Area och integraler

För att bestämma figurens area algebraiskt ställer man upp ett generellt uttryck för rektanglarnas areor. Det gör man lättast genom att placera figuren i ett koordinatsystem, med figurens bas på $x$-axeln. Rektanglarna har olika höjd, som bestäms av någon funktion $f(x)$, men de har alla samma bredd, kallad $\Delta x.$

Den första rektangeln står centrerad på ett $x$-värde kallat $x_1,$ och genom att sätta in det i $f(x)$ får man det funktionsvärde som motsvarar rektangelns höjd. Eftersom bredden är döpt till $\Delta x$ kan första rektangelns area uttryckas $f(x_1) \, \Delta x.$ På samma sätt kan man uttrycka övriga rektanglars area, och genom att summera dem får man en uppskattning av figurens area: $A \approx f(x_1)\, \Delta x + f(x_2)\, \Delta x + \ldots + f(x_{n})\, \Delta x.$ Denna typ av approximation av arean under en kurva kallas Riemannsumma.

Ju fler rektanglar som används, desto smalare blir de, vilket gör areauppskattningen allt bättre. Rektanglarna kan aldrig täcka området perfekt, men deras area går mot figurens area då rektanglarnas bredd går mot $0$. Figurens exakta area $A$ kan därför beskrivas som ett gränsvärde.

Det är det här gränsvärdet man kallar integral. För att slippa skriva ut en så lång summa använder man en kortare notation.

När bredden går mot $0$, dvs. när rektanglarna blir "oändligt tunna", brukar man skriva d$x$ istället för $\Delta x.$ Funktionen $f(x)$ som integreras kallas integrand, medan talen $a$ och $b$ kallas integrationsgränser. Dessa definierar områdets vänstra respektive högra gräns.

När en graf ligger ovanför $x$-axeln kan integralen tolkas som arean mellan grafen och $x$-axeln. Men gäller samma sak när grafen går under $x$-axeln?

Sen tidigare är det klart att värdet av en integral, här kallad $I,$ definieras som gränsvärdet av en summa av rektangelareor, uttryckta som $f(x) \Delta x$. En viktig skillnad jämfört med tidigare är dock att funktionsvärdena är negativa när grafen går under $x$-axeln.

Detta innebär att varje term i summan kommer vara negativ och därmed även integralen. $I=\lim \limits_{\Delta x \to 0} \left({\color{#FF0000}{f(x_1)}} \Delta x + {\color{#FF0000}{f(x_2)}} \Delta x +\ldots + {\color{#FF0000}{f(x_n)}} \Delta x\right)$

En integral som beskriver ett område under $x$-axeln kommer alltså få ett negativt värde. Områdets area däremot måste vara ett positivt tal. Så för att uttrycka integralen med hjälp av områdets area måste man byta tecken på arean.