Komplexa Talplanet: Absolutbelopp och Egenskaper för Komplexa Tal

Vad är summan av de komplexa talen i figuren?

Komplexa talplanet med en massa punkter.

Re-axeln visar talens realdel och Im-axeln visar talens imaginärdel. Vi avläser koordinaterna för punkt z_1 ur koordinatsystemet.

Vi ser då att realdelen för z_1 är 1 och imaginärdelen är 2. Det innebär att z_1 = 1 + 2i. Vi avläser de övriga komplexa talen på samma sätt och får då följande.

Punkt	Re	Im	Tal
z_1	1	2	1 + 2i
z_2	- 2	3	-2 + 3i
z_3	4	- 2	4 - 2i
z_4	- 3	0	- 3

Talen är alltså z_1 = 1 + 2i, z_2 = - 2 + 3i, z_3 = 4 - 2i och z_4 = - 3. Vi adderar nu dessa genom att lägga ihop realdelarna och imaginärdelarna separat.

Summan av de fyra komplexa talen blir alltså 3i.

Betrakta figuren.

Para ihop vektorerna med rätt komplext tal.

- 4 i - 1 + 5 i - 6 - 2 i - 5 - 5 i

Kom ihåg att komplexa tal kan representeras med vektorer som utgår från origo och pekar på den punkt som motsvarar talet. Vi ser att vektor A pekar på punkten (- 5, - 5). Den representerar därmed det komplexa tal som har realdelen - 5 och imaginärdelen - 5. Talet är alltså - 5 - 5i.

Vektor B pekar istället på punkten (0, - 4). Den representerar därmed det komplexa talet med realdelen 0 och imaginärdelen - 4, vilket är talet - 4i.

Vi ser att vektor C pekar på punkten (- 1, 5). Den representerar alltså det komplexa talet - 1 + 5i.

Till sist ser vi att vektor D pekar på punkten (6, - 2). Vektorn motsvarar därmed 6 - 2i.

Markera $u + w$ samt $u \cdot w$ i det komplexa talplanet för följande tal.

u = 7 - 3 i, w = - 3 + i

u = - 4 i, w = 12

u = - 5 - 5 i, w = \overset{u}{ˉ}

Vi beräknar först u + w.

Vi vet nu att u + w = 4 - 2i. Vidare beräknar vi u * w.

Vi vet nu även att u * w = - 18 + 16i. I det komplexa talplanet motsvarar realdelens värde Re-koordinaten och imaginärdelens värde motsvarar Im-koordinaten. Vi markerar talen vi beräknat i talplanet.

Vi gör här på samma sätt som i föregående deluppgift.

Additionen gav oss u + w = 12 - 4i. Nästa steg är att beräkna u * w.

Resultatet av multiplikationen är alltså u * w = - 48i. Vi markerar talen i det komplexa talplanet.

I det här fallet är w komplexkonjugatet till u. Alltså är w = - 5 + 5i. Vi beräknar som vanligt först u + w.

Vi får u + w = - 10. Sista beräkningen vi gör är nu u * w.

Vi fick då u * w = 50. Vi markerar nu talen i det komplexa talplanet.

En vektorrepresentation av det komplexa talet $z$ syns i grafen nedan.

Beräkna

∣ z ∣

exakt.

Beräkna

arg (z),

svara i grader med

1

decimal.

Innan vi kan beräkna absolutbeloppet |z| behöver vi först bestämma vad z är för tal. Vi avläser realdelen och imaginärdelen för z ur grafen.

Vi ser att realdelen är - 3.5 och imaginärdelen är 1. Därmed är z = - 3.5 + i. Vi beräknar nu |z|.

Alltså är |z| = sqrt(13.25).

Vi söker nu argumentet för z, vilket är vinkeln v från den positiva reella axeln till vektorn.

För att bestämma v börjar vi med att bestämma dess sidovinkel. Vi kallar den u.

u är en vinkel i en rätvinklig triangel med katetlängderna 3.5 och 1. Vi använder därför arctan för att beräkna den.

Eftersom u är en vinkel i en triangel måste den vara mellan 0^(∘) och 180^(∘). Därför är endast lösningen då n = 0 intressant i vårt fall. Vinkeln u är alltså cirka 15.9^(∘), vilket betyder att v ≈ 180^(∘) - 15.9^(∘) = 164.1^(∘). Vi har nu kommit fram till att arg(z) ≈ 164.1^(∘).

Vad kan imaginärdelen vara hos komplexa tal med realdelen

3,

positiv imaginärdel och absolutbeloppet

4.5 ?

Avrunda till en decimal.

Här kan vi använda att absolutbeloppet för ett komplext tal med realdelen a och imaginärdelen b beräknas med formeln |a+bi|=sqrt(a^2 + b^2). Vi vet att själva absolutbeloppet är 4.5 och att realdelen är 3. Det innebär att vi kan ställa upp rotekvationen sqrt(3^2 + b^2)=4.5. Vi löser ut b för att bestämma imaginärdelen, och kommer ihåg att b måste vara positiv.

Imaginärdelen hos komplexa tal med realdelen 3, positiv imaginärdel och absolutbeloppet 4.5 måste alltså vara ca 3.4.

I det komplexa talplanet, markera alla tal $z$ som uppfyller följande.

Re (z) = 2

Im (z) = - 1

Vi ska markera alla komplexa tal med realdelen 2 i det komplexa talplanet. Eftersom realdelen för ett komplext tal motsvarar punktens Re-koordinat kan vi göra det genom att markera alla punkter med Re-koordinaten 2. Dessa bildar tillsammans en linje.

Nu ska vi istället markera alla tal med imaginärdelen -1. Det gör vi på liknande sätt som i förra deluppgiften, men markerar istället punkterna med Im-koordinaten -1. Dessa bildar också en linje.

Komplexa talplanet

Det komplexa talplanet

Exempel

Läs av och markera tal i det komplexa talplanet

Komplexa tal som vektorer

Absolutbelopp

Argument

Polära koordinater

Exempel

Bestäm absolutbelopp och argument för det komplexa talet

Komplexa talplanet

Rekommenderade uppgifter

	5 sidor teori
	12 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.