Area och integraler

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Den här sidan innehåller förändringar som inte är märkta för översättning.

Figurer som exempelvis trianglar, cirklar och rektanglar har areaformler, men för att bestämma arean av mer generella figurer, t.ex. den nedan, behövs andra metoder.

Då kan man använda integraler. Det är ett brett räkneverktyg som handlar om att beräkna summor och används till mycket mer än bara areaberäkningar. Idén bygger på att dela upp problemet i mindre bitar som är lättare att räkna på, och sedan lägga ihop dessa. I fallet med area delas figuren in i rektanglar.

Rektanglarnas sammanlagda area matchar inte figurens area perfekt, men ju smalare rektanglar som används desto mindre blir avvikelsen. Ett mer matematiskt sätt att säga samma sak är att figurens area är gränsvärdet av rektanglarnas summa, då deras bredd går mot 0.0.

Begrepp

Uppskattning av figurens area

För att bestämma figurens area algebraiskt ställer man upp ett generellt uttryck för rektanglarnas areor. Det gör man lättast genom att placera figuren i ett koordinatsystem, med figurens bas på xx-axeln. Rektanglarna har olika höjd, som bestäms av någon funktion f(x)f(x), men de har alla samma bredd, kallad Δx.\Delta x.

Den första rektangeln står centrerad på ett xx-värde kallat x1,x_1, och genom att sätta in det i f(x)f(x) får man det funktionsvärde som motsvarar rektangelns höjd. Eftersom bredden är döpt till Δx\Delta x kan första rektangelns area uttryckas f(x1)Δx.f(x_1) \, \Delta x. På samma sätt kan man uttrycka övriga rektanglars area, och genom att summera dem får man en uppskattning av figurens area: Af(x1)Δx+f(x2)Δx++f(xn)Δx. A \approx f(x_1)\, \Delta x + f(x_2)\, \Delta x + \ldots + f(x_{n})\, \Delta x. Denna typ av approximation av arean under en kurva kallas Riemannsumma.

Begrepp

Figurens exakta area som integral

Ju fler rektanglar som används, desto smalare blir de, vilket gör areauppskattningen allt bättre. Rektanglarna kan aldrig täcka området perfekt, men deras area går mot figurens area då rektanglarnas bredd går mot 00. Figurens exakta area AA kan därför beskrivas som ett gränsvärde.

A=limΔx0(f(x1)Δx+f(x2)Δx++f(xn)Δx)A =\lim \limits_{\Delta x \to 0} \left(f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x +\ldots + f(x_n) \Delta x\right)

Det är det här gränsvärdet man kallar integral. För att slippa skriva ut en så lång summa använder man en kortare notation.

Tolkning av integralens notation

När bredden går mot 00, dvs. när rektanglarna blir "oändligt tunna", brukar man skriva dx x istället för Δx.\Delta x. Funktionen f(x)f(x) som integreras kallas integrand, medan talen aa och bb kallas integrationsgränser. Dessa definierar områdets vänstra respektive högra gräns.

Uppgift


Ställ upp en integral som beskriver arean av det markerade området.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Integral för graf under xx-axeln

När en graf ligger ovanför xx-axeln kan integralen tolkas som arean mellan grafen och xx-axeln. Men gäller samma sak när grafen går under xx-axeln?

Sen tidigare är det klart att värdet av en integral, här kallad I,I, definieras som gränsvärdet av en summa av rektangelareor, uttryckta som f(x)Δxf(x) \Delta x. En viktig skillnad jämfört med tidigare är dock att funktionsvärdena är negativa när grafen går under xx-axeln.

Detta innebär att varje term i summan kommer vara negativ och därmed även integralen. I=limΔx0(f(x1)Δx+f(x2)Δx++f(xn)Δx) I=\lim \limits_{\Delta x \to 0} \left({\color{#FF0000}{f(x_1)}} \Delta x + {\color{#FF0000}{f(x_2)}} \Delta x +\ldots + {\color{#FF0000}{f(x_n)}} \Delta x\right)

En integral som beskriver ett område under xx-axeln kommer alltså få ett negativt värde. Områdets area däremot måste vara ett positivt tal. Så för att uttrycka integralen med hjälp av områdets area måste man byta tecken på arean.
Metod

Beräkna integral med area

Integraler kan tolkas som areor och man kan använda detta för att bestämma värdet av en integral, t.ex. 09f(x)dx. \int_0^9 f(x)\,\text dx. Grafen till f(x)f(x) visas i figuren.

Man börjar med att markera det eller de områden mellan grafen och xx-axeln som definieras av integralen. I detta fall ska integralen beräknas mellan xx-värdena 00 och 9,9, vilket motsvarar följande två områden.

Nu beräknar man arean av det eller de områden som markerats. Här är områdena rätvinkliga trianglar, så arean beräknas genom att man multiplicerar kateterna och dividerar med 2.2. Den gröna triangeln har sidorna 55 och 2.5,2.5, så arean över xx-axeln blir A1=52.52=6.25. A_1=\dfrac{5\cdot 2.5}{2}=6.25. Den röda triangeln har istället sidorna 44 och 2,2, så arean under xx-axeln blir A2=422=4. A_2=\dfrac{4\cdot2}{2}=4.

Värdet på integralen bestäms på olika sätt beroende på om den beskriver ett eller flera områden.

  • Om integralen beskriver ett område kommer arean på detta motsvara integralens värde. Kom ihåg att värdet är negativt om området ligger under xx-axeln.
  • Om integralen beskriver flera områden får man subtrahera de områden som ligger under xx-axeln från de som ligger ovanför. I detta fall subtraherar man alltså den röda arean från den gröna:

09f(x)dx=6.254=2.25. \displaystyle\int_{0}^{9}f(x) \, \text d x =6.25-4=2.25. Detta ger att integralens värde är 2.25.2.25.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Para ihop integralerna, 13,1-3, med korrekt grafisk representation, AC.A-C.

1.02(0.5x+1)dx2.-12(x+1)dx3.02(x+1)dx\begin{aligned} &1. \quad \displaystyle\int_{0}^{2}\left(0.5x+1 \right) \, \text d x \\[1.5em] &2. \quad \displaystyle\int_{\text{-}1}^{2}\left(x+1 \right) \, \text d x \\[1.5em] &3. \quad \displaystyle\int_{0}^{2}\left(x+1 \right) \, \text d x \end{aligned}

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En integral representeras av följande markerade områden. Bestäm värdet på integralen och avrunda till tre värdesiffror om det behövs.

a

15f(x)dx\displaystyle\int_1^5 f(x)\,\text dx

b

-23g(x)dx\displaystyle\int_{\text{-}2}^3 g(x)\,\text dx

c

-43h(x)dx\displaystyle\int_{\text{-}4}^3 h(x)\,\text dx

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Följande grafer visar funktionen f(x).f(x). Bestäm värdet av den integral som området representerar.

a


b


c
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna -40(x+4)dx.\displaystyle\int_{\text{-} 4}^{0}\left(x+4 \right) \, \text d x .

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna -50f(x)dx\displaystyle\int_{\text{-}5}^{0}f(x) \, \text d x för f(x)=-0.5x1.f(x)=\text{-} 0.5x-1.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figurerna visar graferna till tre olika funktioner. De två första funktionerna är linjära och den sista är en andragradsfunktion på formen y=ax2+c.y=ax^2+c. Ställ upp integraler som beskriver områdena i figurerna.

a
b
c
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ställ upp en integral som beskriver arean av det markerade området.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Wilson pluggar inför ett matteprov genom att titta tillbaka på sina anteckningar. Där hittar han följande formulering:

"Man beräknar integralens värde genom att addera areorna."

Wilson funderar en stund och kommer fram till att detta påstående bara gäller ibland. Han stryker påståendet och skriver dit en formulering om integralens värde och areor som alltid stämmer. Vad kan han ha skrivit?

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Utan att bestämma funktionsuttrycken för f(x)f(x) och g(x),g(x), ställ upp en formel för arean av det markerade området AA med hjälp av integraler.


b

Bestäm arean av område A.A.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Approximera integralen 040.25x2dx \displaystyle\int_{0}^{4}0.25x^2 \, \text d x genom att dela upp området den beskriver i fyra rektanglar.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm arean av halvcirkeln i figuren, som beskrivs av -13-x2+2x+3dx.\displaystyle\int_{\text{-}1}^{3}\sqrt{\text{-} x^2+2x+3} \, \text d x . Svara exakt.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ställ upp ett uttryck för arean mellan kurvan till f(x)=x22x3f(x) = x^2 - 2x - 3 och xx-axeln från x=-1x=\text{-}1 till x=4.x=4.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När Mario föds bestämmer sig hans mormor för att spara pengar åt honom i en burk. Mormor tänker lägga ett belopp som motsvarar kvadraten av Marios ålder multiplicerat med 100,100, varje gång han fyller år. Marios farbröder Sergio och Riccardo funderar över hur mycket pengar mormor kommer att ha i burken på Marios 66-årsdag. Sergio säger: "Man får reda på hur mycket pengar som finns i burken genom att beräkna integralen 06100x2dx." \displaystyle\int_{0}^{6}100x^2 \, \text d x ." Riccardo funderar ett tag och svarar: Nej, den ger ett för litet värde. Förklara varför integralen ovan ger ett för litet värde om man använder den för att räkna ut hur mycket pengar det finns i burken på Marios 66-årsdag.

Nationella provet HT12 3b/3c
3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet har funktionen ff ritats. Områdena A1A_1 och A2A_2 har samma form och area.

Vilket samband ska gälla mellan aa och bb för att ekvationen abf(x)dx=0 \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x =0 ska stämma, om 0ab6?0\leq a\leq b\leq 6?

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När man använder staplar för att uppskatta arean under en kurva kan staplarnas höjd bestämmas på olika sätt. Om höjden bestäms av funktionens lägsta punkt över stapeln kallas det en undersumma. Om höjden bestäms av funktionens högsta punkt över stapeln kallas det en översumma.

uppskatta integral med översumma och undersumma


a

Uppskatta 02exdx\displaystyle\int_{0}^{2}e^x \, \text d x med både över- och undersumma för fyra delintervall. Vilken uppskattning ligger närmast det verkliga värdet på integralen? Motivera!

b

Om man istället delade in området i oändligt många delintervall och beräknade under- och översumma, vilken skulle då ge bäst uppskattning på integralen? Motivera!

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }}
keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}