Area och integraler

För att ställa upp en integral som beskriver arean behöver vi funktionsuttrycket och integrationsgränserna. Det markerade området avgränsas av y-axeln till vänster, vilket betyder att den undre integrationsgränsen är 0 eftersom x=0 längs hela y-axeln. Funktionsuttrycket är - x^2+2x+3 vilket ger oss ∫_0^()(- x^2+2x+3 ) d x . Den övre gränsen kan vi inte läsa av på samma sätt, men vi kan använda att det blå området slutar där kurvan skär x-axeln dvs. där funktionsvärdet är 0. För att hitta det x-värdet löser vi ekvationen - x^2+2x+3=0. Detta är en andragradsekvation som vi löser med pq-formeln.

Funktionen har två nollställen, och den högra gränsen till området ligger till höger om y-axeln. Det betyder att integralens övre gräns är positiv så den är x=3. En integral som beräknar arean är alltså ∫_0^3(- x^2+2x+3 ) d x .

En integral kan tolkas som en area, men det finns en viktig skillnad. Areor är alltid positiva medan integraler kan vara negativa. Det är de om de ligger nedanför x-axeln. Om en integral representeras av områden både ovanför och nedanför x-axeln är integralens värde "arean ovanför minus arean nedanför".

En mer korrekt formulering som Wilson kunde ha skrivit är därför: "Man beräknar integralens värde genom att subtrahera arean nedanför x-axeln från arean ovanför x-axeln." Denna formulering gäller även om det inte finns någon area nedanför x-axeln, eftersom man då subtraherar 0 från A_1 vilket inte ändrar på integralens värde.

Eftersom det markerade området A inte gränsar till x-axeln kan det inte direkt uttryckas som en integral. Området kan däremot tolkas som differensen mellan arean under f(x), A_f, och arean under g(x), A_g. Dessa områden kan båda beskrivas av integraler med integrationsgränserna -1 och 3. Vi börjar med A_f.

Sedan ställer vi upp integralen för A_g på motsvarande sätt.

Subtraherar vi A_g från A_f får vi just område A. Uttrycket för område A blir därför A&= ∫_(-1)^3 f(x) dx - ∫_(-1)^3 g(x) dx &= ∫_(-1)^3 (f(x)-g(x)) dx

Nu kan vi använda formeln från förra deluppgiften för att bestämma arean av området. Vi börjar med att bestämma A_f och ser att området har formen av en triangel med basen 4 le. och höjden 2 le. Dess area är därför A_f= 4*22=4 a.e.

Även område A_g har formen av en triangel, med basen 4 le. och höjden 1 le. Arean blir då A_g= 4*12=2 a.e.

Vi subtraherar nu arean för A_g från A_f för att få arean förA: A=A_f-A_g=4-2=2 a.e.

Vi börjar med att skissa det område integralen beskriver. Eftersom integrationsgränserna är 0 och 4 och funktionen är f(x)=0.25x^2 kommer området, som vi kallar A, se ut på följande sätt.

Vi approximerar nu området med fyra lika breda rektanglar. Mittpunkten av varje rektangels övre kortsida ska ligga precis på grafen.

För att uppskatta arean på A bestämmer vi först varje rektangels area och sedan summerar vi dem. Rektanglarnas bredd är 1 le. och deras höjd motsvaras av funktionsvärdet till x-värdet i mitten av respektive rektangel.

Eftersom varje rektangelarea beräknas genom att multiplicera bredd med höjd kan område A approximeras på följande sätt. A≈ f(0.5)* 1+f(1.5)* 1+f(2.5)* 1+f(3.5)* 1 a.e. Vi beräknar funktionsvärdena.

Eftersom arean av område A representerar integralen i uppgiftsformuleringen ger detta att ∫_0^40.25x^2 d x ≈ 0.0625+0.5625+1.5625+3.0625 = 5.25. Denna typ av approximation av en integral kallas för Riemannsumma.

För att bestämma arean av en halvcirkel använder man areaformeln för en hel cirkel, A=π r^2, och dividera sedan med 2: A=π r^2/2. Vi känner inte till halvcirkelns radie, men vi kan bestämma den med hjälp av integrationsgränserna: -1 och 3. Avståndet mellan integrationsgränserna, 4, är nämligen cirkelns diameter och radien blir då hälften av denna, vilket är 2. Cirkelns area blir alltså A=π * 2^2/2=2π.