Komplexa talplanet

I det komplexa talplanet vill vi markera de komplexa tal z som uppfyller villkoret Im(z)=- Re(z). Vi börjar med att skriva z=x+yi, där x=Re(z) och y=Im(z). Därefter skriver vi om villkoret i termer av x och y. Im(z)=- Re(z) ⇒ y = - x Den resulterande ekvationen beskriver en rät linje i det komplexa talplanet med riktningskoefficient - 1. Vi kan nu rita linjen och därmed markera alla komplexa tal som uppfyller villkoret.

Vi ska markera mängden av z som uppfyller Im(z) > Re(z). Om vi skriver z = x + yi blir villkoret y > x. De komplexa tal som uppfyller villkoret är alltså alla punkter i halvplanet ovanför linjen y = x. Eftersom olikheten är strikt ingår inte linjen, så den ritas streckad.

Vi ska markera mängden av z som uppfyller Im(z) ≤ Re(z) - 3. Återigen låter vi z = x + yi. Då blir villkoret y ≤ x - 3. De komplexa tal som uppfyller villkoret är alltså alla punkter i halvplanet på eller under linjen y = x - 3. Eftersom olikheten inte är strikt ingår randen, så linjen ritas heldragen.

Vi ska markera mängden av z som uppfyller Im(z) = Im(z). I det här fallet använder vi att konjugatet av ett komplext tal z = x + yi är z = x - yi. Konjugering lämnar alltså realdelen oförändrad men byter tecken på imaginärdelen. Därför är Im(z) = y och Im(z) = - y. Villkoret blir då y = - y, vilket endast gäller om y = 0. De komplexa tal som uppfyller villkoret ligger alltså på den reella axeln. Eftersom likhet gäller ingår hela axeln, så den ritas heldragen.

Vi ska markera området som uppfyller olikheten: 1 < |z| ≤ 3 ⇓ |z| > 1 och |z| ≤ 3 När områden som bildas av olikheter ska ritas är det en god idé att först markera områdets rand. I det komplexa talplanet är |z| avståndet från origo till punkten z.

• ∣z∣=1 är en cirkel med radie 1 runt origo.
• ∣z∣=3 är en cirkel med radie 3 runt origo.

Den inre cirkeln |z|=1 ingår inte i området och ritas därför med streckad linje. Den yttre cirkeln |z|=3 ingår i området och ritas därför med heldragen linje.

Intervallet 1 < |z| ≤ 3 innebär att alla komplexa tal med ett absolutbelopp större än 1 och mindre än eller lika med 3 ska markeras. Området innesluts alltså av cirklarna. Vi markerar nu området.

Vi ska markera det område som uppfyller båda olikheterna. |z| ≥ 4 Re(z) > - 2 Vi markerar först båda olikheternas rand, alltså |z| = 4 och Re(z) = - 2. Vi vet att |z|=4 är en cirkel med centrum i origo och radie 4, och att Re(z)=- 2 är den vertikala linjen x=- 2. Cirkeln ingår i området, medan linjen x=- 2 inte ingår.

Olikheten Re(z) > - 2 innebär att en punkt måste ligga till höger om den vertikala linjen Re(z)=- 2 för att ingå i området. Olikheten |z|≥ 4 innebär att en punkt måste ligga på eller utanför cirkeln med centrum i origo och radie 4. Området utgörs av de punkter som uppfyller båda dessa villkor.

Innan vi markerar talen behöver vi beräkna produkterna z * i och w * i. Vi börjar med z * i.

Vi beräknar nu w * i.

Kom ihåg att komplexa tal kan representeras som vektorer som utgår från origo och pekar på punkten i det komplexa talplanet. Vi markerar nu talen z = 2-3i, w = - 1 + 6i, z * i = 3 + 2i och w * i = - 6 - i i det komplexa talplanet.

Vi ser att multiplikation med i roterar ett komplext tal kring origo.

Det ser ut som att rotationsvinkeln är 90^(∘). Låt oss verifiera det genom att betrakta de komplexa talen som vektorer och kontrollera om produkten av deras lutningar är - 1. Först bestämmer vi de fyra vektorernas lutning, där lutningen k är kvoten mellan förändringen i imaginärdelen och förändringen i realdelen.

Vi ser nu att produkten av de blå vektorernas lutningar blir - 1 och detsamma gäller för de röda vektorerna.

• z och z * i är vinkelräta eftersom k_1 * k_2 = - 3/2 * 2/3 = - 1.
• w och w * i är vinkelräta eftersom k_3 * k_4 = - 6 * 1/6 = - 1.

Därför roterar multiplikation med det komplexa talet i ett komplext tal 90^(∘) kring origo.

Det ovan var inget allmänt bevis, men det indikerar att det kan gälla för alla komplexa tal. Vi upprepar beräkningarna för det komplexa talet u = a + bi, där a och b är reella. Först beräknar vi u * i.

Vi gör nu en liknande tabell för u och u * i.

Produkten av lutningarna blir även nu - 1. b/a * a/- b = - 1 Det gäller alltså för alla komplexa tal att vektorn roterar 90^(∘) när talet multipliceras med i. Detta bevis gäller dock endast när både a och b inte är 0, eftersom det annars fås en nolldivision i b/a eller a/- b. För de rent imaginära och reella talen lämnas bevisandet till läsaren. Att rotationen är just moturs är desto krångligare att visa när man skriver komplexa tal på rektangulär form och visas därför inte här. Vidare kan talens absolutbelopp innan och efter multiplikation med i också undersökas.

Vi har nu även visat att längden av ett komplext tals vektor inte påverkas när talet multipliceras med i, vilket syns i grafen i första deluppgiften. Alltså, när ett komplext tal multipliceras med i roterar det 90^(∘) moturs och behåller sin längd.

Argumentet till ett komplext tal är vinkeln mellan talets vektor och den positiva reella axeln. I den här uppgiften ska alltså två av talen ha samma vinkel. Vi ritar upp det komplexa talplanet och väljer två tal med samma vinkel.

De två markerade talen har samma argument, vinkeln v. Vi ser att de ligger på en rät linje, som vi förlänger åt båda håll. På så sätt ser vi alla punkter där det tredje talet kan placeras.

Vi kommer inte kunna placera talet i den första kvadranten, eftersom vinkeln då blir samma som för de två första talen. Om vi däremot väljer ett tal på linjen i den tredje kvadranten kommer talet ha en annan vinkel.

Det är alltså möjligt att alla talen ligger på en rät linje, om det är exakt ett halvt varv mellan de två olika argumenten.

Olikheten z > w utläses z är större än w. För reella tal är ett tal större än ett annat om det är längre till höger på tallinjen. Men hur blir tolkningen för tal som både har en real- och imaginärdel?

Vilken är störst av z och w? Den ena har större realdel och den andra har större imaginärdel, men det finns ingen del som är viktigare eller bättre än den andra. Det finns därför ingen vedertagen definition av vad större än betyder. Olikheten z > w har alltså ingen praktisk betydelse. Svaret är C.

Den här olikheten betyder att absolutbeloppet av z är större än absolutbeloppet av w. |z| > |w| För komplexa tal markerade i det komplexa talplanet kan deras absolutbelopp tolkas som avståndet från markeringen till origo. Vi kan alltså tolka olikheten som att z befinner sig längre ifrån origo än w i det komplexa talplanet.

Svaret är alltså A.