Begrepp

Uppskattning av figurens area

För att bestämma figurens area algebraiskt ställer man upp ett generellt uttryck för rektanglarnas areor. Det gör man lättast genom att placera figuren i ett koordinatsystem, med figurens bas på xx-axeln. Rektanglarna har olika höjd, som bestäms av någon funktion f(x)f(x), men de har alla samma bredd, kallad Δx.\Delta x.

Den första rektangeln står centrerad på ett xx-värde kallat x1,x_1, och genom att sätta in det i f(x)f(x) får man det funktionsvärde som motsvarar rektangelns höjd. Eftersom bredden är döpt till Δx\Delta x kan första rektangelns area uttryckas f(x1)Δx.f(x_1) \, \Delta x. På samma sätt kan man uttrycka övriga rektanglars area, och genom att summera dem får man en uppskattning av figurens area: Af(x1)Δx+f(x2)Δx++f(xn)Δx. A \approx f(x_1)\, \Delta x + f(x_2)\, \Delta x + \ldots + f(x_{n})\, \Delta x. Denna typ av approximation av arean under en kurva kallas Riemannsumma.

Begrepp

Figurens exakta area som integral

Ju fler rektanglar som används, desto smalare blir de, vilket gör areauppskattningen allt bättre. Rektanglarna kan aldrig täcka området perfekt, men deras area går mot figurens area då rektanglarnas bredd går mot 00. Figurens exakta area AA kan därför beskrivas som ett gränsvärde.

A=limΔx0(f(x1)Δx+f(x2)Δx++f(xn)Δx)A =\lim \limits_{\Delta x \to 0} \left(f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x +\ldots + f(x_n) \Delta x\right)

Det är det här gränsvärdet man kallar integral. För att slippa skriva ut en så lång summa använder man en kortare notation.

Tolkning av integralens notation

När bredden går mot 00, dvs. när rektanglarna blir "oändligt tunna", brukar man skriva dx x istället för Δx.\Delta x. Funktionen f(x)f(x) som integreras kallas integrand, medan talen aa och bb kallas integrationsgränser. Dessa definierar områdets vänstra respektive högra gräns.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}