Komplexa talplanet

Innan vi markerar talen behöver vi beräkna produkterna z * i och w * i. Vi börjar med z * i.

Vi beräknar nu w * i.

Kom ihåg att komplexa tal kan representeras som vektorer som utgår från origo och "pekar på" punkten i det komplexa talplanet. Vi markerar nu talen z = 2-3i, w = - 1 + 6i, z * i = 3 + 2i och w * i = - 6 - i i det komplexa talplanet.

Grafiskt kan vi se det som att vektorerna till z och w roterat moturs.

Det ser ut som att de har vridits 90^(∘), men just nu kan vi inte vara helt säkra på det. Om det är så att de är vinkelräta måste deras lutning uppfylla sambandet k_1 * k_2 = - 1. Vi bestämmer de fyra vektorernas lutning, dvs. alla fyra k-värden. Lutningen k ges av förändringen i Im-led delat med förändringen i Re-led. Dessa motsvarar talens b- respektive a-värde.

Vi ser nu att produkten av de blå vektorernas lutningar blir - 1 och detsamma gäller för de röda vektorerna. - 3/2 * 2/3 = - 1 och - 6 * 1/6 = - 1 Vektorerna har alltså roterat 90^(∘) moturs.

Det ovan var inget allmänt bevis, men det indikerar att det kan gälla för alla komplexa tal. Vi upprepar beräkningarna för det komplexa talet u = a + bi, där a och b är reella. Först beräknar vi u * i.

Vi gör nu en liknande tabell för u och u * i.

Produkten av lutningarna blir även nu - 1. b/a * a/- b = - 1 Det gäller alltså för alla komplexa tal att vektorn roterar 90^(∘) när talet multipliceras med i. Detta bevis gäller dock endast när både a och b inte är 0, eftersom det annars fås en nolldivision i b/a eller a/- b. För de rent imaginära och reella talen lämnas bevisandet till läsaren. Att rotationen är just moturs är desto krångligare att visa när man skriver komplexa tal på rektangulär form och visas därför inte här. Vidare kan talens absolutbelopp innan och efter multiplikation med i också undersökas.

Vi har nu även visat att längden av ett komplext tals vektor inte påverkas när talet multipliceras med i, vilket syns i grafen i första deluppgiften. Alltså, när ett komplext tal multipliceras med i roterar det 90^(∘) moturs och behåller sin längd.

Olikheten z > w utläses "z är större än w". För reella tal är ett tal större än ett annat om det är längre till höger på tallinjen. Men hur blir tolkningen för tal som både har en real- och imaginärdel?

Vilken är störst av z och w? Den ena har större realdel och den andra har större imaginärdel, men det finns ingen del som är viktigare eller bättre än den andra. Det finns därför ingen vedertagen definition av vad "större än" betyder. Olikheten z > w har alltså ingen praktisk betydelse.

Den här olikheten betyder att absolutbeloppet av z är större än absolutbeloppet av w. För komplexa tal markerade i det komplexa talplanet kan deras absolutbelopp tolkas som avståndet från markeringen till origo. Vi kan alltså tolka olikheten som att z befinner sig längre ifrån origo än w i det komplexa talplanet.

Argumentet till ett komplext tal är vinkeln mellan talets vektor och den positiva reella axeln. I den här uppgiften ska alltså två av talen ha samma vinkel. Vi ritar upp det komplexa talplanet och väljer två tal med samma vinkel.

De två markerade talen har samma argument, vinkeln v. Vi ser att de ligger på en rät linje, som vi förlänger åt båda håll. På så sätt ser vi alla punkter där det tredje talet kan placeras.

Vi kommer inte kunna placera talet i den första kvadranten, eftersom vinkeln då blir samma som för de två första talen. Om vi däremot väljer ett tal på linjen i den tredje kvadranten kommer talet ha en annan vinkel.

Det är alltså möjligt att alla talen ligger på en rät linje, om det är exakt ett halvt varv mellan de två olika argumenten.

När områden som bildas av olikheter ska ritas är det en god idé att först markera områdets rand. Vi börjar alltså genom att markera |z| = 1 och |z| = 3. |z| = 1 motsvarar "alla komplexa tal med absolutbeloppet 1". Grafiskt är detta en cirkel med radien 1 och mittpunkten origo. |z| = 3 är istället en cirkel med radien 3.

Randen |z| = 1 markeras streckad eftersom den inte ingår i området 1 < |z| ≤ 3 som ska markeras. Intervallet 1 < |z| ≤ 3 innebär att alla komplexa tal med ett absolutbelopp större än 1 och mindre än eller lika med 3 ska markeras. Området innesluts alltså av cirklarna. Vi markerar nu området.

Här beskrivs området istället av två olikheter som båda ska gälla för varje punkt i området. Vi markerar först båda olikheternas rand, alltså |z| = 4 och Re(z) = - 2. Re(z) = - 2 streckas eftersom den inte ingår i området som ska markeras.

Intervallet Re(z) > - 2 innebär att en punkt måste vara till höger om linjen Re(z) = - 2 för att ingå i området. Intervallet |z| ≥ 4 innebär att en punkt måste vara utanför eller på cirkeln med radie 4 och mittpunkt origo för att ingå i området. Vi markerar området där båda dessa villkor är uppfyllda.