Integraler och area under grafen: En guide till beräkning av area

Ställ upp ett uttryck för arean mellan kurvan till

f (x) = x^{2} - 2 x - 3

och

x

-axeln från

x = - 1

till

x = 4 .

Arean mellan en kurva och x-axeln kan beskrivas med integraler. Men om området befinner sig under x-axeln måste vi ta hänsyn till att det området minskar integralens värde. Vi undersöker därför om området någonstans befinner sig under x-axeln. Eftersom grafen skär x-axeln i nollställena börjar vi med att bestämma dem.

Funktionen har två nollställen så grafen går delvis under x-axeln. f(x) är en andragradsfunktion och symmetrilinjen ligger mittemellan nollställena, dvs. där x=1. Vi sätter in detta x-värde i funktionen för att hitta extremvärdet så att vi kan skissa grafen.

Grafen går alltså genom (1,-4) och nollställena -1 och 3. Vi använder det för att skissa den.

Nu kan vi markera det område vars area vi ska ställa upp ett uttryck för, dvs. mellan -1 och 4.

Vi får områden både över och under x-axeln. Det betyder att vi inte kan beräkna arean med en enda integral. Vi börjar med det område som befinner sig ovanför x-axeln.

Den nedre gränsen är det högra nollstället. Vi beräknade tidigare att det är x=3. Den övre gränsen är 4 vilket betyder att den gröna arean kan beskrivas med A_(grön)= ∫_3^4(x^2 - 2x - 3 ) d x . Området under x-axeln ligger mellan nollställena.

Om man ställer upp en integral mellan x=-1 och x=3 kommer den att bli negativ eftersom området är under x-axeln, men eftersom areor alltid är positiva måste vi byta tecken. Det gör vi genom att sätta ett minustecken framför integralen: A_(röd)=- ∫_(-1)^3(x^2 - 2x - 3 ) d x . Den totala arean får vi nu genom att summera dessa båda integraler och då får vi A= ∫_3^4(x^2 - 2x - 3 ) d x - ∫_(-1)^3(x^2 - 2x - 3 ) d x .

När Mario föds bestämmer sig hans mormor för att spara pengar åt honom i en burk. Mormor tänker lägga ett belopp som motsvarar kvadraten av Marios ålder multiplicerat med

100,

varje gång han fyller år. Marios farbröder Sergio och Riccardo funderar över hur mycket pengar mormor kommer att ha i burken på Marios

6

-årsdag. Sergio säger: "Man får reda på hur mycket pengar som finns i burken genom att beräkna integralen

\int_{0}^{6} 100 x^{2} d x . "

Stämmer verkligen detta? Motivera!

Nationella provet HT12 3b/3c

Vid varje födelsedag lägger mormor 100x^2 kr i burken, där x är Marios ålder, dvs. 100* 1^2 första året, 100* 2^2 andra året osv. Summan av dessa insättningar skrivs 100* 1^2+100* 2^2+100* 3^2+100* 4^2+100* 5^2+100* 6^2. Vad blir då skillnaden om vi försöker beräkna summan av insättningarna med en integral istället? Alltså, vad händer om vi beräknar ∫_0^6100x^2 d x ? Man kan vänta sig en skillnad, eftersom insättningarna endast är 6 stycken medan integralen använder ett oändligt antal x-värden mellan 0 och 6. Summan i burken ska alltså beskrivas av en diskret funktion och inte en kontinuerlig integral. Exakt vad skillnaden är blir enklare att förstå om vi först tittar på grafen till 100x^2 för det första året. Vi börjar med att undersöka integralens värde mellan x=0 och x=1.

Vi vet att mormor kommer att lägga 100 * 1^2 = 100 kr i sparburken på första födelsedagen. Men vi kan också se att arean av det blåmarkerade området, som är vad integralen beräknar, kommer ge ett värde betydligt mindre än 100. Det ser vi eftersom figurens bredd är 1 och funktionsvärdet vid x=1 är 100, så för att arean ska bli 100 måste hela detta området täckas som nedan.

Det gröna områdets area är 100 och är ju betydligt större än det blå! För den första insättningen ger integralen därför ett för litet värde jämfört med vad vi är ute efter, och samma princip kommer att gälla även för kommande år. För att det rätta värdet ska markeras som en area ritar vi 6 staplar med bredden 1.

Arean av de 6 staplarna kommer alltså motsvara den summa som ligger i burken efter 6 födelsedagar och detta är alltså ett större värde än vad integralen mellan 0 och 6 ger. Alltså är svaret nej, d.v.s. Sergio har fel. Integralen ger ett för lågt värde.

I koordinatsystemet har funktionen $f$ ritats. Områdena $A_{1}$ och $A_{2}$ har samma form och area.

Grafen till en oscillatorisk funktion och arean mellan denna och x-axeln.

Vilket eller vilka samband ska gälla mellan

a

och

b

för att ekvationen

\int_{a}^{b} f (x) d x = 0

ska stämma, om

0 \leq a \leq b \leq 6 ?

A B C D E F a = b a = \frac{1}{b} b = a^{2} a + b = 6 a = 6 b 6 = a b

En integral kan bli 0 på två sätt. Antingen kan gränserna vara lika så att det inte bildas något område alls, eller så måste området över x-axeln vara lika stort som området under. Vi går igenom dessa en i taget.

Lika integrationsgränser

En integral blir 0 om integrationsgränserna är identiska. Då blir områdets bredd 0 dvs. det bildas ingen area.

Ett möjligt samband är alltså att a=b.

Lika områden

Om området ovanför x-axeln är precis lika stort som området nedanför blir integralen 0, eftersom området nedanför räknas negativt till integralens värde. Områdena blir lika stora t.ex. om a=0 och b=6, men även om exempelvis a=1.5 och b=4.5. Integrationsgränserna a och b ska alltså ligga på samma avstånd från mittpunkten i x=3.

Avståndet från x=3 till a är 3-a, och avståndet från b till x=3 är b-3. Om dessa är lika blir integralen alltså noll, vilket ger sambandet b-3 = 3-a. Detta kan förenklas lite.

Integralen blir alltså noll om a=b eller om a+b=6.

Sammanfattning

Det är alltså alternativ A eller D som måste gälla.

När man använder staplar för att uppskatta arean under en kurva kan staplarnas höjd bestämmas på olika sätt. Om höjden bestäms av funktionens lägsta punkt över stapeln kallas det en undersumma. Om höjden bestäms av funktionens högsta punkt över stapeln kallas det en översumma.

Uppskatta

\int_{0}^{2} e^{x} d x

med både över- och undersumma för fyra delintervall. Vilken uppskattning ligger närmast det verkliga värdet på integralen? Motivera!

Om man istället delade in området i oändligt många delintervall och beräknade under- och översumma, vilken skulle då ge bäst uppskattning på integralen? Motivera!

Vi skissar och beräknar under- och översumman för ∫_0^2e^x d x med fyra delintervall.

Undersumman

Eftersom området går från x=0 till x=2 och undersumman ska bestå av 4 staplar får varje stapel en bredd på 24 = 0.5. För att det ska vara en undersumma får ingen stapel nå över grafen.

En rektangels area beräknas med bredd gånger höjd. Höjden bestäms genom att sätta in varje rektangels vänstra x-värde i funktionen f(x) = e^x. I bilden visas t.ex. hur rektangel 3 har höjden f(1). Vi gör en tabell för alla rektanglars höjdvärden.

Rektangel	Vänstra x	Höjd
1	0	f(0) = e^0
2	0.5	f(0.5) = e^(0.5)
3	1	f(1) = e^1
4	1.5	f(1.5) = e^(1.5)

Bredden är som sagt 0.5 så arean för rektangel 1 blir 0.5e^0, för rektangel 2 blir den 0.5e^(0.5) osv. Undersumman blir 0.5e^0 + 0.5e^(0.5) + 0.5e^1+ 0.5e^(1.5) ≈ 4.92.

Översumman

Nu skissar vi översumman istället. Bredden är samma som tidigare, men nu får ingen stapel sluta under grafen.

För att få ut varje rektangels höjd är det istället deras högra x-värden som ska användas, eftersom det x-värdet hör till den högsta punkten för varje rektangel.

Rektangel	Högra x	Höjd
1	0.5	f(0.5) = e^(0.5)
2	1	f(1) = e^1
3	1.5	f(1.5) = e^(1.5)
4	2	f(2) = e^2

Nu kan vi beräkna och summera areorna som tidigare. Översumman blir då 0.5e^(0.5) + 0.5e^1+ 0.5e^(1.5) + 0.5e^2 ≈ 8.12.

Jämförelse

Det verkliga värdet på integralen ∫_0^2e^x d x är arean av hela området under grafen, dvs. den gröna undersumman plus de röda glappen. Det blåmarkerade visar det överskott som översumman ger.

Vad ger då minst avvikelse - det blå överskottet eller det röda underskottet? Vi zoomar in på dessa områden och ritar ut diagonalen på varje rektangel. Varje streckad diagonal halverar sin rektangel, och vi kan se att kurvan går nedanför diagonalen i varje rektangel.

Varje rött område är alltså mindre än halva sin rektangel, och därför är det totala röda området mindre än det totala blå. Därför är den röda area som undersumman saknar mindre än översummans blå överskott. Undersumman ligger alltså närmare integralens verkliga värde i det här fallet.

För att få plats med oändligt många rektanglar måste de vara oändligt tunna. Då är översummans överskott och undersummans underskott oändligt nära noll. Båda dessa blir då exakt lika med integralens verkliga värde! Därmed är det inte längre någon skillnad på de två summorna, utan de är precis lika bra.

Area och integraler

Uppskattning av figurens area

Figurens exakta area som integral

Exempel

Ställ upp en integral

Integral för graf under $x$ -axeln

Beräkna integral med area