Ekvationer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

En ekvation är en likhet mellan två algebraiska uttryck där det finns minst en okänd variabel. Ett exempel på en ekvation är x+2=10, x + 2 = 10, där man satt ett likhetstecken mellan de två uttrycken x+2x + 2 och 10.10. Uttrycket som står till vänster kallas vänsterled (VL) och det som står till höger kallas högerled (HL). De värden som löser ekvationen, alltså de tal man kan sätta in istället för variabeln som gör att likheten stämmer, kallas rötter. Roten till exemplet ovan är x=8,x = 8, eftersom 8+2=10, {\color{#0000FF}{8}} + 2 = 10,

vilket gör att både vänster- och högerledet är 10.10. Det finns många olika metoder för att lösa ekvationer, t.ex. balansmetoden och inspektionsmetoden.
Uppgift

Maria har köpt 88 bullar som hon och kollegan Henrik äter upp under en eftermiddag. Henrik är hungrig så han äter tre gånger så många bullar som Maria. Ställ upp en ekvation som beskriver antalet bullar som Henrik och Maria åt.

Visa lösning Visa lösning
Metod

Balansmetoden

När man löser ekvationer med balansmetoden gör man likadana ändringar i ekvationens vänster- och högerled tills man får variabeln ensam i det ena eller det andra ledet. Eftersom man alltid gör samma sak i båda led, t.ex. lägger till 77 eller delar med 2,2, håller man balansen mellan dem, vilket ger metoden dess namn. Om man exempelvis ska lösa ekvationen x+2=10 x + 2 = 10 vill man få variabeln xx ensam i vänsterledet. För att bli av med tvåan som finns där använder man motsatt räknesätt, alltså subtraktion, och drar bort 2.2. Detta måste göras på båda sidor av likhetstecknet för att bibehålla likheten. Då får man x+22=102. x + 2 - 2 = 10 - 2. Tvåorna i vänsterledet tar ut varandra och högerledet kan förenklas till 8.8. Ekvationen är då löst eftersom variabeln xx nu står ensam i vänsterledet: x=8. x = 8. På samma sätt adderar man tal på båda sidor av en ekvation för att bli av med något negativt. Multiplikation och division är också motsatta räknesätt, så om man har en variabel som är multiplicerad eller dividerad med något kan man använda motsatsen för att frigöra variabeln.

Balansmetoden rules.svg
När man löser mer komplicerade ekvationer måste man oftast använda flera räknesätt. Då flyttar man systematiskt över saker mellan leden och arbetar sig in mot variabeln. För vissa ändringar, t.ex. kvadrering, måste man vara försiktig, även om man gör samma ändringar i båda led, eftersom de kan ge upphov till falska eller borttappade rötter.
Uppgift

Lös ekvationen 8x+4=4x8.8x+4=4x-8.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Lös ekvationen x3+715=35.\dfrac{x}{3} + \dfrac{7}{15} = \dfrac{3}{5}. Svara med ett bråk.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Inspektionsmetoden

Vissa ekvationer där vänster- och högerledet har samma struktur går att lösa med inspektionsmetoden. Det är en metod som kan göra uppgifter som är svåra att lösa med balansmetoden mycket enklare, men det är inte alltid den går att använda. För att det ska gå måste de två leden vara tillräckligt lika, exempelvis som i ekvationen 3x5+7=32+7. 3^{x-5} + 7 = 3^{2} + 7. I det här fallet är vänster- och högerledet identiska så när som på exponenten till trean. För att likheten ska gälla måste det som står i exponenterna vara lika, så det går lika bra att lösa den enklare ekvationen x5=2. x - 5 = 2.

Namnet på metoden kommer från att man "inspekterar" de två leden och ser om det finns några likheter. Ibland kan det dock behövas några omskrivningar för att vänster- och högerledet faktiskt ska se så pass lika ut att inspektionsmetoden kan användas.
Begrepp

Prövning av rot

När man löst en ekvation kan det vara bra att pröva sin lösning för att vara säker på att man har räknat rätt. Det innebär att man ersätter variabeln i den ursprungliga ekvationen med lösningen och beräknar värdet av båda leden. Har ekvationen lösts korrekt ska vänster- och högerled bli lika stora, dvs. VL=HL.\text{VL}=\text{HL}. Nedan prövas en korrekt och en felaktig rot till ekvationen x=163x.x=16-3x. x=163xx=163x3=?16334=?16343=?1694=?1612374=4\begin{aligned} &x=16-3x \qquad && x=16-3x\\ &{\color{#0000FF}{3}}\stackrel{?}{=}16-3\cdot {\color{#0000FF}{3}} \qquad && {\color{#0000FF}{4}}\stackrel{?}{=}16-3\cdot {\color{#0000FF}{4}}\\ &3\stackrel{?}{=}16-9 \qquad && 4\stackrel{?}{=}16-12\\ &3\neq 7 \qquad && 4\stackrel{{\color{#009600}{\checkmark}}}{=}4 \end{aligned}

Blir höger- och vänsterled olika är det dock inte säkert att man har räknat fel. När man löser vissa typer av ekvationer, t.ex. rotekvationer, kan man få falska rötter. Att pröva sina lösningar är därför extra viktigt när man löser sådana ekvationer.
Uppgift
Uri har löst ekvationen 4(x+5)=324(x+5)=32 och fått roten x=3.x=3. Pröva lösningen och avgör om han har löst ekvationen korrekt.
Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Lös ekvationen 16x1=8.\dfrac{16}{x-1}=8.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Man har ekvationen 3x7=16+x. 3x - 7 = 16 + x.

a

Beräkna värdet av ekvationens vänsterled när x=12.x = 12.

b

Beräkna värdet av ekvationens högerled när x=12x=12

c

Är x=12x = 12 en lösning till ekvationen?

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa genom prövning att x=3x = 3 är en lösning till ekvationen 17+5x=474x3. 17 + 5x = 47 - 4x - 3.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.


a

x10=27x - 10 = 27

b

5y=205y = 20

c

z3=7\dfrac{z}{3} = 7

d

2x+6=52x + 6 = 5

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.


a

15x=25\dfrac{15}{x} = 25

b

182x=6\dfrac{18}{2x} = 6

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.


a

8x3=218x - 3 = 21

b

-7+4x=29\text{-}7 + 4x = 29

c

-36=-5y+9\text{-}36 = \text{-}5y +9

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Är x=6x = 6 en lösning till ekvationen?


a

2x7=-1+x2x - 7 = \text{-}1 + x

b

4x8+9=7+12x\dfrac{4x}{8} + 9 = 7 + \dfrac{12}{x}

c

5x2x34=x23x18\dfrac{5x - 2x}{3} - 4 = \dfrac{x}{2} - \dfrac{3x}{18}

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En rektangel har sidorna x respektive och x + 7.7.

Ekvationer exercise 164.svg


a

Skriv ett matematiskt uttryck för rektangelns omkrets.

b

Rektangelns omkrets är 66.66. Hur långa är sidorna?

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.


a

3x+7=193x + 7 = 19

b

x410=3\dfrac{x}{4} - 10 = 3

c

1.7x6=1641.7x - 6 = 164

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande ekvationer med balansmetoden.

a

2x+4=362x2x+4=36-2x

b

-5y+6=-3y1\text{-}5y+6=\text{-}3y-1

c

34x=x21+7x3-4x=x-21+7x

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.


a

3x+6=243x+6 = 24

b

y29=1\dfrac{y}{2}-9 = 1

1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Lös ekvationen 5x9=8x3+5.5x-9=\dfrac{8x}{3}+5.

b

Lös ekvationen 3x2+8=x10.\dfrac{3x}{2}+8=x-10.

c

Pröva lösningarna.

1.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen 15.8=2x7.2.15.8=2x-7.2. Redovisa din lösning.

Nationella provet HT16 1a
1.13
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande ekvationer med inspektionsmetoden.

a

12x=12312^x = 12^3

b

4x7=424^{x-7} = 4^2

c

5910=592x5\cdot9^{10}=5\cdot9^{2x}

1.14
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Leo arbetade 2.52.5 timmar och tjänade 180180 kr. Hur mycket skulle han tjäna på 4.54.5 timmar med samma timlön?

Nationella provet VT12 1a
1.15
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen 7(x3)=49.7(x-3)=49.

Nationella provet VT05 MaA
1.16
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilket av följande tal är en lösning till ekvationen x2+x12=0?x^2+x-12=0? -4-2024. \text{-} 4 \qquad \text{-} 2 \qquad 0\qquad 2 \qquad 4.

Nationella provet VT05 MaA (anpassad text)
1.17
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du vet att 3x+4y=27.3x+4y=27. Hur mycket är då 6x+8y?6x+8y?

Nationella provet VT02 MaA
1.18
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen x0.20.1=1.\dfrac{x-0.2}{0.1}=1.

Nationella provet VT02 MaA
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna med balansmetoden.


a

3(2x+6)4=12\dfrac{3(2x+6)}{4} = 12

b

32x+4=9\dfrac{3}{2x} + 4 = 9

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.


a

4(x3)+2=104(x - 3) + 2 = 10

b

2x+7=-4+3(8+5x)2x + 7 = \text{-} 4 + 3(8 + 5x)

c

5+2(-7+x)=-6(-x+8)5 + 2(\text{-} 7 + x) = \text{-} 6 - (\text{-} x + 8)

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen 9x+102=103.9x+10^2=10^3.

Nationella provet VT12 1b/1c
2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En tennisracket och ett paket tennisbollar kostar tillsammans 1500 kr. Tennisracketen kostar 1400 kr mer än tennisbollarna. Bestäm hur mycket ett paket bollar och en tennisracket kostar var för sig.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Erik tänker på ett tal. Han adderar 1 till talet och dividerar sedan summan med 2. Kvoten multiplicerar han med 3 och denna produkt drar han slutligen bort 4 från. Värdet på hela uttrycket blev då 5. Vilket tal var det Erik tänkte på?

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna och svara exakt.


a

x3+12=16\dfrac{x}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}

b

13+3x4=76\dfrac{1}{3} + \dfrac{3x}{4} = \dfrac{7}{6}

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös följande ekvationer med inspektionsmetoden.

a

(2+3)x=515(2 + 3)^x = 5^{15}

b

8158=x78^{15-8} = x^7

c

10x=(25)4110^{x}=(2\cdot5)^{4-1}

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En löpare springer i ett löpspår. Efter ett tag har motionären sprungit 14\frac{1}{4} av hela spåret. Efter att ha sprungit ytterligare 1 kilometer har motionären klarat av 13\frac{1}{3} av den totala sträckan. Hur lång är hela spåret runt parken? Lös uppgiften med hjälp av en ekvation.

2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Märtha, som är kassör i föreningen "Glada pensionärer", vet att det finns mynt till ett värde av 166 kr i föreningens kaffekassa. En dag ska föreningen anordna lottskrapning, och de behöver då mynt att låna ut till deltagarna. Märtha vet att det finns dubbelt så många enkronor som femkronor i kassan, och att antalet tiokronor är 5 färre än antalet enkronor. Hur många mynt finns det att låna ut till de glada lottskraparna?

2.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen och svara exakt. 13+2x29=7. \dfrac{1}{3} + 2x - \dfrac{2}{9} = 7.

2.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Fyra på varandra följande jämna tal har summan 108108. Vilket är nästa jämna tal?

2.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna. Svara exakt.


a

100x20=-80x+160100x-20=\text{-} 80x+160

b

100x+3x2=-80x+3x2+20100x+3x^2=\text{-} 80x+3x^2+20

c

100x=80x100x=80x

2.13
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Pär tar med sig lite småkakor till en filmkväll hos en av sina vänner. Han ställer kakorna på köksbordet och tar ett telefonsamtal ute i hallen. När Pär kommer tillbaka ser han att det bara är 6 kakor kvar. Det kommer snart fram att:

  • Olle tog 12\frac{1}{2} av kakorna.
  • Efter Olle tog hälften av kakorna tog Johan 13\frac{1}{3} av det som var kvar.
  • Slutligen tog Lars 2 kakor.

Hur många kakor hade Pär med sig?

2.14
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Man vet att a+b+8=50a + b + 8 = 50. Vad är aa och bb om man också vet att bb är dubbelt så stor som a?a?

2.15
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Anders har under en helg läst fyra sjundedelar av en bok.


a

Han räknar ut att han läst 80 sidor mer än vad som är kvar av boken. Hur lång är boken?

b

Hur många sidor läste han per minut om han läste sex timmar på lördagen och fyra timmar på söndagen?

2.16
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du dividerar ett bråk med 16\frac 1 6 och får kvoten 5170\frac{51}{70}. Vad får du för kvot om du istället delar bråket med 56\frac{5}{6}?

2.17
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

På en fest är 100100 personer uppskrivna på gästlistan varav 55 är VIP, dvs. 5%.5\,\%. Hur många ska stå på gästlistan om antalet VIP-gäster är oförändrat men utgör 10%10\,\% av de inbjudna?

2.18
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen 3x+142x+33=2.\dfrac{3x+1}{4}-\dfrac{2x+3}{3}=2. Redovisa din lösning.

Nationella provet HT16 1c
2.19
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen 0.3x0.5=1.\dfrac{0.3}{x-0.5}=1.

Nationella provet VT10 MaA
2.20
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv text till en uppgift som kan lösas med hjälp av ekvationen x+(x+5)=25.x+(x+5)=25.

Nationella provet VT02 MaA
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En flaska diskmedel väger 1.5 kg när den är full. När halva flaskan är fylld väger den endast 785 gram. Hur mycket väger den tomma flaskan i gram?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.


a

3(2x8)(x+1)x5=0\dfrac{3(2x-8)-(x+1)}{x-5}=0

b

x+14=22x88+520\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{22x}{88}+\dfrac{5}{20}

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Marie säger till Isaac: "För 1818 år sedan var jag tre gånger så gammal som du. Nu är jag dubbelt så gammal." Hur gamla är Marie och Isaac?

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I ett kortspel vinner du 23 kr om du drar ett klätt kort men måste betala 4 kr om du drar ett icke-klätt kort. Kan du vinna 168 kr efter att 12 kort dragits?


a

Lös uppgiften genom att prova dig fram.

b

Lös uppgiften med en ekvation.

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna med inspektionsmetoden.


a

x(x2)=0x(x-2)=0

b

3x29x=03x^2-9x=0

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren nedan syns tre legobitar. Den blå legobiten ska fästas ovanpå den gröna och röda legobiten.

Exercise898 1.svg

Hur stort ska avståndet mellan två pluppar vara om de ska passa och du vet att en plupps radie är 0.25 cm?

Exercise898 2.svg
3.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En flaska är fylld till 13\frac{1}{3} med vatten och väger då 410410 gram. När 25\frac{2}{5} av flaskan är fylld väger den 417417 gram. Hur mycket väger flaskan utan vatten?

3.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förhållandet mellan två tal är 3:73:7. Vilka är talen om summan av dem blir 200?200?

3.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen 3x9x3+2=5. \dfrac{3x - 9}{x - 3} + 2 = 5.

3.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilken eller vilka av följande ekvationer saknar lösning? Ringa in ditt svar.

Ekvationer
Nationella provet VT12 1a
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}