body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 1a Visa detaljer

Innehållsförteckning

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

( Ma 1a , Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel 3

Ekvationer

En ekvation är en likhet mellan två algebraiska uttryck där det finns minst en okänd variabel. Att lösa en ekvation innebär att hitta de värden som gör att likheten stämmer, dessa värden kallas rötter. Det finns olika metoder för att lösa ekvationer, som balansmetoden och inspektionsmetoden. Balansmetoden innebär att man gör likadana ändringar i ekvationens vänster- och högerled tills man får variabeln ensam i det ena eller det andra ledet. Inspektionsmetoden kan användas när vänster- och högerledet har samma struktur, vilket gör att man kan lösa en enklare ekvation istället. Efter att man löst en ekvation kan det vara bra att pröva sin lösning för att vara säker på att man har räknat rätt.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	11 sidor teori
	48 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Ekvationer

Sida av 11

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Ekvation
Ekvationlösning
Balansmetoden
Inspektionsmetoden

Teori

Ekvation

En ekvation är ett matematiskt påstående där uttrycken på båda sidor om likhetstecknet är lika mycket värda. De två sidorna kallas för ekvationens led: vänstra sidan kallas vänsterled och högra sidan kallas högerled.

2 x + 5 = 7 x - 4 v \ddot{a} nsterled ↓ h \ddot{o} gerled likhetstecken

Uttrycken i båda leden innehåller ofta ett eller flera obekanta tal, som brukar skrivas med bokstäver som $x,$ $y,$ $z,$ $a,$ $b$ och så vidare. Dessa bokstäver kallas för variabler i algebraiska uttryck, men i en ekvation har de obekanta talen ett bestämt värde — det är just det värdet vi vill ta reda på. Några exempel på olika ekvationer visas nedan.

Ekvationer med noll, en, två obekanta tal

Att lösa en ekvation betyder att man tar reda på vilket eller vilka värden de obekanta talen måste ha för att ekvationen ska stämma. I vissa fall kan det finnas flera olika värden som gör ekvationen sann.

Teori

Ekvationslösning

En lösning till en ekvation är det värde som det obekanta talet måste ha för att ekvationen ska stämma. Det betyder att båda sidor blir lika när vi sätter in lösningen i ekvationen. Titta på följande ekvation:

x + 1 = 4

Den här ekvationen har lösningen $x = 3,$ eftersom $3$ är det enda värdet på $x$ som gör att båda sidor blir lika. Det betyder att vänsterledet och högerledet är lika när vi byter ut det obekanta talet mot $3 .$

x + 1 = 4

Substitute

$x = 3$

3 + 1 = ? 4

AddTerms

Addera termer

4 = 4 ✓

Om man sätter in värden som inte är lösningar i ekvationen, blir högerledet inte lika med vänsterledet. Då använder man tecknet $\neq =,$ som betyder skilt från, eller inte lika med. Titta vad som händer om vi sätter in $x = 1$ i ekvationen.

x + 1 = 4

Substitute

$x = 1$

1 + 1 = ? 4

AddTerms

Addera termer

2 \neq = 4 \times

Alltså är

x = 1

inte en lösning till ekvationen.

Vissa ekvationer går inte att lösa – det finns helt enkelt inget värde som gör att båda sidor blir lika. Titta på följande exempel:

x = x + 1

Ett tal kan aldrig vara lika med sig självt plus $1$ — det är omöjligt. Därför har den här ekvationen ingen lösning. Men en ekvation kan också ha flera lösningar, eller till och med oändligt många lösningar. Det betyder att alla värden på det obekanta talet gör att båda sidor blir lika.

x + x = 2 x

Den här ekvationen är sann för alla värden på $x,$ eftersom uttrycket i vänsterled och högerled kan förenklas till samma sak.

x + x = 2 x ⟺ 2 x = 2 x

Extra

Ersättningsmängd

Ibland utgår man från en ersättningsmängd — en lista med möjliga lösningar — för att hitta vilka värden som faktiskt löser en ekvation. Man provar då att sätta in varje värde i ekvationen och ser om det stämmer. Titta på följande ekvation och dess ersättningsmängd:

Ekvation : Ers \ddot{a} ttningsm \ddot{a} ngd : x - 5 = 3 {5, 6, 7, 8}

I tabellen nedan provar vi att sätta in varje värde i ekvationen och ser om den stämmer.

$x$	Ersätta	Är båda sidor lika?
$5$	$5 - 5 = ? 3$	$0 \neq = 3 \times$
$6$	$6 - 5 = ? 3$	$1 \neq = 3 \times$
$7$	$7 - 5 = ? 3$	$2 \neq = 3 \times$
$8$	$8 - 5 = ? 3$	$3 = 3 ✓$

Som vi såg i tabellen är $3$ den enda lösningen till ekvationen.

Teori

Balansmetoden

En vanlig metod för att lösa ekvationer är balansmetoden. Den går ut på att man gör samma sak på båda sidor av ekvationen, så att balansen mellan vänsterled och högerled behålls. Titta på ekvationen nedan:

2 x - 4 = 10

I den här ekvationen kan vi ta bort subtraktionen i vänsterledet genom att addera $4$ i båda led.

2 x - 4 = 10

AddEqn

$VL + 4 = HL + 4$

2 x - 4 + 4 = 10 + 4

Förenkla vänsterled

2 x - 4 + 4 = 10 + 4

AddTerms

Addera termer

2 x = 14

Nästa steg är att dividera båda leden i ekvationen med $2,$ så att multiplikation med $2$ försvinner och $x$ blir ensamt.

2 x = 14

DivEqn

$VL / 2 = HL / 2$

\frac{2 x}{2} = \frac{1 4}{2}

CancelCommonFac

Förkorta

\frac{2 x}{2} = \frac{1 4}{2}

SimpQuot

Förenkla kvot

x = \frac{1 4}{2}

CalcQuot

Beräkna kvot

x = 7

Som vi har sett används de fyra räknesätten för att få det obekanta talet ensamt på ena sidan av ekvationen. Addition och subtraktion tar ut varandra, precis som multiplikation och division gör.

Addition Multiplikation ⇆ Subtraktion ⇆ Division

Teori

Inspektionsmetoden

Vissa ekvationer där vänster- och högerledet har samma struktur går att lösa med inspektionsmetoden. Det är en metod som kan göra uppgifter som är svåra att lösa med balansmetoden mycket enklare, men det är inte alltid den går att använda. För att det ska gå måste de två leden vara tillräckligt lika, exempelvis som i ekvationen

3^{x - 5} + 7 = 3^{2} + 7 .

I det här fallet är vänster- och högerledet identiska så när som på exponenten till trean. För att likheten ska gälla måste det som står i exponenterna vara lika, så det går lika bra att lösa den enklare ekvationen

x - 5 = 2 .

Namnet på metoden kommer från att man inspekterar de två leden och ser om det finns några likheter. Ibland kan det dock behövas några omskrivningar för att vänster- och högerledet faktiskt ska se så pass lika ut att inspektionsmetoden kan användas.

Exempel

Ställ upp en ekvation

Ida har köpt

8

bullar som hon och kollegan Hugo äter upp under en eftermiddag. Hugo är hungrig så han äter tre gånger så många bullar som Ida. Ställ upp en ekvation som beskriver antalet bullar som Hugo och Ida åt.

Ledtråd

Använd en variabel för att representera hur många kakor Ida åt. Hur många kakor åt Hugo? Summan av dessa uttryck ska vara lika med $8 .$

Lösning

Vi kallar antalet bullar som Ida åt för

x .

Hugo åt

3

gånger fler, vilket kan uttryckas som

3 x .

Tillsammans åt de alltså

x + 3 x

bullar. Eftersom de tillsammans åt alla bullarna ska summan vara lika med

8 .

Vi får då ekvationen

x + 3 x = 8 .

Exempel

Pröva en ekvations lösning

Albin har löst ekvationen

4 (x + 5) = 32

och fått roten

x = 3 .

Pröva lösningen och avgör om han har löst ekvationen korrekt.

Ledtråd

Ersätt Albins lösning i ekvationen. Fås ett sant påstående?

Lösning

För att kontrollera lösningen sätter man in

x = 3

i ursprungsekvationen och förenklar. Om likheten stämmer är roten korrekt!

4 (x + 5) = 32

Substitute

$x = 3$

4 (3 + 5) = ? 32

AddTerms

Addera termer

4 \cdot 8 = ? 32

Multiply

Multiplicera faktorer

32 = 32 ✓

Likheten är uppfylld, så

x = 3

är en giltig rot. Albin har löst ekvationen rätt!

Exempel

Ekvation med variabel i båda led

Lös ekvationen

8 x + 4 = 4 x - 8 .

Ledtråd

Använd balansmetoden.

Lösning

I den här ekvationen finns det termer med

x

både i vänster- och högerledet. Då måste man börja med att flytta över dem till samma sida och förenkla så att det bara finns en variabelterm kvar. Vi börjar med att subtrahera

4 x

på båda sidor för att bli av med den termen i högerledet.

8 x + 4 = 4 x - 8

SubEqn

$VL - 4 x = HL - 4 x$

8 x + 4 - 4 x = 4 x - 8 - 4 x

SimpTerms

Förenkla termer

4 x + 4 = - 8

Nu finns det bara en

x -

term kvar i ekvationen och vi kan nu fortsätta med att lösa ut

x .

4 x + 4 = - 8

SubEqn

$VL - 4 = HL - 4$

4 x + 4 - 4 = - 8 - 4

SimpTerms

Förenkla termer

4 x = - 12

DivEqn

$VL / 4 = HL / 4$

\frac{4 x}{4} = \frac{- 1 2}{4}

CalcQuot

Beräkna kvot

x = - 3

Ekvationen har alltså roten

- 3 .

Exempel

Lös ekvationen

\frac{x}{3} + \frac{7}{1 5} = \frac{3}{5} .

Svara med ett bråk.

Ledtråd

Använd balansmetoden.

Lösning

Vi börjar med att subtrahera

\frac{7}{1 5}

från båda led och förenklar därefter differensen i högerledet.

\frac{x}{3} + \frac{7}{1 5} = \frac{3}{5}

SubEqn

$VL - \frac{7}{1 5} = HL - \frac{7}{1 5}$

\frac{x}{3} = \frac{3}{5} - \frac{7}{1 5}

ExpandFrac

Förläng med $3$

\frac{x}{3} = \frac{9}{1 5} - \frac{7}{1 5}

SubFrac

Subtrahera bråk

\frac{x}{3} = \frac{9 - 7}{1 5}

SubTerm

Subtrahera term

\frac{x}{3} = \frac{2}{1 5}

Nu multiplicerar vi båda led med

3

för att lösa ut

x

i täljaren.

\frac{x}{3} = \frac{2}{1 5}

MultEqn

$VL \cdot 3 = HL \cdot 3$

\frac{3 x}{3} = \frac{6}{1 5}

SimpQuot

Förenkla kvot

x = \frac{6}{1 5}

ReduceFrac

Förkorta med $3$

x = \frac{2}{5}

Ekvationens lösning är

x = \frac{2}{5} .

Exempel

Ekvation med variabeln i nämnaren

Lös ekvationen

\frac{1 6}{x - 1} = 8 .

Ledtråd

Använd balansmetoden.

Lösning

I en ekvation där variabeln sitter i nämnaren kan man skriva om ekvationen genom att multiplicera båda led med uttrycket som finns i nämnaren.

\frac{1 6}{x - 1} = 8

MultEqn

$VL \cdot (x - 1) = HL \cdot (x - 1)$

16 = 8 (x - 1)

Distr

Multiplicera in $8$

16 = 8 x - 8

AddEqn

$VL + 8 = HL + 8$

24 = 8 x

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

8 x = 24

DivEqn

$VL / 8 = HL / 8$

x = 3

Ekvationen har alltså roten

3 .

När man löser ekvationer där en variabel står i nämnaren kan man ibland få så kallade falska rötter. Vi kontrollerar detta genom att sätta in lösningen i ursprungsekvationen och förenkla. Om vänster- och högerleden är lika stora är lösningen giltig.