Regel

Dela upp integrationsgränser

Ibland kan det vara bekvämt att dela upp en integral i flera delintervall och beräkna dessa separat. För att bestämma värdet av den ursprungliga integralen adderar man då bara integralerna för delintervallen.

acf(x)dx=abf(x)dx+bcf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{c}f(x) \, \text d x = \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x + \displaystyle\int_{b}^{c}f(x) \, \text d x

Man kan visa detta med hjälp av integralkalkylens huvudsats.

Härledning

acf(x)dx=abf(x)dx+bcf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{c}f(x) \, \text d x = \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x + \displaystyle\int_{b}^{c}f(x) \, \text d x
För att visa likheten börjar man med att skriva om integralerna i högerledet som differenser av primitiva funktioner. Förenklar man uttrycket blir det bara två termer kvar.
abf(x)dx+bcf(x)dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x + \displaystyle\int_{b}^{c}f(x) \, \text d x
[F(x)]ab+[F(x)]bc\left[ F(x) \right]_a^b + \left[ F(x) \right]_b^c
F(b)F(a)+F(c)F(b)F(b) - F(a) + F(c) - F(b)
F(b)F(b)+F(c)F(a)F(b) - F(b) + F(c) - F(a)
F(c)F(a)F(c) - F(a)
När man nu går tillbaka till en integral går gränserna över hela intervallet. F(c)F(b)=acf(x)dx F(c) - F(b) = \displaystyle\int_{a}^{c}f(x) \, \text d x Summan av integralerna över delintervallen är alltså lika med integralen över hela intervallet.
Q.E.D.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}