Ekvationer

Vi kallar diskmedlets vikt för a och flaskans vikt för b. Tillsammans väger de 1,5 kg eller 1500 gram: a+b=1500. När hälften av diskmedlet är använt så väger flaskan endast 785 gram. Vi ska alltså dela a med 2, eftersom medlets vikt minskat till hälften. Flaskans vikt b är dock oförändrad. Detta uttryck likställer vi med 785: a/2+b=785. Vi löser ut a för att därefter kunna sätta in ett uttryck för a i vår första ekvation.

Nu har vi ett uttryck för a och kan sätta in detta i vårt ursprungliga uttryck.

Den tomma flaskan väger 70 gram.

Vi kan multiplicera med (x-5) i båda led för att blir av med nämnaren i vänsterledet.

Vi får alltså x=5. Men löser den verkligen ursprungsekvationen? Nej. Om vi sätter in detta i vänsterledet får vi 0 i nämnaren och nolldivision är, som bekant, inte tillåtet. Därför är x=5 inte en lösning. Ekvationen saknar lösningar.

Vi börjar med att förkorta bråken så ekvationen blir lite enklare.

Vi får x=x. Oavsett värde på x kommer ju den likheten alltid att stämma. T.ex. gäller alltid 2=2 och 17=17. Därför är ekvationens lösningar alla x.

Vi kallar Maries nuvarande ålder för x. Om Isaac idag är hälften så gammal som Marie måste han alltså vara x2 år. För 18 år sedan var Marie (x - 18) år gammal, och om Isaac då var en tredjedel så gammal måste han ha varit x - 183 år. Vi sammanfattar dessa åldrar.

Men om Isaac var x - 183 för 18 år sedan så är han nu ( x - 183+18) år. Issacs nuvarande ålder kan alltså uttryckas som både ( x - 183+18) och x2. Dessa måste vara lika.

Maries nuvarande ålder är 72 år.

Man kan ställa upp ett uttryck som beräknar antalet poäng för ett visst antal klädda kort. Anta att man drar x klädda kort och då är övriga kort icke-klädda. Eftersom man drar 12 kort totalt är 12-x kort som inte är klädda.

Genom att dra bort förlusten från vinsten, precis som i för deluppgiften, får vi att vinsten ges av uttrycket 23x-4(12-x). Om x är ett heltal när detta är lika med 168 är den vinsten möjlig. Man kan ju inte dra ett halvt kort.

När antalet klädda kort är 8 och antalet icke-klädda kort är 12-8=4 blir vinstsumman 168 kr.

Vi ska här försöka se vad x ska vara. Vi ska alltså hitta värden på x som gör att x * (x-2) =0. Om en faktor är 0, kommer hela produkten att bli 0 oavsett vad den andra faktorn är. Exempelvis är 0 * 3 =0, och 7 * 0 = 0 osv. Vad ska vi då ersätta x med i våra faktorer för att de ska bli 0 ? Det finns två fall. Den första får vi helt enkelt genom att ersätta x med noll. Vi får då 0 * (0-2)=0 * (-2)=0. Den andra lösningen gömmer sig i faktorn x-2. Vad ska vi då ersätta x med för att få noll?

Den andra lösningen är alltså x= 2, eftersom 2 * ( 2-2)=2 * 0=0. Vi har då med hjälp av inspektionsmetoden hittat lösningarna x=0 och x=2. Detta kallas för nollproduktmetoden.

Att se vilka lösningar som gör att differensen 3x^2-9x blir noll är svårt. Men om vi kan skriva om vänsterledet som en produkt kan vi använda samma metod som tidigare, eftersom högerledet är noll. Vi faktoriserar genom att bryta ut största gemensamma faktor.

Nu har vi en produkt i vänsterledet som ska bli noll. Vilka x gör då att 3x(x-3) blir noll? Vi får två ekvationer: 3x=0 och x-3=0. Vi löser ut x i båda ekvationer.

Ena lösningen är x=0.

Den andra lösningen är 3. Om man sätter in något av dessa x i lösningarna stämmer alltså likheten.

Den röda legobiten kan delas in i två delar och den gröna kan delas in i tre, dvs. totalt 5 delar. Tillsammans bildar de en sträcka på 5 cm så varje del måste utgöra 5/5=1 cm. Vi numrerar varje del (1-5).

Om legobitarna ska passa måste plupparna på den blå biten befinna sig precis ovanför motsvarande pluppar på den röda och gröna biten. Detta innebär i sin tur att avståndet mellan två närliggande pluppar måste vara lika stort på alla legobitar. Vi kallar detta avstånd för x i den inzoomade figuren nedan.

Avståndet från plupp 2 till plupp 3 är uppdelad i två lika stora sträckor, dvs. x2. Vi vet även att radien av en plupp är 0,25 cm och därför är diametern 0,5 cm. Vi kompletterar figuren med denna information.

Vi lägger ihop den röda legobitens delsträckor. Det ska då bli 2: x/2+0,5+x+0,5+x/2=2. Genom att lösa ut x kan vi bestämma avståndet mellan två pluppar på en legobit.

Avståndet mellan två pluppar är 0.5 cm, dvs. dubbla "pluppradien" eller en "pluppdiameter."

Anger vi den tomma flaskans vikt för x gram och vattnets vikt för k gram när flaskan är helt fylld kan vi ställa upp två samband för vikten när den är fylld till 13 och 25.

Subtraherar vi flaskans vikt när den är fylld till 25 från flaskans vikt när den är fylld till 13 blir skillnaden 417-410. Detta ger oss en ekvation: 2/5 * k + x - (1/3 * k + x) = 417- 410. Vi förenklar ekvationen något.

Bråktalen i vänstra ledet har olika nämnare, så vi skriver om dem.

När flaskan är helt fylld väger vattnet 105 gram. Nu kan vi beräkna x, dvs. hur mycket den tomma flaskan väger. Det gör vi genom att sätta in k i ett av sambanden som vi formulerade.

Den tomma flaskan väger 375 gram.

Om förhållandet mellan två är 3:7 innebär det att kvoten av dem är 37. Om vi kallar talen a och b får vi: a+b=200 och a b = 3 7 . Löser vi ut a i den första ekvationen fås a=200-b. Genom att ersätta a med detta den andra ekvationen kan vi lösa ut b.

b är 140 så a blir 200-140=60. Det innebär att det största talet är 140

Vi börjar med att skriva om ekvationen så att termen 3x - 9x - 3 står ensam i vänsterledet. Därefter multiplicerar vi båda leden med (x - 3) för att bli av med nämnaren.

Vi får nu x=x. Denna likhet gäller för alla x. T.ex. är ju både 2=2 och 96=96. Det finns alltså oändligt många lösningar. Men, x får inte vara 3 eftersom nämnaren i ursprungsekvationen då blir 0. Ekvationens lösningar är alltså alla x förutom 3. Det skriver vi som x≠3.

En lösning till en ekvation är det eller de x-värden som gör att likheten gäller. Om en ekvation saknar lösning betyder det att oavsett vilket värde man sätter in kommer likheten aldrig att gälla. I tre av ekvationerna finns x endast på ett ställe så vi börjar med att undersöka dem.

x+1=3, x+2=0 och 2=x

Vi kan prova att lösa ekvationerna. I den första flyttar vi över ettan till högerledet genom att subtrahera 1 i båda led: x+1=3 ⇔ x=3-1=2. Lösningen på den här ekvationen är x=2 så denna ekvation har alltså en lösning. I den andra ekvationen subtraherar vi 2 i båda led: x+2=0 ⇔ x=-2. Den här ekvationen har också en lösning. I den tredje ekvationen (2=x) kan vi läsa av lösningen direkt. Om man ersätter x med 2 gäller likheten så denna ekvationen har också en lösning.

1+x=x-1

Vi flyttar över x:en till vänsterledet och konstanterna i högerledet.

Om vi nu förenklar vänsterledet blir detta 0, men då står det ju 0=2. Den likheten gäller aldrig, oavsett vilket värde på x man sätter in. Denna ekvationen saknar därför lösning.

x-5=2x-7

Vi samlar x:en på ena sidan och konstanterna på den andra.

Den här ekvationen har alltså en lösning.

Sammanfattning

Det är alltså en av ekvationerna som saknar lösning, nämligen ekvation C.