Integreringsregler

Integralen måste avgränsa samma område som är markerat i figuren samt ha ett positivt värde om det ska beskriva arean. Alternativ A har gränserna x=0 och x=b vilket inte avgränsar samma område som i figuren.

Vi går vidare till alternativ B som har rätt gränser och därför integrerar över samma område som i figuren. Men eftersom g(x) ligger under x-axeln kommer integralen få ett negativt värde. Eftersom en area inte kan vara negativ stämmer inte alternativ B heller.

Integralen i alternativ C liknar integralen i B men gränserna har bytt plats. Om vi byter plats på gränserna får vi ∫_b^ag(x) d x =- ∫_a^bg(x) d x . Detta är samma uttryck som B men med ett minustecken framför. Integral C blir därför positiv och har rätt gränser, så den ger arean av det blå området. För integral D kan vi bli av med minustecknet genom att samtidigt byta plats på gränserna. - ∫_b^ag(x) d x = ∫_a^bg(x) d x Detta är samma uttryck som i B, vilket inte var rätt. Det finns alltså bara ett uttryck som ger arean av det blå området: C. ∫_b^ag(x) d x .

Integralen vi ska beräkna kan vi dela upp i delintervall. Om vi delar upp integralen från 0 till 1 och 1 till 2 kan vi använda de integraler vi känner till. ∫_0^2f(x) d x = ∫_0^1f(x) d x + ∫_1^2f(x) d x Nu kan vi ersätta integralerna med värdena vi känner till.

Integralen har alltså värdet ∫_0^2f(x) d x =8.

För den här integralen kan vi inte dela upp den i två integraler vi känner till. Däremot kan vi dela upp integralen från 0 till 4 i två — en från 0 till 1 och en från 1 till 4. Vi kommer då kunna ställa upp en ekvation för att beräkna den sökta integralen. ∫_0^4f(x) d x = ∫_0^1f(x) d x + ∫_1^4f(x) d x Nu kan vi sätta in de värden vi känner till och sedan lösa ut den sökta integralen.

Integralens värde är alltså -1.

Eftersom integralerna har samma integrationsgränser kan vi slå ihop dem till en enda, enligt regeln för subtraktion av integraler. Vi får då ∫_0^(π)(cos^2( x2)-sin^2( x2) ) d x . Innan vi beräknar integralen förenklar vi integranden, som vi kan kalla f(x), genom att använda regeln för cosinus för dubbla vinkeln baklänges.

Nu bestämmer vi en primitiv funktion till cos(x).

Till sist beräknar vi själva integralen.

Integralens värde är alltså 0.

Vi kan tolka det markerade området som differensen mellan två områden. Mer specifikt får vi området i fråga genom att subtrahera området mellan den blå kurvan och x-axeln från området mellan den röda kurvan och x-axeln.

Arean av det stora röda området respektive det blå området kan skrivas som integraler, så arean av området mellan kurvorna kan uttryckas som differensen mellan dessa integraler. Det blå områdets area ges av ∫_2^8f(x) d x , och för att kunna ställa upp arean av det stora röda området bestämmer vi ett uttryck för den röda kurvan. Vi kan se att den liknar f(x) till formen, och genom att studera funktionsvärdet i några punkter inser vi också att den alltid har ett 3 gånger så stort y-värde som den blå.

Detta betyder att den röda kurvan ges av 3f(x). Arean av det stora röda området är därför ∫_2^83f(x) d x . Nu kan vi formulera ett uttryck för arean mellan kurvorna genom att subtrahera det lilla området från det stora: ∫_2^83f(x) d x - ∫_2^8f(x) d x . Eftersom integralerna har samma gränser kan vi samla funktionsuttrycken inom en enda integral. Sedan förenklar vi.

Arean av området mellan kurvorna kan alltså uttryckas som 2 ∫_2^8f(x) d x .

Integralen ska få ett negativt värde och det får den om integranden ligger under x-axeln. Funktionen f(x) ligger under x-axeln mellan x=3 och x=5. Området som bildas blir en kvadrat med sidan 2 och får värdet -4.

Integralens värde måste dock bli -5, vilket innebär att området under x-axeln är för litet. För att få ett större område med negativt värde kan vi integrera "åt andra hållet" — genom att byta plats på integrationsgränserna byter vi även tecken på integralens värde: ∫_a^bf(x) d x =- ∫_b^af(x) d x . Om vi nu låter undre gränsen vara större än övre gränsen kommer arean ovanför x-axeln motsvara en integral med negativt värde, och tvärtom.

Vi har nu tillräckligt med yta som bidrar till en negativ integral för att den ska kunna få värdet -5. Det finns nu många olika sätt att välja gränserna och ett av dem är att integrera över hela området: ∫_5^0f(x) d x =-9+4=-5. Vi kan alltså välja a=5 och b=0 för att få integralens värde till -5.

För att lösa en ekvation vill vi få x ensamt i ena ledet. Därför flyttar vi över första integralen som står i högerledet till vänsterledet.

Att försöka dividera ekvationen med integralen i högerled skulle inte hjälpa oss just nu. Vi tar oss därför an vänsterledet och förenklar det så mycket vi kan. Vi kan här notera att vi har integraler från 0 till 3, från 1 till 3 och från 0 till 1, alla med samma integrand. Vi väljer att dela upp integralen från 0 till 3, för att kunna förenkla uttrycket. ∫_0^3f(t) d t = ∫_0^1f(t) d t + ∫_1^3f(t) d t När vi sätter in detta i vänsterledet får vi två integraler från 1 till 3, medan integralerna från 0 till 1 kommer ta ut varandra.

Nu har vi ett betydligt enklare uttryck som vi ersätter vänsterledet med: 2 * ∫_1^3f(t) d t =x * ∫_1^3f(t) d t . Vi vet att f(t) > 0, alltså har inte integralen från 1 till 3 värdet 0. Vi kan därför dela båda leden med den för att bestämma x. Det ger att 2=x. Lösningen på ekvationen är alltså x=2.