{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}.
{{ article.displayTitle }}
{{ article.intro.summary }}
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Kreditlista Bilder expand_more
- {{ item.file.title }} {{ presentation }}
Inga inlägg om filrättigheter hittades
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Kvadratrot
- Rotuttryck
- Rotuttryck på räknare
- Rationell exponent .1 /n.
- Rationell exponent .b /n.
- Multiplikation och division med rotuttryck
Förkunskaper
Koncept
Kvadratrot
Kvadratroten ur ett tal a, vilket skrivs sqrt(a), är det positiva tal som när det multipliceras med sig självt blir a. Exempelvis är sqrt(16) lika med 4 eftersom 4 * 4 = 16 och på samma sätt är sqrt(25) lika med 5 eftersom 5* 5=25. Man kan också se kvadratroten som motsatsen till att kvadrera ett tal.
sqrt(a)*sqrt(a)=a eller (sqrt(a))^2=a
Koncept
Rotuttryck
Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot utan roten kan även vara högre. I rotuttrycket sqrt(27), vilket utläses kubikroten ur 27 eller tredje roten ur 27,
så anger 3:an typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt 3 gånger blir 27, alltså 3. Om typen av rot inte anges i ett rotuttryck är det underförstått att man menar kvadratroten.
Generellt är sqrt(a) det tal som multiplicerat med sig själv n gånger är lika med a.
sqrt(a) * sqrt(a) * ... * sqrt(a)_(nst.)=a
Digitala verktyg
Rotuttryck på räknare
Om man inte vill skriva rotuttryck som exponenter på bråkform finns det inbyggda funktioner för både kvadratrot och andra rotuttryck på räknaren. För att beräkna kvadratroten ur ett tal på räknaren skriver man först symbolen sqrt(), vilken kan skrivas genom att trycka på 2ND och sedan x^2. Då skrivs startparentesen ut automatiskt. Därefter skriver man det tal man vill dra roten ur följt av slutparentes.
På motsvarande sätt kan man beräkna tredje roten ur ett tal genom att trycka på knappen MATH
och välja sqrt()(
följt av talet och slutparentes.
Extra
Andra typer av rotuttryckFör att skriva andra typer av rötter börjar man med att skriva in vilken typ av rot man vill beräkna. Om man vill beräkna fjärde roten ur skriver man alltså en fyra.
Därefter trycker man på MATH
och väljer sqrt(),
där x:et står för en godtycklig rot.
Slutligen skriver man talet man vill dra den önskade roten ur inom parenteser och trycker ENTER.
Exempel
Hitta sjätteroten
Beräkna följande rot.
sqrt(64)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
Ledtråd
Notera att 64=8^2. I sin tur, notera att 8 = 2^3.
Lösning
Den givna roten är en sjätterot, så svaret kommer sannolikt att vara ett litet tal. Börja med att notera att 64 är kvadraten av 8.
64 = 8^2
Dessutom är 8 kuben av 2.
8 = 2^3
Använd denna information för att skriva om rotuttryck.
Uttrycket inuti roten är 2 multiplicerat med sig själv 6 gånger. Därför är sjätteroten 2.
sqrt(64) &= sqrt(2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2) &= 2
sqrt(64)
Substitute
64= 8^2
sqrt(8^2)
Substitute
8= 2^3
sqrt((2^3)^2)
PowToProdTwoFac
a^2=a* a
sqrt((2^3)* (2^3))
PowToProdThreeFac
a^3=a* a* a
sqrt((2 * 2 * 2) * (2 * 2 * 2))
RemovePar
Ta bort parentes
sqrt(2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2)
Regel
Potenser på formen a^(.1 /n.)
Ett annat sätt att skriva ett rotuttryck är som en potens med ett bråk i exponenten, där exponenten har formen .1 /n. med ett positivt heltal n som anger typen av rot. Till exempel kan sqrt(27) skrivas som 27^(.1 /3.) och sqrt(100) kan skrivas som 100^(.1 /5.).
Regel
sqrt(a)=a^(.1 /n.)Om man kvadrerar kvadratroten ur ett tal tar beräkningarna ut varandra, t.ex. (sqrt(9))^2=9. Ur detta kan man lösa ut sqrt(9) genom att höja upp båda led med .1 /2. och använda potenslagarna.
(sqrt(9))^2=9
RaiseEqn
VL^(.1 /2.)=HL^(.1 /2.)
((sqrt(9))^2)^(.1 /2.)=9^(.1 /2.)
PowPow
(a^b)^c=a^(b* c)
(sqrt(9))^(2* 12)=9^(.1 /2.)
DenomMultFracToNumber
2 * a/2= a
(sqrt(9))^1=9^(.1 /2.)
ExponentOne
a^1=a
sqrt(9)=9^(.1 /2.)
Exempel
Beräkningar med rotuttryck
Beräkna utan räknare:
16^(.1 /2.)-27^(.1 /3.)+(sqrt(5) )^2.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["6"]}}
Ledtråd
Skriv om de rationella exponenterna som rötter och förenkla.
Lösning
Vi börjar med att skriva om de två första termerna som rotuttryck. Upphöjt till .1 /2. betyder samma sak som kvadratroten ur och den andra termen, 27^(.1 /3.), kan skrivas om till en kubikrot. I den sista termen tar rottecknet och kvadraten ut varandra.
16^(.1 /2.)-27^(.1 /3.)+(sqrt(5) )^2
PowToSqrtSL
a^(1/2)=sqrt(a)
sqrt(16)-27^(.1 /3.)+(sqrt(5) )^2
PowToRootSL
a^(1/n)=sqrt(a)
sqrt(16)-sqrt(27)+(sqrt(5) )^2
CalcRoot
Beräkna rot
4-3+(sqrt(5) )^2
PowSqrt
( sqrt(a) )^2 = a
4-3+5
AddSubTerms
Addera och subtrahera termerna
6
Regel
Potenser på formen a^(.b /n.)
En potens med en exponent som är ett bråk där täljaren inte är 1, t.ex. 8^(.2 /5.), kan skrivas om som en kombination av ett rotuttryck och en potens: 8^(.2 /5.)=sqrt(8^2) = (sqrt(8))^2. Exponentens nämnare anger alltså vilken sorts rot det är och täljaren hamnar som en exponent, antingen på basen eller på hela rotuttrycket.
Regel
sqrt(a^b)=a^(.b /n.)Man kan utgå från t.ex. sqrt(8^2) och visa hur täljaren i exponenten hamnar som exponent på talet under rottecknet genom att använda potenslagarna.
Rotuttrycket sqrt(8^2) kan alltså skrivas som 8^(.2 /5.). Med samma motivering som för sqrt(a^b)=a^(.b /n.) kan man även visa omskrivningen (sqrt(a))^b=a^(.b /n.).
sqrt(8^2)
RootToPowD
sqrt(a)=a^(1n)
(8^2)^(15)
PowPow
(a^b)^c=a^(b* c)
8^(2* 1 5)
MoveLeftFacToNumOne
a* 1/b= a/b
8^(2 5)
Digitala verktyg
Potenser på räknare
Extra
Exponenter på bråkformOm man behöver skriva en potens med ett bråk i exponenten är det viktigt att komma ihåg att sätta parenteser runt bråket.
Om man glömmer detta kommer räknaren att utföra beräkningarna enligt prioriteringsreglerna, vilket innebär att endast siffran direkt höger om ^(∧) hamnar i exponenten.
Ett alternativt sätt är att istället använda räknarens verktyg för att skriva rotuttryck.
Regel
Multiplikation och division med rotuttryck
Om rotuttryck multipliceras eller divideras, t.ex. sqrt(2)* sqrt(8), finns det räkneregler som kan förenkla beräkningarna. Det finns till exempel inget enkelt sätt att beräkna sqrt(2) eller sqrt(8) separat men man kan skriva om sqrt(2)*sqrt(8) som sqrt(16), vilket är lika med 4. Generellt gäller följande likheter för multiplikationer och divisioner av rotuttryck.
Regel
sqrt(a) * sqrt(b)=sqrt(a * b)En produkt av två rotuttryck, t.ex. sqrt(2)*sqrt(3), kan skrivas som ett enda rotuttryck: sqrt(2* 3). Man kan motivera varför genom att skriva sqrt(2)* sqrt(3) som en multiplikation av två potenser och sedan använda potenslagarna.
sqrt(2)* sqrt(3)
RootToPowSL
sqrt(a)=a^(1/n)
2^(.1 /4.)* 3^(.1 /4.)
ProdPow
a^c* b^c=(a * b)^c
(2* 3)^(.1 /4.)
PowToRootSL
a^(1/n)=sqrt(a)
sqrt(2* 3)
Regel
sqrt(a)/sqrt(b) = sqrt(a/b)En kvot av två rotuttryck, t.ex. sqrt(2)/sqrt(3), kan skrivas som ett enda rotuttryck: sqrt(2/3). Man kan motivera varför genom att skriva om rötterna till potenser, och därefter använda potenslagarna.
sqrt(2)/sqrt(3)
RootToPowSL
sqrt(a)=a^(1/n)
2^(.1 /4.)/3^(.1 /4.)
QuotPow
a^c/b^c=(a/b)^c
(2/3)^(.1 /4.)
PowToRootSL
a^(1/n)=sqrt(a)
sqrt(2/3)
Exempel
Hitta värdet i den rationella exponenten
Bestäm n i nedanstående ekvation.
sqrt(x^n)* sqrt(x^2)/sqrt(x) = sqrt(x^5) * sqrt(x^7)/sqrt(x^n)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"n=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{29}{5}"]}}
Ledtråd
Skriv de rotuttrycken i formen sqrt(x^m)=x^(mn). Dela och multiplicera de rotuttrycken.
Lösning
Börja med att skriva om rotuttrycken med hjälp av och sqrt(x^m)=x^(mn).
Båda sidorna av ovanstående ekvation har samma bas, x, så exponenterna kan sättas lika med varandra.
Lösningen är alltså n= 295.
sqrt(x^n)* sqrt(x^2)/sqrt(x) = sqrt(x^5) * sqrt(x^7)/sqrt(x^n)
sqrt(a^m)=a^(mn)
x^(n3) * x^(24)/x^(12) = x^(52) * x^(73)/x^(n2)
MultPow
a^b*a^c=a^(b+c)
x^(n3+ 24)/x^(12) = x^(52+ 73)/x^(n2)
DivPow
a^b/a^c= a^(b-c)
x^(n3+ 24- 12) = x^(52+ 73- n2)
n/3+2/4-1/2 = 5/2+7/3-n/2
ExpandFrac
Förläng med 4
n * 4/3* 4+2/4-1/2 = 5/2+7 * 4/3 * 4-n/2
ExpandFrac
Förläng med 3
n * 4/3* 4+2 * 3/4* 3-1/2 = 5/2+7 * 4/3 * 4-n/2
ExpandFrac
Förläng med 6
n * 4/3* 4+2 * 3/4* 3-1 * 6/2* 6 = 5* 6/2* 6+7 * 4/3 * 4-n* 6/2* 6
Multiply
Multiplicera faktorer
4n/12 + 6/12 - 6/12 = 30/12 + 28/12 - 6n/12
AddSubFrac
Lägg ihop bråk
4n+6-6/12 = 30+28-6n/12
MultEqn
VL * 12=HL* 12
4n+6-6 = 30+28-6n
AddSubTerms
Addera och subtrahera termerna
4n = 58-6n
AddEqn
VL+6n=HL+6n
4n+6n=58
AddTerms
Addera termerna
10n=58
DivEqn
.VL /10.=.HL /10.
n = 58/10
ReduceFrac
Förkorta med 2
n = 29/5
Laddar innehåll