Komplexa talplanet

Talet z är ett komplext tal och kan därför skrivas på formen z=a+bi. Talet z ligger i område B, där både real- och imaginärdel är positiva tal. Vi vet också att område B ligger utanför enhetscirkeln. Eftersom enhetscirkelns radie är 1 innebär detta att avståndet till en punkt i område B från origo är större än 1.

Absolutbeloppet |z| kan också skrivas sqrt(a^2 + b^2), så sammanfattningsvis vet vi följande om talet z = a+bi. a > 0 b > 0 |z| = sqrt(a^2 + b^2) > 1 Nu är det dags att undersöka talet 1z. Vi skriver först om det till rektangulär form genom att förlänga bråket med komplexkonjugatet z = a-bi.

Nu har vi skrivit om 1z och kan läsa av dess real- och imaginärdel. Re(1/z)= aa^2+b^2, Im(1/z)=-b/a^2+b^2 Vi har sedan tidigare villkor för a och b, vilket låter oss tolka uttrycken ovan lite närmare. a, b och a^2 + b^2 är endast positiva tal, vilket innebär att båda kvoter är positiva. Imaginärdelen har dock ett minustecken framför bråket, så vi kan utläsa att Re(1/z)>0, Im(1/z)<0. Det här betyder att talet 1z kommer att ligga i den fjärde kvadranten.

Nu behöver vi undersöka avståndet till 1z för att se om något av områdena F eller H kan uteslutas. För att beräkna absolutbeloppet använder vi den rektangulära formen av 1z vi hittade tidigare.

Nu har vi ett uttryck för | 1z|. Vi vet sedan tidigare att sqrt(a^2+b^2)>1, och när talet 1 delas på något större än 1 måste kvoten bli mindre än 1: |1/z|=1/sqrt(a^2+b^2) < 1. Absolutbeloppet av 1z måste alltså vara mindre än 1, vilket innebär att talet hamnar inuti enhetscirkeln. Eftersom talet också ligger i fjärde kvadranten måste det hamna i område F.

Absolutbeloppet av ett uttryck på formen |z-w| är avståndet mellan punkterna z och w i det komplexa talplanet. I vårt fall är w=1 respektive w=i. Det första talet får koordinaterna (1,0) eftersom Im(w)=0 och det andra talet får koordinaterna (0,1) eftersom Re(w)=0. Vi markerar dem i det komplexa talplanet.

Det betyder alltså att avståndet från z ska vara lika långt till w_1 som w_2 eftersom |z-1|=|z-i|. Ett exempel är att z ligger i origo, då är både avståndet till w_1 och w_2 lika med 1. Ett annat är z= 1 + i då avståndet också är 1.

Finns det några fler punkter där avståndet är lika långt? Drar vi en linje genom de blå punkterna kommer alla punkter på linjen att ha lika långt avstånd till w_1 som w_2.

Den räta linjen som bildas är alla punktet där realdelen och imaginärdelen är lika stora, dvs. Re(z)=Im(z). Det betyder att alla punkter där Re(z)=Im(z) uppfyller likheten |z-1|=|z-i|.

Vi ska återigen hitta punkter där avståndet till z är lika stort. I vänsterledet har vi |z+3i| vilket alltså inte står på formeln |z-w|. Därför vill vi börja med att skriva om det på formen |z-w| vilket vi gör genom att använda a=-(- a). |z+3i| ⇔ |z-(- 3)i| Nu har vi båda leden på formen |z-w| och får att w = -3i repsektive w = 5i. Talen får koordinaterna (0,- 3) respektive (0,5). Vi markerar dem i det komplexa talplanet.

Eftersom z ska ligga lika långt från w_1 och w_2 kommer z=i att vara en punkt som uppfyller likheten |z+3i|=|z-5i| och avståndet är då 4. Det gäller även för alla andra punkter där Im(z)=1.

Det betyder alltså att om Im(z)=1 kommer |z+3i|=|z-5i| stämma oavsett var Re(z) är.