Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
Du måste välja en bok innan du kan söka på sidnummer
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Integral

Begrepp

Uppskattning av figurens area

För att bestämma figurens area algebraiskt ställer man upp ett generellt uttryck för rektanglarnas areor. Det gör man lättast genom att placera figuren i ett koordinatsystem, med figurens bas på xx-axeln. Rektanglarna har olika höjd, som bestäms av någon funktion f(x)f(x), men de har alla samma bredd, kallad Δx.\Delta x.

Den första rektangeln står centrerad på ett xx-värde kallat x1,x_1, och genom att sätta in det i f(x)f(x) får man det funktionsvärde som motsvarar rektangelns höjd. Eftersom bredden är döpt till Δx\Delta x kan första rektangelns area uttryckas f(x1)Δx.f(x_1) \, \Delta x. På samma sätt kan man uttrycka övriga rektanglars area, och genom att summera dem får man en uppskattning av figurens area: Af(x1)Δx+f(x2)Δx++f(xn)Δx. A \approx f(x_1)\, \Delta x + f(x_2)\, \Delta x + \ldots + f(x_{n})\, \Delta x. Denna typ av approximation av arean under en kurva kallas Riemannsumma.

Begrepp

Figurens exakta area som integral

Ju fler rektanglar som används, desto smalare blir de, vilket gör areauppskattningen allt bättre. Rektanglarna kan aldrig täcka området perfekt, men deras area går mot figurens area då rektanglarnas bredd går mot 00. Figurens exakta area AA kan därför beskrivas som ett gränsvärde.

A=limΔx0(f(x1)Δx+f(x2)Δx++f(xn)Δx)A =\lim \limits_{\Delta x \to 0} \left(f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x +\ldots + f(x_n) \Delta x\right)

Det är det här gränsvärdet man kallar integral. För att slippa skriva ut en så lång summa använder man en kortare notation.

Tolkning av integralens notation

När bredden går mot 00, dvs. när rektanglarna blir "oändligt tunna", brukar man skriva dx x istället för Δx.\Delta x. Funktionen f(x)f(x) som integreras kallas integrand, medan talen aa och bb kallas integrationsgränser. Dessa definierar områdets vänstra respektive högra gräns.