body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Ao

Area och integraler Visa detaljer

Innehållsförteckning

Kapitel

4.

Area och integraler

Denna lektion fokuserar på att förstå integraler och deras roll i att beräkna arean under en graf. Integraler är ett kraftfullt verktyg som kan användas för att bestämma arean av mer komplexa figurer, inte bara enkla former som trianglar och rektanglar. Detta är särskilt användbart inom fysik och ingenjörsvetenskap, där man ofta behöver beräkna arean under en kurva för att lösa problem relaterade till rörelse, hastighet och acceleration. Dessutom kan det hjälpa till att analysera ekonomiska modeller inom finans och ekonomi. Det är också viktigt att notera att en integral kan vara negativ, vilket kan påverka beräkningen av arean.

Inställningar & verktyg för lektion

	7 sidor teori
	15 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Area och integraler

Sida av 7

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Integral
Integral för graf under $x -$ axeln
Beräkna integral med area

Förkunskaper

Areaformler
Gränsvärde
Riemannsumma

Utforska

Uppskattning av figurens area

Figurer som exempelvis trianglar, cirklar och rektanglar har areaformler, men för att bestämma arean av mer generella figurer, t.ex. den nedan, behövs andra metoder.

Då kan man använda integraler. Det är ett brett räkneverktyg som handlar om att beräkna summor och används till mycket mer än bara areaberäkningar. Idén bygger på att dela upp problemet i mindre bitar som är lättare att räkna på, och sedan lägga ihop dessa. I fallet med area delas figuren in i rektanglar.

Rektanglarnas sammanlagda area matchar inte figurens area perfekt, men ju smalare rektanglar som används desto mindre blir avvikelsen. Ett mer matematiskt sätt att säga samma sak är att figurens area är gränsvärdet av rektanglarnas summa, då deras bredd går mot

0 .

Föreställ dig att du har ritat figuren i ett koordinatsystem och tolkar den böjda delen som grafen av en funktion. Dela nu in området i små rektanglar med lika bredder, där höjden på varje rektangel bestäms av funktionens värde vid en vald punkt. Kan du skriva ett uttryck för arean med hjälp av dessa rektanglar? Börja med att använda ett litet antal rektanglar!

Koncept

Integral

För att bestämma figurens area algebraiskt ställer man upp ett generellt uttryck för rektanglarnas areor. Det gör man lättast genom att placera figuren i ett koordinatsystem, med figurens bas på $x -$ axeln. Rektanglarna har olika höjd, som bestäms av någon funktion $f (x),$ men de har alla samma bredd, kallad $Δ x .$

Den första rektangeln står centrerad på ett

x -

värde kallat

x_{1},

och genom att sätta in det i

f (x)

får man det funktionsvärde som motsvarar rektangelns höjd. Eftersom bredden är döpt till

Δ x

kan första rektangelns area uttryckas

f (x_{1}) Δ x .

På samma sätt kan man uttrycka övriga rektanglars area, och genom att summera dem får man en uppskattning av figurens area:

A \approx f (x_{1}) Δ x + f (x_{2}) Δ x + \dots + f (x_{n}) Δ x .

Denna typ av approximation av arean under en kurva kallas Riemannsumma.Ju fler rektanglar som används, desto smalare blir de, vilket gör areauppskattningen allt bättre. Rektanglarna kan aldrig täcka området perfekt, men deras area går mot figurens area då rektanglarnas bredd går mot

0

. Figurens exakta area

A

kan därför beskrivas som ett gränsvärde.

$A = Δ x \to 0 lim (f (x_{1}) Δ x + f (x_{2}) Δ x + \dots + f (x_{n}) Δ x)$

Det är det här gränsvärdet man kallar integral. För att slippa skriva ut en så lång summa använder man en kortare notation.

Tolkning av integralens notation

När bredden går mot $0,$ dvs. när rektanglarna blir oändligt tunna, brukar man skriva $d x$ istället för $Δ x .$ Funktionen $f (x)$ som integreras kallas integrand, medan talen $a$ och $b$ kallas integrationsgränser. Dessa definierar områdets vänstra respektive högra gräns.

Exempel

Ställ upp en integral

Ställ upp en integral som beskriver arean av det markerade området.

Ledtråd

Identifiera var området startar och slutar på $x -$ axeln.

Lösning

En integral skrivs på formen

\int_{a}^{b} f (x) d x,

där

a

och

b

är integrationsgränserna och

f (x)

är integranden, alltså funktionen som begränsar området. I det här fallet ligger området under funktionen

g (x) = 8 - 0, 5 x^{2}

och mellan den undre integrationsgränsen

- 1

och den övre integrationsgränsen

3 .

Integralen blir alltså

\int_{- 1}^{3} (8 - 0, 5 x^{2}) d x .

Koncept

Integral för graf under $x -$ axeln

När en graf ligger ovanför $x -$ axeln kan integralen tolkas som arean mellan grafen och $x -$ axeln. Men gäller samma sak när grafen går under $x -$ axeln?

Sen tidigare är det klart att värdet av en integral, här kallad $I,$ definieras som gränsvärdet av en summa av rektangelareor, uttryckta som $f (x) Δ x .$ En viktig skillnad jämfört med tidigare är dock att funktionsvärdena är negativa när grafen går under $x -$ axeln.

Detta innebär att varje term i summan kommer vara negativ och därmed även integralen.

I = Δ x \to 0 lim (f (x_{1}) Δ x + f (x_{2}) Δ x + \dots + f (x_{n}) Δ x)

En integral som beskriver ett område under

x -

axeln kommer alltså få ett negativt värde. Områdets area däremot måste vara ett positivt tal. Så för att uttrycka integralen med hjälp av områdets area måste man byta tecken på arean.

A = - \int_{a}^{b} f (x) d x om f (x) \leq 0 p \overset{˚}{a} [a \leq x \leq b]

Metod

Beräkna integral med area

Integraler kan tolkas som areor och man kan använda detta för att bestämma värdet av en integral, t.ex.

\int_{0}^{9} f (x) d x .

Grafen till

f (x)

visas i figuren.

Integralen kan beräknas i tre steg med hjälp av areor.

1

Identifiera de områden som integralen beskriver

Man börjar med att markera det eller de områden mellan grafen och $x -$ axeln som definieras av integralen. I detta fall ska integralen beräknas mellan $x -$ värdena $0$ och $9,$ vilket motsvarar följande två områden.

2

Beräkna totala arean av områdena över respektive under

x -

axeln

Nu beräknar man arean av det eller de områden som markerats. Här är områdena rätvinkliga trianglar, så arean beräknas genom att man multiplicerar kateterna och dividerar med

2 .

Den gröna triangeln har sidorna

5

och

2.5,

så arean över

x

-axeln blir

A_{1} = \frac{5 \cdot 2 , 5}{2} = 6, 25 .

Den röda triangeln har istället sidorna

4

och

2,

så arean under

x -

axeln blir

A_{2} = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4 .

Områdenas areor mellan

x = 0

och

x = 9

har beräknats.

3

Bestäm integralens värde

Värdet på integralen bestäms på olika sätt beroende på om den beskriver ett eller flera områden.

Om integralen beskriver ett område kommer arean på detta motsvara integralens värde. Kom ihåg att värdet är negativt om området ligger under $x -$ axeln.
Om integralen beskriver flera områden får man subtrahera de områden som ligger under $x -$ axeln från de som ligger ovanför. I detta fall subtraherar man alltså den röda arean från den gröna:

\int_{0}^{9} f (x) d x = 6, 25 - 4 = 2, 25 .

Detta ger att integralens värde är

2, 25 .

Exempel

Räkna ut integralen med area

Use the following function to answer the given questions.

a Find the value of the integral.

\int_{0}^{5} f (x) d x

b Find the value of the integral.

\int_{0}^{9} f (x) d x

c Find the value of the integral.

\int_{0}^{12} f (x) d x

Ledtråd

a Look for familiar geometric figures (triangles, rectangles, trapezoids) under the curve of

f (x) .

Calculate their areas using the appropriate area formulas.

b The areas below the

x -

axis contribute negatively to the value of the integral.

c The areas below the

x -

axis contribute negatively to the value of the integral.

Lösning

a The integral represents the area between the graph of

f (x)

and the

x -

axis, from

x = 0

to

x = 5 .

This region can be divided into two distinct areas — a rectangle and a triangle. The rectangle has a base of $5$ units and a height of $2$ units. The triangle, on the other hand, has both a base and a height of $2$ units.

The areas are found using the formulas for the rectangle and triangle.

	Formula	Area
Rectangle $(A_{1})$	$A = b \cdot h$	$A_{1} = 5 \cdot 2 = 10$
Triangle $(A_{2})$	$A = \frac{b \cdot h}{2}$	$A_{2} = \frac{2 \cdot 2}{2} = 2$

Finally, the integral is the sum of the areas.

\int_{0}^{5} f (x) d x = 10 + 2 = 12

b In this case, the integral will be evaluated from

x = 0

to

x = 9 .

To find the total area, split it into basic shapes like rectangles or triangles. Considering the areas in Part A, two additional areas need to be calculated.

These two triangles have the same base and height, so each has an area of

\frac{2 \cdot 4}{2} = 4

square units.

A_{1} = 10 A_{2} = 2 A_{3} = 4 A_{4} = 4

Since

A_{4}

lies below the

x -

axis, its contribution to the integral is negative. That value must be subtracted from the total sum of the other areas.

\int_{0}^{9} f (x) d x = 10 + 2 + 4 - 4 = 12

c Once again, we will apply the same procedure. The integral is from

x = 0

to

x = 12 .

The integral from $x = 0$ to $x = 12$ involves two additional regions.

In this case, it is necessary to calculate

A_{5}

and

A_{6} .

A_{5}

has the same dimensions as

A_{4},

so its area is also

4

square units.

A_{6}

is a triangle with a base of

1

unit and a height of

2

units, giving it an area of

1

square unit.

\int_{0}^{12} f (x) d x = 10 + 2 + 4 - 4 - 4 + 1 = 9

Area och integraler

Area och integraler

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.