Area och integraler

Figurer som exempelvis trianglar, cirklar och rektanglar har areaformler, men för att bestämma arean av mer generella figurer, t.ex. den nedan, behövs andra metoder.

Då kan man använda integraler. Det är ett brett räkneverktyg som handlar om att beräkna summor och används till mycket mer än bara areaberäkningar. Idén bygger på att dela upp problemet i mindre bitar som är lättare att räkna på, och sedan lägga ihop dessa. I fallet med area delas figuren in i rektanglar.

Rektanglarnas sammanlagda area matchar inte figurens area perfekt, men ju smalare rektanglar som används desto mindre blir avvikelsen. Ett mer matematiskt sätt att säga samma sak är att figurens area är gränsvärdet av rektanglarnas summa, då deras bredd går mot $0.$

Begrepp

Uppskattning av figurens area

För att bestämma figurens area algebraiskt ställer man upp ett generellt uttryck för rektanglarnas areor. Det gör man lättast genom att placera figuren i ett koordinatsystem, med figurens bas på $x$ -axeln. Rektanglarna har olika höjd, som bestäms av någon funktion $f(x)$ , men de har alla samma bredd, kallad $\Delta x.$

Den första rektangeln står centrerad på ett $x$ -värde kallat $x_1,$ och genom att sätta in det i $f(x)$ får man det funktionsvärde som motsvarar rektangelns höjd. Eftersom bredden är döpt till $\Delta x$ kan första rektangelns area uttryckas $f(x_1) \, \Delta x.$ På samma sätt kan man uttrycka övriga rektanglars area, och genom att summera dem får man en uppskattning av figurens area: $A \approx f(x_1)\, \Delta x + f(x_2)\, \Delta x + \ldots + f(x_{n})\, \Delta x.$ Denna typ av approximation av arean under en kurva kallas Riemannsumma.

Begrepp

Figurens exakta area som integral

Ju fler rektanglar som används, desto smalare blir de, vilket gör areauppskattningen allt bättre. Rektanglarna kan aldrig täcka området perfekt, men deras area går mot figurens area då rektanglarnas bredd går mot $0$ . Figurens exakta area $A$ kan därför beskrivas som ett gränsvärde.

$A =\lim \limits_{\Delta x \to 0} \left(f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x +\ldots + f(x_n) \Delta x\right)$

Det är det här gränsvärdet man kallar integral. För att slippa skriva ut en så lång summa använder man en kortare notation.

När bredden går mot $0$ , dvs. när rektanglarna blir "oändligt tunna", brukar man skriva d $x$ istället för $\Delta x.$ Funktionen $f(x)$ som integreras kallas integrand, medan talen $a$ och $b$ kallas integrationsgränser. Dessa definierar områdets vänstra respektive högra gräns.

Ställ upp en integral

Uppgift

Ställ upp en integral som beskriver arean av det markerade området.

Lösning

En integral skrivs på formen $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x ,$ där $a$ och $b$ är integrationsgränserna och $f(x)$ är integranden, alltså funktionen som begränsar området. I det här fallet ligger området under funktionen $g(x)=8-0.5x^2$ och mellan den undre integrationsgränsen $\text{-}1$ och den övre integrationsgränsen $3.$ Integralen blir alltså $\displaystyle\int_{\text{-}1}^{3}\left(8-0.5x^2 \right) \, \text d x .$

Visa lösning

Begrepp

Integral för graf under $x$ -axeln

När en graf ligger ovanför $x$ -axeln kan integralen tolkas som arean mellan grafen och $x$ -axeln. Men gäller samma sak när grafen går under $x$ -axeln?

Sen tidigare är det klart att värdet av en integral, här kallad $I,$ definieras som gränsvärdet av en summa av rektangelareor, uttryckta som $f(x) \Delta x$ . En viktig skillnad jämfört med tidigare är dock att funktionsvärdena är negativa när grafen går under $x$ -axeln.

Detta innebär att varje term i summan kommer vara negativ och därmed även integralen. $I=\lim \limits_{\Delta x \to 0} \left({\color{#FF0000}{f(x_1)}} \Delta x + {\color{#FF0000}{f(x_2)}} \Delta x +\ldots + {\color{#FF0000}{f(x_n)}} \Delta x\right)$

En integral som beskriver ett område under

x

-axeln kommer alltså få ett negativt värde. Områdets area däremot måste vara ett positivt tal. Så för att uttrycka integralen med hjälp av områdets area måste man byta tecken på arean.

Metod

Beräkna integral med area

Integraler kan tolkas som areor och man kan använda detta för att bestämma värdet av en integral, t.ex. $\int_0^9 f(x)\,\text dx.$ Grafen till $f(x)$ visas i figuren.

1

Identifiera de områden som integralen beskriver

Man börjar med att markera det eller de områden mellan grafen och $x$ -axeln som definieras av integralen. I detta fall ska integralen beräknas mellan $x$ -värdena $0$ och $9,$ vilket motsvarar följande två områden.

2

Beräkna totala arean av områdena över respektive under

x

-axeln

Nu beräknar man arean av det eller de områden som markerats. Här är områdena rätvinkliga trianglar, så arean beräknas genom att man multiplicerar kateterna och dividerar med $2.$ Den gröna triangeln har sidorna $5$ och $2.5,$ så arean över $x$ -axeln blir $A_1=\dfrac{5\cdot 2.5}{2}=6.25.$ Den röda triangeln har istället sidorna $4$ och $2,$ så arean under $x$ -axeln blir $A_2=\dfrac{4\cdot2}{2}=4.$

3

Bestäm integralens värde

Värdet på integralen bestäms på olika sätt beroende på om den beskriver ett eller flera områden.

Om integralen beskriver ett område kommer arean på detta motsvara integralens värde. Kom ihåg att värdet är negativt om området ligger under $x$ -axeln.
Om integralen beskriver flera områden får man subtrahera de områden som ligger under $x$ -axeln från de som ligger ovanför. I detta fall subtraherar man alltså den röda arean från den gröna:

$\displaystyle\int_{0}^{9}f(x) \, \text d x =6.25-4=2.25.$ Detta ger att integralens värde är $2.25.$

Area och integraler

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Uppskattning av figurens area

Figurens exakta area som integral

Exempel

Ställ upp en integral

Integral för graf under $x$ -axeln

Beräkna integral med area

1

2

3

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}