Dashboard

Kurs 4 Visa detaljer

3. Komplexa talplanet

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

Matematik 4 /

Kapitel 2

Komplexa talplanet

Komplexa tal kan representeras i det komplexa talplanet, där de beskrivs som punkter eller vektorer som utgår från origo. Vektorerna definieras av sin längd och riktning, som kallas absolutbelopp och argument. Absolutbeloppet av ett komplext tal är längden på den motsvarande vektorn, och det kan beräknas med formeln för en vektors längd. För att beskriva vektorns riktning används vinkeln mellan vektorn och den positiva reella axeln, vilket kallas för det komplexa talets argument. Med hjälp av absolutbelopp och argument kan man entydigt bestämma alla komplexa tal. Detta koncept är viktigt inom matematik och ger en djupare förståelse för komplexa tal.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	5 sidor teori
	12 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Komplexa talplanet

Sida av 5

De komplexa talen innehåller bl.a. alla reella tal — de har imaginärdelen 0 och består därför bara av en realdel. Dessa tal brukar representeras på en tallinje.

Men hur representerar man övriga komplexa tal, där imaginärdelen inte är 0? Jo, med hjälp av ett koordinatsystem.

Begrepp

Det komplexa talplanet

Genom att låta den horisontella och vertikala axeln i ett koordinatsystem representera reella respektive imaginära värden får man det komplexa talplanet. En punkt i detta plan beskriver då ett komplext tal, där real- och imaginärdelen kan läsas av som punktens koordinater på reella respektive imaginära axeln.

Läs av och markera tal i det komplexa talplanet

fullscreen

Talen z och w har markerats i det komplexa talplanet.

Bestäm talet u=z+w och markera det i talplanet.

Visa Lösning

Vi börjar med att bestämma talen z och w på formen a+bi genom att läsa av respektive tals real- och imaginärdel på axlarna.

Koordinaterna för z är (-3,2) så talet är z=-3+2i. För w är koordinaterna (2,1) så det komplexa talet är w=2+i. Nu adderar vi z och w för att bestämma u.

u=z+w

SubstituteValues

Sätt in värden

u=-3+2i+2+i

AddTerms

Addera termerna

u=-1+3i

Till sist markerar vi u i talplanet. Realdelen ska vara -1 och imaginärdelen 3, så koordinaterna är (-1,3).

Begrepp

Komplexa tal som vektorer

Komplexa tal kan alltså beskrivas som punkter i det komplexa talplanet. Men de kan också beskrivas av vektorer som utgår från origo och "pekar på" punkterna.

Dessa vektorer definieras av sin längd och riktning, som i detta sammanhang brukar kallas absolutbelopp och argument.

Begrepp

Absolutbelopp

Utvidgningen av den reella tallinjen till det komplexa talplanet ger en bredare innebörd av begreppet absolutbelopp. För ett reellt tal är det avståndet mellan talet och 0, t.ex. är |-3|=3.

För ett komplext tal, z, får begreppet en liknande innebörd: avståndet mellan punkten z och origo.

Det komplexa talets absolutbelopp är alltså längden på den motsvarande vektorn, och därför kan absolutbeloppet av ett komplext tal beräknas med formeln för en vektors längd.

|a+bi|=sqrt(a^2+b^2)

Begrepp

Argument

För att beskriva vektorns riktning använder man vinkeln mellan vektorn och den positiva reella axeln, på samma sätt som man representerar vinklar i enhetscirkeln. Denna vinkel kallas för det komplexa talets argument, arg(z).

Man väljer ofta att argumentet ska ligga mellan -π och π, men det är inte ovanligt att använda intervallet 0≤ v< 2π.

Begrepp

Polära koordinater

Med hjälp av absolutbelopp och argument kan man nu entydigt bestämma alla komplexa tal. När man definierar en punkt med ett avstånd och en vinkel på detta sätt använder man så kallade polära koordinater. De brukar då betecknas med r och v.

Ett komplext tal kan alltså beskrivas antingen på formen a+bi, eller med absolutbeloppet r och argumentet v.

Bestäm absolutbelopp och argument för det komplexa talet

fullscreen

Bestäm absolutbelopp och argument för det komplexa talet z. Avrunda till en decimal.

Visa Lösning

Absolutbeloppet kan vi beräkna om vi känner till talets real- och imaginärdel. Vi börjar därför med att läsa av dem.

Realdelen är -3.5 och imaginärdelen är 2.5, så det komplexa talet är z=-3.5+2.5i. Vi använder det för att beräkna absolutbeloppet.

|z|=|-3.5+2.5i|

CompCartAbs

|a+bi|=sqrt(a^2+b^2)

|z|=sqrt((-3.5)^2+2.5^2)

CalcPow

Beräkna potens

|z|=sqrt(12.25+6.25)

AddTerms

Addera termerna

|z|=sqrt(18.5)

UseCalc

Slå in på räknare

|z|=4.30116...

RoundDec

Avrunda till 11tiondelar 12hundradelar 13tusendelar 14tiotusendelar 15hundratusendelar 16miljontedelar 17hundramiljontedelar 18miljardtedelar

|z|≈4.3

Absolutbeloppet är alltså ungefär 4.3. Argumentet, som vi kan kalla v, är vinkeln från den positiva reella axeln till vektorn som pekar på z.

För att bestämma v kan vi börja med att bestämma dess sidovinkel. Vi kan kalla den u.

u är en vinkel i en rätvinklig triangel med katetlängderna 3.5 och 2.5. Vi använder därför arctan för att beräkna den.

tan(u)=Motstående katet/Närliggande katet

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

tan(u)=2.5/3.5

ArcTanEqn

arctan(VL) = arctan(HL)

u=arctan(2.5/3.5)+n* 180^(∘)

UseCalc

Slå in på räknare

u=35.53767...^(∘)+n* 180^(∘)

RoundDec

Avrunda till 11tiondelar 12hundradelar 13tusendelar 14tiotusendelar 15hundratusendelar 16miljontedelar 17hundramiljontedelar 18miljardtedelar

u≈35.5^(∘)+n* 180^(∘)

Eftersom u är en vinkel i en triangel kan den inte vara negativ eller större än 180^(∘). Det finns därför bara en intressant lösning till ekvationen: den där n=0. Vinkeln u är alltså cirka 35.5^(∘), vilket betyder att v=180^(∘) - 35.5^(∘) = 144.5^(∘). Det komplexa talet z har alltså absolutbeloppet 4.3 och argumentet 144.5^(∘).

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Komplexa talplanet

Uppgift 2.1

Rita en vektorrepresentation av talen z = 2 - 3i och w = - 1 + 6i samt z * i och w * i. Undersök vad som händer med ett komplext tals vektor när det multipliceras med i.

Innan vi markerar talen behöver vi beräkna produkterna z * i och w * i. Vi börjar med z * i.

Vi beräknar nu w * i.

Kom ihåg att komplexa tal kan representeras som vektorer som utgår från origo och "pekar på" punkten i det komplexa talplanet. Vi markerar nu talen z = 2-3i, w = - 1 + 6i, z * i = 3 + 2i och w * i = - 6 - i i det komplexa talplanet.

Grafiskt kan vi se det som att vektorerna till z och w roterat moturs.

Det ser ut som att de har vridits 90^(∘), men just nu kan vi inte vara helt säkra på det. Om det är så att de är vinkelräta måste deras lutning uppfylla sambandet k_1 * k_2 = - 1. Vi bestämmer de fyra vektorernas lutning, dvs. alla fyra k-värden. Lutningen k ges av förändringen i Im-led delat med förändringen i Re-led. Dessa motsvarar talens b- respektive a-värde.

Tal	ΔIm	ΔRe	k = ΔIm/ΔRe
z	- 3	2	- 3/2
z * i	2	3	2/3
w	6	- 1	- 6
w * i	- 1	- 6	1/6

Vi ser nu att produkten av de blå vektorernas lutningar blir - 1 och detsamma gäller för de röda vektorerna. - 3/2 * 2/3 = - 1 och - 6 * 1/6 = - 1 Vektorerna har alltså roterat 90^(∘) moturs.

Det ovan var inget allmänt bevis, men det indikerar att det kan gälla för alla komplexa tal. Vi upprepar beräkningarna för det komplexa talet u = a + bi, där a och b är reella. Först beräknar vi u * i.

Vi gör nu en liknande tabell för u och u * i.

Tal	ΔIm	ΔRe	k = ΔIm/ΔRe
u	b	a	b/a
u * i	a	- b	a/- b

Produkten av lutningarna blir även nu - 1. b/a * a/- b = - 1 Det gäller alltså för alla komplexa tal att vektorn roterar 90^(∘) när talet multipliceras med i. Detta bevis gäller dock endast när både a och b inte är 0, eftersom det annars fås en nolldivision i b/a eller a/- b. För de rent imaginära och reella talen lämnas bevisandet till läsaren. Att rotationen är just moturs är desto krångligare att visa när man skriver komplexa tal på rektangulär form och visas därför inte här. Vidare kan talens absolutbelopp innan och efter multiplikation med i också undersökas.

Tal	Rektangulär form	Absolutbelopp
u	a + bi	sqrt(a^2 + b^2)
u * i	- b + ai	sqrt((- b)^2 + a^2) = sqrt(b^2 + a^2)

Vi har nu även visat att längden av ett komplext tals vektor inte påverkas när talet multipliceras med i, vilket syns i grafen i första deluppgiften. Alltså, när ett komplext tal multipliceras med i roterar det 90^(∘) moturs och behåller sin längd.

De två talen z och w är båda icke-reella och markerade i det komplexa talplanet. Tolka följande olikheter.

z > w

z ligger längre ifrån origo än w.
z har större argument än w.
Olikheten saknar betydelse.

|z| > |w|

z ligger längre ifrån origo än w.
z har större argument än w.
Olikheten saknar betydelse.

Olikheten z > w utläses "z är större än w". För reella tal är ett tal större än ett annat om det är längre till höger på tallinjen. Men hur blir tolkningen för tal som både har en real- och imaginärdel?

Vilken är störst av z och w? Den ena har större realdel och den andra har större imaginärdel, men det finns ingen del som är viktigare eller bättre än den andra. Det finns därför ingen vedertagen definition av vad "större än" betyder. Olikheten z > w har alltså ingen praktisk betydelse.

Den här olikheten betyder att absolutbeloppet av z är större än absolutbeloppet av w. För komplexa tal markerade i det komplexa talplanet kan deras absolutbelopp tolkas som avståndet från markeringen till origo. Vi kan alltså tolka olikheten som att z befinner sig längre ifrån origo än w i det komplexa talplanet.

Tre olika komplexa tal har argument mellan 0 och 2π. Är det möjligt att dessa ligger på en rät linje om två av dem har samma argument medan det tredje inte har det?

Argumentet till ett komplext tal är vinkeln mellan talets vektor och den positiva reella axeln. I den här uppgiften ska alltså två av talen ha samma vinkel. Vi ritar upp det komplexa talplanet och väljer två tal med samma vinkel.

De två markerade talen har samma argument, vinkeln v. Vi ser att de ligger på en rät linje, som vi förlänger åt båda håll. På så sätt ser vi alla punkter där det tredje talet kan placeras.

Vi kommer inte kunna placera talet i den första kvadranten, eftersom vinkeln då blir samma som för de två första talen. Om vi däremot väljer ett tal på linjen i den tredje kvadranten kommer talet ha en annan vinkel.

Det är alltså möjligt att alla talen ligger på en rät linje, om det är exakt ett halvt varv mellan de två olika argumenten.

Markera i det komplexa talplanet de områden som bildas av olikheten.

1 < |z| ≤ 3 |z| ≥ 4 Re(z) > - 2

När områden som bildas av olikheter ska ritas är det en god idé att först markera områdets rand. Vi börjar alltså genom att markera |z| = 1 och |z| = 3. |z| = 1 motsvarar "alla komplexa tal med absolutbeloppet 1". Grafiskt är detta en cirkel med radien 1 och mittpunkten origo. |z| = 3 är istället en cirkel med radien 3.

Randen |z| = 1 markeras streckad eftersom den inte ingår i området 1 < |z| ≤ 3 som ska markeras. Intervallet 1 < |z| ≤ 3 innebär att alla komplexa tal med ett absolutbelopp större än 1 och mindre än eller lika med 3 ska markeras. Området innesluts alltså av cirklarna. Vi markerar nu området.

Här beskrivs området istället av två olikheter som båda ska gälla för varje punkt i området. Vi markerar först båda olikheternas rand, alltså |z| = 4 och Re(z) = - 2. Re(z) = - 2 streckas eftersom den inte ingår i området som ska markeras.

Intervallet Re(z) > - 2 innebär att en punkt måste vara till höger om linjen Re(z) = - 2 för att ingå i området. Intervallet |z| ≥ 4 innebär att en punkt måste vara utanför eller på cirkeln med radie 4 och mittpunkt origo för att ingå i området. Vi markerar området där båda dessa villkor är uppfyllda.