Rationella Exponenter: Utforska och Förstå Exponenter på Bråkform

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Kvadratrot
Rotuttryck
Rotuttryck på räknare
Rationell exponent .1 /n.
Rationell exponent .b /n.
Multiplikation och division med rotuttryck

Förkunskaper

Rationella tal
Reella tal
Potens
Exponent
Prioriteringsreglerna

Koncept

Kvadratrot

Kvadratroten ur ett tal a, vilket skrivs sqrt(a), är det positiva tal som när det multipliceras med sig självt blir a. Exempelvis är sqrt(16) lika med 4 eftersom 4 * 4 = 16 och på samma sätt är sqrt(25) lika med 5 eftersom 5* 5=25. Man kan också se kvadratroten som motsatsen till att kvadrera ett tal.

sqrt(a)*sqrt(a)=a eller (sqrt(a))^2=a

Drar man kvadratroten ur ett positivt tal a som har kvadrerats tar de två operationerna ut varandra och man får alltså tillbaka a.

Koncept

Rotuttryck

Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot utan roten kan även vara högre. I rotuttrycket sqrt(27), vilket utläses kubikroten ur 27 eller tredje roten ur 27, så anger 3:an typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt 3 gånger blir 27, alltså 3. Om typen av rot inte anges i ett rotuttryck är det underförstått att man menar kvadratroten.

Generellt är sqrt(a) det tal som multiplicerat med sig själv n gånger är lika med a.

sqrt(a) * sqrt(a) * ... * sqrt(a)_(nst.)=a

På räknaren finns det också inbyggd funktionalitet för att skriva rotuttryck.

Digitala verktyg

Rotuttryck på räknare

Om man inte vill skriva rotuttryck som exponenter på bråkform finns det inbyggda funktioner för både kvadratrot och andra rotuttryck på räknaren. För att beräkna kvadratroten ur ett tal på räknaren skriver man först symbolen sqrt(), vilken kan skrivas genom att trycka på 2ND och sedan x^2. Då skrivs startparentesen ut automatiskt. Därefter skriver man det tal man vill dra roten ur följt av slutparentes.

Fil:Digital tools Rotuttryck pa raknare 1.svg

På motsvarande sätt kan man beräkna tredje roten ur ett tal genom att trycka på knappen MATH och välja sqrt()( följt av talet och slutparentes.

Fil:Digital tools Rotuttryck pa raknare 2.svg

Fil:Digital tools Rotuttryck pa raknare 22.svg

Extra

Andra typer av rotuttryck

För att skriva andra typer av rötter börjar man med att skriva in vilken typ av rot man vill beräkna. Om man vill beräkna fjärde roten ur skriver man alltså en fyra.

Fil:Digital tools Rotuttryck pa raknare 3.svg

Därefter trycker man på MATH och väljer sqrt(), där x:et står för en godtycklig rot.

Fil:Digital tools Rotuttryck pa raknare 4.svg

Slutligen skriver man talet man vill dra den önskade roten ur inom parenteser och trycker ENTER.

Fil:Digital tools Rotuttryck pa raknare 5.svg

Exempel

Hitta sjätteroten

Beräkna följande rot. sqrt(64)

Ledtråd

Notera att 64=8^2. I sin tur, notera att 8 = 2^3.

Lösning

Den givna roten är en sjätterot, så svaret kommer sannolikt att vara ett litet tal. Börja med att notera att 64 är kvadraten av 8. 64 = 8^2 Dessutom är 8 kuben av 2. 8 = 2^3 Använd denna information för att skriva om rotuttryck.

sqrt(64)

Substitute

64= 8^2

sqrt(8^2)

Substitute

8= 2^3

sqrt((2^3)^2)

PowToProdTwoFac

a^2=a* a

sqrt((2^3)* (2^3))

PowToProdThreeFac

a^3=a* a* a

sqrt((2 * 2 * 2) * (2 * 2 * 2))

RemovePar

Ta bort parentes

sqrt(2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2)

Uttrycket inuti roten är 2 multiplicerat med sig själv 6 gånger. Därför är sjätteroten 2. sqrt(64) &= sqrt(2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2) &= 2

Regel

Potenser på formen a^(.1 /n.)

Ett annat sätt att skriva ett rotuttryck är som en potens med ett bråk i exponenten, där exponenten har formen .1 /n. med ett positivt heltal n som anger typen av rot. Till exempel kan sqrt(27) skrivas som 27^(.1 /3.) och sqrt(100) kan skrivas som 100^(.1 /5.).

Regel

sqrt(a)=a^(.1 /n.)

Om man kvadrerar kvadratroten ur ett tal tar beräkningarna ut varandra, t.ex. (sqrt(9))^2=9. Ur detta kan man lösa ut sqrt(9) genom att höja upp båda led med .1 /2. och använda potenslagarna.

(sqrt(9))^2=9

RaiseEqn

VL^(.1 /2.)=HL^(.1 /2.)

((sqrt(9))^2)^(.1 /2.)=9^(.1 /2.)

PowPow

(a^b)^c=a^(b* c)

(sqrt(9))^(2* 12)=9^(.1 /2.)

DenomMultFracToNumber

2 * a/2= a

(sqrt(9))^1=9^(.1 /2.)

ExponentOne

a^1=a

sqrt(9)=9^(.1 /2.)

Kvadratroten ur 9 kan alltså skrivas 9^(.1 /2.). Denna regel brukar uttryckas som sqrt(a)=a^(1/2). På liknande sätt kan man motivera att sqrt(a)=a^(.1 /3.), eller mer generellt sqrt(a)=a^(1/n).

Exempel

Beräkningar med rotuttryck

Beräkna utan räknare: 16^(.1 /2.)-27^(.1 /3.)+(sqrt(5) )^2.

Ledtråd

Skriv om de rationella exponenterna som rötter och förenkla.

Lösning

Vi börjar med att skriva om de två första termerna som rotuttryck. Upphöjt till .1 /2. betyder samma sak som kvadratroten ur och den andra termen, 27^(.1 /3.), kan skrivas om till en kubikrot. I den sista termen tar rottecknet och kvadraten ut varandra.

16^(.1 /2.)-27^(.1 /3.)+(sqrt(5) )^2

PowToSqrtSL

a^(1/2)=sqrt(a)

sqrt(16)-27^(.1 /3.)+(sqrt(5) )^2

PowToRootSL

a^(1/n)=sqrt(a)

sqrt(16)-sqrt(27)+(sqrt(5) )^2

CalcRoot

Beräkna rot

4-3+(sqrt(5) )^2

PowSqrt

( sqrt(a) )^2 = a

4-3+5

AddSubTerms

Addera och subtrahera termerna

Regel

Potenser på formen a^(.b /n.)

En potens med en exponent som är ett bråk där täljaren inte är 1, t.ex. 8^(.2 /5.), kan skrivas om som en kombination av ett rotuttryck och en potens: 8^(.2 /5.)=sqrt(8^2) = (sqrt(8))^2. Exponentens nämnare anger alltså vilken sorts rot det är och täljaren hamnar som en exponent, antingen på basen eller på hela rotuttrycket.

Regel

sqrt(a^b)=a^(.b /n.)

Man kan utgå från t.ex. sqrt(8^2) och visa hur täljaren i exponenten hamnar som exponent på talet under rottecknet genom att använda potenslagarna.

sqrt(8^2)

RootToPowD

sqrt(a)=a^(1n)

(8^2)^(15)

PowPow

(a^b)^c=a^(b* c)

8^(2* 1 5)

MoveLeftFacToNumOne

a* 1/b= a/b

8^(2 5)

Rotuttrycket sqrt(8^2) kan alltså skrivas som 8^(.2 /5.). Med samma motivering som för sqrt(a^b)=a^(.b /n.) kan man även visa omskrivningen (sqrt(a))^b=a^(.b /n.).

Digitala verktyg

Potenser på räknare

Extra

Exponenter på bråkform

Om man behöver skriva en potens med ett bråk i exponenten är det viktigt att komma ihåg att sätta parenteser runt bråket.

Fil:Digital tools Potenser pa raknare 3.svg

Om man glömmer detta kommer räknaren att utföra beräkningarna enligt prioriteringsreglerna, vilket innebär att endast siffran direkt höger om ^(∧) hamnar i exponenten.

Fil:Digital tools Potenser pa raknare 4.svg

Ett alternativt sätt är att istället använda räknarens verktyg för att skriva rotuttryck.

Regel

Multiplikation och division med rotuttryck

Om rotuttryck multipliceras eller divideras, t.ex. sqrt(2)* sqrt(8), finns det räkneregler som kan förenkla beräkningarna. Det finns till exempel inget enkelt sätt att beräkna sqrt(2) eller sqrt(8) separat men man kan skriva om sqrt(2)*sqrt(8) som sqrt(16), vilket är lika med 4. Generellt gäller följande likheter för multiplikationer och divisioner av rotuttryck.

Regel

sqrt(a) * sqrt(b)=sqrt(a * b)

En produkt av två rotuttryck, t.ex. sqrt(2)*sqrt(3), kan skrivas som ett enda rotuttryck: sqrt(2* 3). Man kan motivera varför genom att skriva sqrt(2)* sqrt(3) som en multiplikation av två potenser och sedan använda potenslagarna.

sqrt(2)* sqrt(3)

RootToPowSL

sqrt(a)=a^(1/n)

2^(.1 /4.)* 3^(.1 /4.)

ProdPow

a^c* b^c=(a * b)^c

(2* 3)^(.1 /4.)

PowToRootSL

a^(1/n)=sqrt(a)

sqrt(2* 3)

Regeln gäller för icke-negativa och reella a och b. Är rotuttrycken kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Man skriver då sqrt(a* b), inte sqrt(a* b).

Regel

sqrt(a)/sqrt(b) = sqrt(a/b)

En kvot av två rotuttryck, t.ex. sqrt(2)/sqrt(3), kan skrivas som ett enda rotuttryck: sqrt(2/3). Man kan motivera varför genom att skriva om rötterna till potenser, och därefter använda potenslagarna.

sqrt(2)/sqrt(3)

RootToPowSL

sqrt(a)=a^(1/n)

2^(.1 /4.)/3^(.1 /4.)

QuotPow

a^c/b^c=(a/b)^c

(2/3)^(.1 /4.)

PowToRootSL

a^(1/n)=sqrt(a)

sqrt(2/3)

Regeln gäller om a och b är reella, där a är icke-negativt och b är positivt. Om rotuttrycken är kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Dock brukar man då skriva sqrt(a/b) och inte sqrt(a/b).