Area och integraler

Para ihop integralerna, $1-3,$ med korrekt grafisk representation, $A-C.$

$\begin{aligned} &1. \quad \displaystyle\int_{0}^{2}\left(0.5x+1 \right) \, \text d x \\[1.5em] &2. \quad \displaystyle\int_{\text{-}1}^{2}\left(x+1 \right) \, \text d x \\[1.5em] &3. \quad \displaystyle\int_{0}^{2}\left(x+1 \right) \, \text d x \end{aligned}$

En integral representeras av följande markerade områden. Bestäm värdet på integralen och avrunda till tre värdesiffror om det behövs.

$\displaystyle\int_1^5 f(x)\,\text dx$

$\displaystyle\int_{\text{-}2}^3 g(x)\,\text dx$

$\displaystyle\int_{\text{-}4}^3 h(x)\,\text dx$

Följande grafer visar funktionen $f(x).$ Bestäm värdet av den integral som området representerar.

Beräkna $\displaystyle\int_{\text{-} 4}^{0}\left(x+4 \right) \, \text d x .$

Beräkna $\displaystyle\int_{\text{-}5}^{0}f(x) \, \text d x$ för $f(x)=\text{-} 0.5x-1.$

Figurerna visar graferna till tre olika funktioner. De två första funktionerna är linjära och den sista är en andragradsfunktion på formen $y=ax^2+c.$ Ställ upp integraler som beskriver områdena i figurerna.

Ställ upp en integral som beskriver arean av det markerade området.

Wilson pluggar inför ett matteprov genom att titta tillbaka på sina anteckningar. Där hittar han följande formulering:

"Man beräknar integralens värde genom att addera areorna."

Wilson funderar en stund och kommer fram till att detta påstående bara gäller ibland. Han stryker påståendet och skriver dit en formulering om integralens värde och areor som alltid stämmer. Vad kan han ha skrivit?

Utan att bestämma funktionsuttrycken för $f(x)$ och $g(x),$ ställ upp en formel för arean av det markerade området $A$ med hjälp av integraler.

Bestäm arean av område $A.$

Approximera integralen $\displaystyle\int_{0}^{4}0.25x^2 \, \text d x$ genom att dela upp området den beskriver i fyra rektanglar.

Bestäm arean av halvcirkeln i figuren, som beskrivs av $\displaystyle\int_{\text{-}1}^{3}\sqrt{\text{-} x^2+2x+3} \, \text d x .$ Svara exakt.

Ställ upp ett uttryck för arean mellan kurvan till $f(x) = x^2 - 2x - 3$ och $x$-axeln från $x=\text{-}1$ till $x=4.$

När Mario föds bestämmer sig hans mormor för att spara pengar åt honom i en burk. Mormor tänker lägga ett belopp som motsvarar kvadraten av Marios ålder multiplicerat med $100,$ varje gång han fyller år. Marios farbröder Sergio och Riccardo funderar över hur mycket pengar mormor kommer att ha i burken på Marios $6$-årsdag. Sergio säger: "Man får reda på hur mycket pengar som finns i burken genom att beräkna integralen $\displaystyle\int_{0}^{6}100x^2 \, \text d x ."$ Riccardo funderar ett tag och svarar: Nej, den ger ett för litet värde. Förklara varför integralen ovan ger ett för litet värde om man använder den för att räkna ut hur mycket pengar det finns i burken på Marios $6$-årsdag.

I koordinatsystemet har funktionen $f$ ritats. Områdena $A_1$ och $A_2$ har samma form och area.

Vilket samband ska gälla mellan $a$ och $b$ för att ekvationen $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x =0$ ska stämma, om $0\leq a\leq b\leq 6?$

När man använder staplar för att uppskatta arean under en kurva kan staplarnas höjd bestämmas på olika sätt. Om höjden bestäms av funktionens lägsta punkt över stapeln kallas det en undersumma. Om höjden bestäms av funktionens högsta punkt över stapeln kallas det en översumma.

Uppskatta $\displaystyle\int_{0}^{2}e^x \, \text d x$ med både över- och undersumma för fyra delintervall. Vilken uppskattning ligger närmast det verkliga värdet på integralen? Motivera!

Om man istället delade in området i oändligt många delintervall och beräknade under- och översumma, vilken skulle då ge bäst uppskattning på integralen? Motivera!