Integraler och area under grafen: En guide till beräkning av area

	Formula	Area
Rectangle $(A_{1})$	$A = b \cdot h$	$A_{1} = 5 \cdot 2 = 10$
Triangle $(A_{2})$	$A = \frac{b \cdot h}{2}$	$A_{2} = \frac{2 \cdot 2}{2} = 2$

Formula

Area

Rectangle

(A_{1})

A = b \cdot h

A_{1} = 5 \cdot 2 = 10

Triangle

(A_{2})

A = \frac{b \cdot h}{2}

A_{2} = \frac{2 \cdot 2}{2} = 2

Ställ upp en integral som beskriver arean av det markerade området.

En andragradskurva med arean i första kvadranten.

För att ställa upp en integral som beskriver arean behöver vi funktionsuttrycket och integrationsgränserna. Det markerade området avgränsas av y-axeln till vänster, vilket betyder att den undre integrationsgränsen är 0 eftersom x=0 längs hela y-axeln. Funktionsuttrycket är - x^2+2x+3 vilket ger oss ∫_0^(□)(- x^2+2x+3 ) d x . Den övre gränsen kan vi inte läsa av på samma sätt, men vi kan använda att det blå området slutar där kurvan skär x-axeln dvs. där funktionsvärdet är 0. För att hitta det x-värdet löser vi ekvationen - x^2+2x+3=0. Detta är en andragradsekvation som vi löser med pq-formeln.

Funktionen har två nollställen, och den högra gränsen till området ligger till höger om y-axeln.

Det betyder att integralens övre gräns är positiv så den är x=3. En integral som beräknar arean är alltså ∫_0^3(- x^2+2x+3 ) d x .

Wilson pluggar inför ett matteprov genom att titta tillbaka på sina anteckningar. Där hittar han följande formulering:

Man ber \ddot{a} knar integralens v \ddot{a} rde genom att addera areorna .

Wilson funderar en stund och kommer fram till att detta påstående bara gäller ibland. Han stryker påståendet och skriver dit en formulering om integralens värde och areor som alltid stämmer. Vad kan han ha skrivit?

En integral kan tolkas som en area, men det finns en viktig skillnad. Areor är alltid positiva medan integraler kan vara negativa. Det är de om de ligger nedanför x-axeln. Om en integral representeras av områden både ovanför och nedanför x-axeln är integralens värde arean ovanför minus arean nedanför.

En mer korrekt formulering som Wilson kunde ha skrivit är därför: Man beräknar integralens värde genom att subtrahera arean nedanför x-axeln från arean ovanför x-axeln. Denna formulering gäller även om det inte finns någon area nedanför x-axeln, eftersom man då subtraherar 0 från A_1 vilket inte ändrar på integralens värde.

Betrakta figuren.

Två funktionsgrafer till f(x) och g(x), med arean mellan dessa från -1 till 3 utritad.

Utan att bestämma funktionsuttrycken för

f (x)

och

g (x),

ställ upp en formel för arean av det markerade området

A

med hjälp av integraler.

Bestäm arean av område

A .

Eftersom det markerade området A inte gränsar till x-axeln kan det inte direkt uttryckas som en integral. Området kan däremot tolkas som differensen mellan arean under f(x), A_f, och arean under g(x), A_g. Dessa områden kan båda beskrivas av integraler med integrationsgränserna -1 och 3. Vi börjar med A_f.

Sedan ställer vi upp integralen för A_g på motsvarande sätt.

Subtraherar vi A_g från A_f får vi just område A. Uttrycket för område A blir därför A& = A_f- A_g [0.8em] & = ∫_(-1)^3 f(x) dx - ∫_(-1)^3 g(x) dx Skillnaden mellan två integraler är lika med integralen av deras skillnad eftersom integration summerar värden punkt för punkt, och subtraktion kan göras före eller efter summeringen. A = ∫_(-1)^3 (f(x)-g(x)) dx Med denna integral får vi fram det område vi söker.

Nu kan vi använda formeln från förra deluppgiften för att bestämma arean av området. Vi börjar med att bestämma A_f och ser att området har formen av en triangel med basen 4 le. och höjden 2 le. Dess area är därför A_f= 4*22=4 a.e.

Även område A_g har formen av en triangel, med basen 4 le. och höjden 1 le. Arean blir då A_g= 4*12=2 a.e.

Vi subtraherar nu arean för A_g från A_f för att få arean förA: A & =A_f-A_g & =4-2 & =2 a.e. Arean av det skuggade området är 2 a.e.

Approximera integralen

\int_{0}^{4} 0, 25 x^{2} d x

genom att dela upp området den beskriver i fyra rektanglar.

Vi börjar med att skissa det område integralen beskriver. Eftersom integrationsgränserna är 0 och 4 och funktionen är f(x)=0,25x^2 kommer området, som vi kallar A, se ut på följande sätt.

Vi approximerar nu området med fyra lika breda rektanglar. Mittpunkten av varje rektangels övre kortsida ska ligga precis på grafen.

För att uppskatta arean på A bestämmer vi först varje rektangels area och sedan summerar vi dem. Rektanglarnas bredd är 1 le. och deras höjd motsvaras av funktionsvärdet till x-värdet i mitten av respektive rektangel.

Eftersom varje rektangelarea beräknas genom att multiplicera bredd med höjd kan område A approximeras på följande sätt. A & ≈ 1* f(0,5)+ 1* f(1,5) + 1* f(2,5) + 1* f(3,5) & ≈ f(0,5)+f(1,5)+f(2,5) +f(3,5) Vi beräknar funktionsvärdena.

x	0,25x^2	f(x)
0,5	0,25* 0,5^2	0,0625
1,5	0,25* 1,5^2	0,5625
2,5	0,25* 2,5^2	1,5625
3,5	0,25* 3,5^2	3,0625
Sum		5,25

Eftersom arean av område A representerar integralen i uppgiftsformuleringen ger detta att ∫_0^40,25x^2 d x ≈ 5,25. Denna typ av approximation av en integral kallas för Riemannsumma.

Bestäm arean av halvcirkeln i figuren, som beskrivs av $\int_{- 1}^{3} - x^{2} + 2 x + 3 d x .$ Svara exakt.

För att bestämma arean av en halvcirkel använder man areaformeln för en hel cirkel, A=π r^2, och dividera sedan med 2: A=π r^2/2. Vi känner inte till halvcirkelns radie, men vi kan bestämma den med hjälp av integrationsgränserna: -1 och 3.

Avståndet mellan integrationsgränserna, 4, är nämligen cirkelns diameter och radien blir då hälften av denna, vilket är 2. Cirkelns area blir alltså A=π * 2^2/2=2π.

Area och integraler

Förkunskaper

Uppskattning av figurens area

Integral

Ställ upp en integral

Ledtråd

Lösning

Integral för graf under $x -$ axeln

Beräkna integral med area

Räkna ut integralen med area

Ledtråd

Lösning

Area och integraler

Rekommenderade uppgifter

	7 sidor teori
	15 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.