{{ option.label }} add
menu_book {{ printedBook.name}}
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
Algebra

Ekvationer

{{ 'ml-article-collection-answers-hints-solutions' | message }}
tune
{{ topic.label }}
{{tool}}
{{ result.displayTitle }}
{{ result.subject.displayTitle }}
navigate_next

Kanaler

Direktmeddelanden


Videolektion

Mathleaks

play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

En ekvation är en likhet mellan två algebraiska uttryck där det finns minst en okänd variabel. Ett exempel på en ekvation är
x+2=10,
där man satt ett likhetstecken mellan de två uttrycken x+2 och 10. Uttrycket som står till vänster kallas vänsterled (VL) och det som står till höger kallas högerled (HL). De värden som löser ekvationen, alltså de tal man kan sätta in istället för variabeln som gör att likheten stämmer, kallas rötter. Roten till exemplet ovan är x=8, eftersom
8+2=10,
vilket gör att både vänster- och högerledet är 10. Det finns många olika metoder för att lösa ekvationer, t.ex. balansmetoden och inspektionsmetoden.

Exempel

Ställ upp en ekvation

fullscreen

Maria har köpt 8 bullar som hon och kollegan Henrik äter upp under en eftermiddag. Henrik är hungrig så han äter tre gånger så många bullar som Maria. Ställ upp en ekvation som beskriver antalet bullar som Henrik och Maria åt.

Visa Lösning expand_more
Vi kallar antalet bullar som Maria åt för x. Henrik åt 3 gånger fler, vilket kan uttryckas som 3x. Tillsammans åt de alltså x+3x bullar. Eftersom de tillsammans åt alla bullarna ska summan vara lika med 8. Vi får då ekvationen
x+3x=8.

Metod

Balansmetoden

När man löser ekvationer med balansmetoden gör man likadana ändringar i ekvationens vänster- och högerled tills man får variabeln ensam i det ena eller det andra ledet. Eftersom man alltid gör samma sak i båda led, t.ex. lägger till 7 eller delar med 2, håller man balansen mellan dem, vilket ger metoden dess namn. Om man exempelvis ska lösa ekvationen
x+2=10
vill man få variabeln x ensam i vänsterledet. För att bli av med tvåan som finns där använder man motsatt räknesätt, alltså subtraktion, och drar bort 2. Detta måste göras på båda sidor av likhetstecknet för att bibehålla likheten. Då får man
x+22=102.
Tvåorna i vänsterledet tar ut varandra och högerledet kan förenklas till 8. Ekvationen är då löst eftersom variabeln x nu står ensam i vänsterledet:
x=8.
På samma sätt adderar man tal på båda sidor av en ekvation för att bli av med något negativt. Multiplikation och division är också motsatta räknesätt, så om man har en variabel som är multiplicerad eller dividerad med något kan man använda motsatsen för att frigöra variabeln.
Balansmetoden rules.svg
När man löser mer komplicerade ekvationer måste man oftast använda flera räknesätt. Då flyttar man systematiskt över saker mellan leden och arbetar sig in mot variabeln. För vissa ändringar, t.ex. kvadrering, måste man vara försiktig, även om man gör samma ändringar i båda led, eftersom de kan ge upphov till falska eller borttappade rötter.

Exempel

Ekvation med variabel i båda led

fullscreen

Lös ekvationen 8x+4=4x8.

Visa Lösning expand_more
I den här ekvationen finns det termer med x både i vänster- och högerledet. Då måste man börja med att flytta över dem till samma sida och förenkla så att det bara finns en variabelterm kvar. Vi börjar med att subtrahera 4x på båda sidor för att bli av med den termen i högerledet.
8x+4=4x8
8x+44x=4x84x
4x+4=-8
Nu finns det bara en x-term kvar i ekvationen och vi kan nu fortsätta med att lösa ut x.
4x+4=-8
4x+44=-84
4x=-12
x=-3
Ekvationen har alltså roten -3.

Exempel

Lös ekvationen

fullscreen

Lös ekvationen Svara med ett bråk.

Visa Lösning expand_more
Vi börjar med att subtrahera från båda led och förenklar därefter differensen i högerledet.
Nu multiplicerar vi båda led med 3 för att lösa ut x i täljaren.
Ekvationens lösning är

Begrepp

Inspektionsmetoden

Vissa ekvationer där vänster- och högerledet har samma struktur går att lösa med inspektionsmetoden. Det är en metod som kan göra uppgifter som är svåra att lösa med balansmetoden mycket enklare, men det är inte alltid den går att använda. För att det ska gå måste de två leden vara tillräckligt lika, exempelvis som i ekvationen
I det här fallet är vänster- och högerledet identiska så när som på exponenten till trean. För att likheten ska gälla måste det som står i exponenterna vara lika, så det går lika bra att lösa den enklare ekvationen
x5=2.
Namnet på metoden kommer från att man "inspekterar" de två leden och ser om det finns några likheter. Ibland kan det dock behövas några omskrivningar för att vänster- och högerledet faktiskt ska se så pass lika ut att inspektionsmetoden kan användas.

Begrepp

Prövning av rot

När man löst en ekvation kan det vara bra att pröva sin lösning för att vara säker på att man har räknat rätt. Det innebär att man ersätter variabeln i den ursprungliga ekvationen med lösningen och beräknar värdet av båda leden. Har ekvationen lösts korrekt ska vänster- och högerled bli lika stora, dvs. VL=HL. Nedan prövas en korrekt och en felaktig rot till ekvationen x=163x.
Blir höger- och vänsterled olika är det dock inte säkert att man har räknat fel. När man löser vissa typer av ekvationer, t.ex. rotekvationer, kan man få falska rötter. Att pröva sina lösningar är därför extra viktigt när man löser sådana ekvationer.

Exempel

Pröva en ekvations lösning

fullscreen
Uri har löst ekvationen 4(x+5)=32 och fått roten x=3. Pröva lösningen och avgör om han har löst ekvationen korrekt.
Visa Lösning expand_more
För att kontrollera lösningen sätter man in x=3 i ursprungsekvationen och förenklar. Om likheten stämmer är roten korrekt!
4(x+5)=32
32=32

Likheten är uppfylld, så x=3 är en giltig rot. Uri har löst ekvationen rätt!

Exempel

Ekvation med variabeln i nämnaren

fullscreen

Lös ekvationen

Visa Lösning expand_more
I en ekvation där variabeln sitter i nämnaren kan man skriva om ekvationen genom att multiplicera båda led med uttrycket som finns i nämnaren.
16=8(x1)
16=8x8
24=8x
8x=24
x=3
Ekvationen har alltså roten 3. När man löser ekvationer där en variabel står i nämnaren kan man ibland få så kallade falska rötter. Vi kontrollerar detta genom att sätta in lösningen i ursprungsekvationen och förenkla. Om vänster- och högerleden är lika stora är lösningen giltig.
8=8
x=3 är alltså en giltig lösning.
arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community