body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

( Ma 1a , Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

Visa mindre Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Ekvation
Ekvationlösning
Balansmetoden
Inspektionsmetoden

Teori

Ekvation

En ekvation är en matematisk relation där uttrycken på vänster och höger sida av likhetstecknet är lika med varandra. Ekvationens sidor kallas för ekvationens led, där vänster sida av likhetstecknet kallas vänsterled och höger sida kallas högerled.

2 x + 5 = 7 x - 4 v \ddot{a} nsterled ↓ h \ddot{o} gerled likhetstecken

Uttrycken i båda leden innehåller ofta en eller flera obekanta tal, som brukar betecknas med bokstäver såsom

x,

y,

z,

a,

b,

med mera. Till skillnad från variabler, som bokstäverna kallas i algebraiska uttryck, har de obekanta talen bestämda värden. Några exempel på olika ekvationer visas nedanför.

Ekvationer med noll, en, två obekanta tal

Att lösa en ekvation innebär att hitta värdet på det eller de obekanta talen som gör ekvationen sann. I vissa fall kan dessutom flera värden lösa en ekvation.

Teori

Ekvationslösning

En lösning till en ekvation är värdet på det obekanta talet som gör att ekvationen stämmer. Likheten ska alltså stämma när ekvationens lösning sätts in. Titta på följande ekvation.

x + 1 = 4

Den här ekvationen har lösningen

x = 3,

eftersom

3

är det enda värdet på

x

som gör ekvationen sann. Det betyder att ekvationens höger- och vänsterled är lika med varandra när man ersätter det obekanta talet med talet

3 .

x + 1 = 4

Substitute

$x = 3$

3 + 1 = ? 4

AddTerms

Addera termer

4 = 4 ✓

Om värden som inte är lösningar sätts in i ekvationen, så kommer högerledet inte att vara lika med vänsterledet. Då används tecknet

\neq =,

som betyder skilt från, eller inte lika med. Se vad som händer om man sätter in

x = 1

i ekvationen.

x + 1 = 4

Substitute

$x = 1$

1 + 1 = ? 4

AddTerms

Addera termer

2 \neq = 4 \times

x = 1

är alltså inte en lösning till ekvationen.

Vissa ekvationer är omöjliga att lösa. Titta på följande exempel.

x = x + 1

Det är omöjligt för ett tal att vara lika med sig självt plus

1 .

Därför har den här ekvationen ingen lösning. Det är även möjligt för en ekvation att ha fler än en lösning. Dessutom kan en ekvation ha oändligt många lösningar, vilket betyder att alla värden på det obekanta talet uppfyller likheten.

x + x = 2 x

Den här ekvationen kommer att vara sann för alla värden på

x,

eftersom uttrycket i vänster- och högerled kan skrivas om till samma uttryck.

x + x = 2 x ⟺ 2 x = 2 x

Extra

Ersättningsmängd

Ibland kan lösningsmängden för en ekvation härledas från en ersättningsmängd, som är en lista med möjliga lösningar. Värdena från ersättningsmängden ersätts i ekvationen och kontrolleras sedan för att bekräfta om de uppfyller ekvationen eller inte. Tänk på följande ekvation och dess ersättningsmängd.

Ekvation : Ers \ddot{a} ttningsm \ddot{a} ngd : x - 5 = 3 {5, 6, 7, 8}

I följande tabell ersätts varje värde i ekvationen och ekvationen utvärderas.

$x$	Ersätta	Är båda sidor lika?
$5$	$5 - 5 = ? 3$	$0 \neq = 3 \times$
$6$	$6 - 5 = ? 3$	$1 \neq = 3 \times$
$7$	$7 - 5 = ? 3$	$2 \neq = 3 \times$
$8$	$8 - 5 = ? 3$	$3 = 3 ✓$

Som visat är den enda lösningen till ekvationen $3 .$

Teori

Balansmetoden

En vanlig metod för att lösa ekvationer är balansmetoden. Enligt balansmetoden måste varje sak som görs på ena sidan av en ekvation också göras på den andra sidan, så att båda leden fortfarande är lika med varandra. Titta på ekvationen nedan.

2 x - 4 = 10

I den här ekvationen kan subtraktionen i vänsterledet tas bort genom att addera

4

i båda led.

2 x - 4 = 10

AddEqn

$VL + 4 = HL + 4$

2 x - 4 + 4 = 10 + 4

Förenkla vänsterled

2 x - 4 + 4 = 10 + 4

AddTerms

Addera termer

2 x = 14

Nästa steg är att dividera båda led i ekvationen med

2,

för att multiplikation med

2

ska försvinna, så att

x

hamnar för sig själv.

2 x = 14

DivEqn

$VL / 2 = HL / 2$

\frac{2 x}{2} = \frac{1 4}{2}

CancelCommonFac

Förkorta

\frac{2 x}{2} = \frac{1 4}{2}

SimpQuot

Förenkla kvot

x = \frac{1 4}{2}

CalcQuot

Beräkna kvot

x = 7

Som har visats så används räknesätten för att få det obekanta talet för sig själv på ena sidan av ekvationen. Addition och subtraktion tar ut varandra, precis som multiplikation och division gör.

Addition Multiplikation ⇆ Subtraktion ⇆ Division

Teori

Inspektionsmetoden

Vissa ekvationer där vänster- och högerledet har samma struktur går att lösa med inspektionsmetoden. Det är en metod som kan göra uppgifter som är svåra att lösa med balansmetoden mycket enklare, men det är inte alltid den går att använda. För att det ska gå måste de två leden vara tillräckligt lika, exempelvis som i ekvationen

3^{x - 5} + 7 = 3^{2} + 7 .

I det här fallet är vänster- och högerledet identiska så när som på exponenten till trean. För att likheten ska gälla måste det som står i exponenterna vara lika, så det går lika bra att lösa den enklare ekvationen

x - 5 = 2 .

Namnet på metoden kommer från att man inspekterar de två leden och ser om det finns några likheter. Ibland kan det dock behövas några omskrivningar för att vänster- och högerledet faktiskt ska se så pass lika ut att inspektionsmetoden kan användas.

Exempel

Ställ upp en ekvation

Ida har köpt

8

bullar som hon och kollegan Hugo äter upp under en eftermiddag. Hugo är hungrig så han äter tre gånger så många bullar som Ida. Ställ upp en ekvation som beskriver antalet bullar som Hugo och Ida åt.

Ledtråd

Använd en variabel för att representera hur många kakor Ida åt. Hur många kakor åt Hugo? Summan av dessa uttryck ska vara lika med $8 .$

Lösning

Vi kallar antalet bullar som Ida åt för

x .

Hugo åt

3

gånger fler, vilket kan uttryckas som

3 x .

Tillsammans åt de alltså

x + 3 x

bullar. Eftersom de tillsammans åt alla bullarna ska summan vara lika med

8 .

Vi får då ekvationen

x + 3 x = 8 .

Exempel

Pröva en ekvations lösning

Albin har löst ekvationen

4 (x + 5) = 32

och fått roten

x = 3 .

Pröva lösningen och avgör om han har löst ekvationen korrekt.

Ledtråd

Ersätt Albins lösning i ekvationen. Fås ett sant påstående?

Lösning

För att kontrollera lösningen sätter man in

x = 3

i ursprungsekvationen och förenklar. Om likheten stämmer är roten korrekt!

4 (x + 5) = 32

Substitute

$x = 3$

4 (3 + 5) = ? 32

AddTerms

Addera termer

4 \cdot 8 = ? 32

Multiply

Multiplicera faktorer

32 = 32 ✓

Likheten är uppfylld, så

x = 3

är en giltig rot. Albin har löst ekvationen rätt!

Exempel

Ekvation med variabel i båda led

Lös ekvationen

8 x + 4 = 4 x - 8 .

Ledtråd

Använd balansmetoden.

Lösning

I den här ekvationen finns det termer med

x

både i vänster- och högerledet. Då måste man börja med att flytta över dem till samma sida och förenkla så att det bara finns en variabelterm kvar. Vi börjar med att subtrahera

4 x

på båda sidor för att bli av med den termen i högerledet.

8 x + 4 = 4 x - 8

SubEqn

$VL - 4 x = HL - 4 x$

8 x + 4 - 4 x = 4 x - 8 - 4 x

SimpTerms

Förenkla termer

4 x + 4 = - 8

Nu finns det bara en

x

-term kvar i ekvationen och vi kan nu fortsätta med att lösa ut

x .

4 x + 4 = - 8

SubEqn

$VL - 4 = HL - 4$

4 x + 4 - 4 = - 8 - 4

SimpTerms

Förenkla termer

4 x = - 12

DivEqn

$VL / 4 = HL / 4$

\frac{4 x}{4} = \frac{- 1 2}{4}

CalcQuot

Beräkna kvot

x = - 3

Ekvationen har alltså roten

- 3 .

Exempel

Lös ekvationen

\frac{x}{3} + \frac{7}{1 5} = \frac{3}{5} .

Svara med ett bråk.

Ledtråd

Använd balansmetoden.

Lösning

Vi börjar med att subtrahera

\frac{7}{1 5}

från båda led och förenklar därefter differensen i högerledet.

\frac{x}{3} + \frac{7}{1 5} = \frac{3}{5}

SubEqn

$VL - \frac{7}{1 5} = HL - \frac{7}{1 5}$

\frac{x}{3} = \frac{3}{5} - \frac{7}{1 5}

ExpandFrac

Förläng med $3$

\frac{x}{3} = \frac{9}{1 5} - \frac{7}{1 5}

SubFrac

Subtrahera bråk

\frac{x}{3} = \frac{9 - 7}{1 5}

SubTerm

Subtrahera term

\frac{x}{3} = \frac{2}{1 5}

Nu multiplicerar vi båda led med

3

för att lösa ut

x

i täljaren.

\frac{x}{3} = \frac{2}{1 5}

MultEqn

$VL \cdot 3 = HL \cdot 3$

\frac{3 x}{3} = \frac{6}{1 5}

SimpQuot

Förenkla kvot

x = \frac{6}{1 5}

ReduceFrac

Förkorta med $3$

x = \frac{2}{5}

Ekvationens lösning är

x = \frac{2}{5} .

Exempel

Ekvation med variabeln i nämnaren

Lös ekvationen

\frac{1 6}{x - 1} = 8 .

Ledtråd

Använd balansmetoden.

Lösning

I en ekvation där variabeln sitter i nämnaren kan man skriva om ekvationen genom att multiplicera båda led med uttrycket som finns i nämnaren.

\frac{1 6}{x - 1} = 8

MultEqn

$VL \cdot (x - 1) = HL \cdot (x - 1)$

16 = 8 (x - 1)

Distr

Multiplicera in $8$

16 = 8 x - 8

AddEqn

$VL + 8 = HL + 8$

24 = 8 x

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

8 x = 24

DivEqn

$VL / 8 = HL / 8$

x = 3

Ekvationen har alltså roten

3 .

När man löser ekvationer där en variabel står i nämnaren kan man ibland få så kallade falska rötter. Vi kontrollerar detta genom att sätta in lösningen i ursprungsekvationen och förenkla. Om vänster- och högerleden är lika stora är lösningen giltig.

\frac{1 6}{x - 1} = 8

Substitute

$x = 3$

\frac{1 6}{3 - 1} = ? 8

SubTerm

Subtrahera term

\frac{1 6}{2} = ? 8

CalcQuot

Beräkna kvot

8 = 8

x = 3

är alltså en giltig lösning.

Övning

Lös ekvationer

Lös ekvationerna genom att använda balansmetoden. Om det behövs, avrunda svaret till två decimaler.

Avslut

Sammanfattning

Denna lektion gick igenom ekvationer och hur man löser dem. En ekvation består av två uttryck som är relaterade till varandra med hjälp av ett likhetstecken.

3 x - 4 = 2 x + 6

Ekvationer kan innehålla variabler eller inte. När de gör det innebär att lösa en ekvation att hitta värdet på den eller de variabler som gör att ekvationen blir ett sant påstående. Variabler representeras vanligtvis med bokstäver. Följande är de vanligaste exemplen.

a b c m n t u v w x y z

Ett sätt att lösa ekvationer är genom att använda balansmetoden, som består av att utföra operationer på båda sidor av ekvationen med målet att isolera variabeln.

3 x - 4 = 2 x + 6

AddEqn

$VL + 4 = HL + 4$

3 x = 2 x + 6 + 4

SubEqn

$VL - 2 x = HL - 2 x$

3 x - 2 x = 6 + 4

AddSubTerms

Addera och subtrahera termer

x = 10

Ibland kan ekvationer inte lösas med balansmetoden, och då krävs andra metoder. En sådan metod är inspektionsmetoden. Genom att titta på en ekvation och dra insikter från den kan man göra en gissning.

\frac{8}{x - 1} = 8

Observera att täljaren i bråket är samma tal som ekvationens högra sida. Detta innebär att nämnaren i bråket måste vara lika med

1 .

x - 1 x = 1 ⇕ = 2

Notera att efter att inspektionsmetoden användes, användes även balansmetoden. Mer komplexa ekvationer kräver vanligtvis mer komplexa metoder för att lösa dem. Denna lektion täckte bara grunderna!

Laddar innehåll

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Extra

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning