att förenkla och beräkna uttryck. Kvadreringsreglerna används när en parentes med två termer multipliceras med sig själv, det vill säga kvadreras. Beroende på om det finns ett plus- eller minustecken mellan termerna används första eller andra kvadreringsregeln. Konjugatregeln används när två parenteser, som är varandras konjugat, multipliceras ihop. Dessa regler är inte bara användbara för att multiplicera ihop parenteser, utan kan också användas för att dela upp uttryck i faktorer. Dessa koncept är centrala inom matematik och ger en djupare förståelse för algebra.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 30 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Konjugat- och kvadreringsreglerna
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Kvadreringsreglerna
- Konjugatregeln
- Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Kvadreringsreglerna
När en parentes med två termer multipliceras med sig själv, dvs. kvadreras, kan beräkningarna underlättas med de så kallade kvadreringsreglerna. De kan alltså tillämpas för att förenkla och beräkna uttryck som (x+2)^2 och (3-x)^2. Beroende på om det står ett plus- eller minustecken mellan termerna används första eller andra kvadreringsregeln.
Första kvadreringsregeln
Står det ett plustecken mellan termerna i parentesen kan man använda första kvadreringsregeln.
Bevis
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2Den första kvadreringsregeln kan härledas genom att skriva kvadraten som en multiplikation av två likadana parenteser.
(a + b)^2
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
(a + b)(a + b)
ExpandPar
Multiplicera parenteser
a* a + a * b + b * a + b * b
Multiply
Multiplicera faktorer
a^2 + ab + ab + b^2
SimpTerms
Förenkla termerna
a^2 + 2ab + b^2
Man får alltså att (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
Andra kvadreringsregeln
Står det ett minustecken mellan termerna i parentesen kan man använda andra kvadreringsregeln.
Bevis
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2Den andra kvadreringsregeln kan härledas genom att skriva kvadraten som en multiplikation av två likadana parenteser.
(a - b)^2
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
(a - b)(a - b)
ExpandPar
Multiplicera parenteser
a* a + a * (- b) + (- b) * a + (- b) * (- b)
Multiply
Multiplicera faktorer
a^2 - ab - ab + b^2
SimpTerms
Förenkla termerna
a^2 - 2ab + b^2
Man får alltså att (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Förenkla uttrycken med kvadreringsreglerna
Förenkla följande uttryck med kvadreringsreglerna.
a
(x+3)^2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^2+6x+9"]}}
b
(7-x)^2
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["49-14x+x^2"]}}
Ledtråd
a Använd den första kvadreringsregeln.
b Använd den andra kvadreringsregeln.
Lösning
a Den första parentesen har ett plustecken mellan termerna så vi använder första kvadreringsregeln.
(x+3)^2
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
x^2+2* x*3+3^2
Multiply
Multiplicera faktorer
x^2+6x+3^2
CalcPow
Beräkna potens
x^2+6x+9
Uttrycken kan alltså utvecklas till x^2+6x+9.
b Den andra parentesen har ett minustecken mellan termerna så vi använder andra kvadreringsregeln.
(7-x)^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
7^2-2*7* x +x^2
CalcPow
Beräkna potens
49-2*7* x +x^2
Multiply
Multiplicera faktorer
49-14x +x^2
Det andra uttrycket kan utvecklas till 49-14x+x^2.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Konjugat
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Konjugatregeln
Om två parenteser på formen (a+b) och (a-b) ska multipliceras ihop kan beräkningarna underlättas med den så kallade konjugatregeln. Exempelvis kan regeln användas för förenkling av (x+5)(x-5) och (2+6y)(2-6y). Två parenteser på den här formen är varandras konjugat, och därför kallas detta konjugatregeln.
Bevis
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2Konjugatregeln kan härledas genom att utföra multiplikationen av parenteserna med hjälp av vanlig parentesmultiplikation.
(a + b)(a - b)
ExpandPar
Multiplicera parenteser
a * a + a * (- b) + b * a + b * (- b)
Multiply
Multiplicera faktorer
a^2 - ab + ab - b^2
SimpTerms
Förenkla termerna
a^2 - b^2
Man får alltså att (a + b)(a - b) = a^2 - b^2.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Utveckla uttrycket med konjugatregeln
Utveckla (x+3)(x-3) med konjugatregeln.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^2-9"]}}
Ledtråd
Använd konjugatregeln.
Lösning
När man använder konjugatregeln kvadrerar man den första termen och subtraherar sedan med kvadraten av den andra.
Man får alltså x^2-9.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna
Konjugat- och kvadreringsreglerna är inte bara användbara för att multiplicera ihop parenteser utan kan även användas för att dela upp uttryck i faktorer.
a^2-b^2 = (a+b)(a-b)
I uttrycket x^2 - 16 kan man identifiera båda termerna som kvadrater, alltså x^2 - 4^2, och använda konjugatregeln baklänges för att få faktoriseringen x^2 - 4^2 = (x+4)(x-4).
a^2± 2ab + b^2 = (a ± b)^2
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Hitta den ledande koefficienten och graden av polynom
Hitta det resulterande uttrycket efter att ha kvadrerat ett binom eller multiplicerat de konjugerade binomen.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Konjugat- och kvadreringsreglerna
Uppgift 4.1
En perfekt kvadrat är ett heltal som är kvadraten av ett heltal. Vilket primtal är fyra mindre än en perfekt kvadrat? Prövning ej tillåten.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["5"]}}
security
report
code
security
report
code
Låt oss kalla vårt primtal för p och den perfekta kvadraten för a^2. Primtalet är då lika med a^2 minus 4: p=a^2-4. Eftersom 4 kan skrivas om som potensen 2^2 kan vi förenkla högerledet med konjugatregeln.
Ett primtal kan ju bara divideras med sig självt och ett, så om (a+2)(a-2) är ett primtal måste en av faktorerna vara 1 och den andra p. Är det inte så kan talet omöjligt vara ett primtal eftersom det då är delbart med någon av faktorerna. Vi får två fall som måste undersökas: a+2=1 a-2=p och a+2=p a-2=1. Vi löser ekvationssystemen med substitutionsmetoden.
Primtal kan inte vara negativa så vi får pröva det andra ekvationssystemet.
Primtalet vi söker är alltså 5.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["a"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^a(x+5)^2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["a","b"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["a^b(x^{a}-x^{b})(x^{a}+x^{b})"]}}
security
report
code
security
report
code
Att faktorisera en summa innebär att man skriver om den så att uttrycket istället består av en produkt med en eller flera faktorer. Vi skriver om den första termen som en produkt med hjälp av potenslagarna.
Om vi faktoriserar 10x och skriver 25 som en potens ser vi att uttrycket innanför parentesen kan faktoriseras ytterligare med första kvadreringsregeln.
Även här använder vi potenslagarna för att skriva om uttrycket för att sedan använda konjugatregeln baklänges, men först bryter vi ut den gemensamma fyran.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Konjugat- och kvadreringsreglerna
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll