Integreringsregler

För att spara utrymme benämner vi integralerna utifrån deras gränser. Då kan vi skriva likheterna som AC = AB = BC, där AC betyder integralen av f(x) från a till c. Den vänstra integralen, AC, kan vi dela upp i två intervall: ∫_a^cf(x) d x = ∫_a^bf(x) d x + ∫_b^cf(x) d x . Likheterna från uppgiftsformuleringen kan då uttryckas med enbart två olika integraler, vilket ger oss möjligheten att bestämma integralernas värden. Uttryckt i vår korta notation har vi nu AB + BC = AB = BC. Dessa likheter kan vi uttrycka som ett lättlösligt ekvationssystem. AB + BC = AB AB + BC = BC ⇔ BC = 0 AB = 0 Integralernas värden är alltså 0. Men hur kan integralen av f(x) = sin(x) bli 0? Vi resonerar utifrån hur man bestämmer värdet av AB. Denna integral beräknas som F(b) - F(a), och vi vet att en primitiv funktion till f(x) = sin(x) är F(x) = - cos(x), vilken har perioden 2π. Om gränserna a och b skiljer sig med just 2π får vi att F(b) = F(a) samt att integralen är lika med 0.

Vi kan alltså låta b = a + 2π och c = b + 2π för att alla integraler ska vara 0. Detta uppfyller också att c - b = b - a, eftersom det är 2π mellan både a och b samt b och c. Om vi sätter a till det minsta tillåtna värdet, π3, får vi att a = π/3, b = 7π/3 och c = 13π/3. Detta är en möjlig lösning, eftersom konstanterna ligger inom intervallet π3 ≤ a < b < c ≤ 13π3.

Man kan visa att integralernas värde är 0 även för andra avstånd mellan gränserna än 2π. Det finns därför mer än en lösning på det här problemet, men dessa kan vara klurigare att hitta. Vi kan här notera att kring varje nollställe finns det en viss symmetri — om gränserna är på lika avstånd från ett nollställe x_1 är integralen 0: ∫_(x_1 - k)^(x_1 + k)f(x) d x = 0. Denna egenskap går att visa algebraiskt, men vi nöjer oss här med att visualisera det grafiskt med nollstället x_1 = π och avståndet k = 0.6π.

Vi kan nu låta gränserna a och b vara på lika avstånd, k_1, från nollstället π samt gränserna b och c vara på lika avstånd, k_2, från nästa nollställe, 2 π. Om vi samtidigt ska bevara likheten c - b = b - a måste vi låta k_1 = k_2. Vi får då att b ligger precis mellan nollställena, alltså att b = 1.5π. Detta ger en lösning a = 0.5π, b = 1.5π och c = 2.5π. Vi kan också förskjuta denna lösning π åt höger till nästa par av nollställen så att vi får a = 1.5π, b = 2.5π och c = 3.5π. Vi kan inte förskjuta lösningarna mer än såhär, då skulle vi få att a < π3 eller c > 13π3. Vi har alltså nu hittat alla möjliga lösningar.

Funktionsuttrycken för f(b) och f(a) får vi om vi ersätter x med b respektive a. Alltså: f(b) = ∫_0^b7e^(t^2) d t och f(a) = ∫_0^a7e^(t^2) d t . Nu kan vi byta plats på integrationsgränserna för en av integralerna i uttrycket f(b) - f(a). Vi kan sedan använda regeln för att dela upp integrationsgränser baklänges för att få den sökta integralen.

Differensen f(b) - f(a) är alltså lika med integralen ∫_a^b7e^(t^2) d t .

Man kan också använda integralkalkylens huvudsats för att visa likheten. Integranden 7e^(t^2) kallar vi för g(t). Vi har inga verktyg för att hitta en primitiv funktion till g(t), så vi kan inte hitta något explicit uttryck för f(b) och f(a). Om vi antar att G(t) är en primitiv funktion till g(t) kan vi använda integralkalkylens huvudsats för att ta fram ett uttryck vi kan skriva om.

Vi kan nu använda integralkalkylens huvudsats baklänges för att få G(b) - G(a) = ∫_a^bg(t) d t = ∫_a^b7e^(t^2) d t . Differensen f(b) - f(a) har alltså samma värde som integralen av g(t) från a till b.