Andragradskurvans utseende och egenskaper

Uttrycket f(-9)=f(-2) betyder att funktionsvärdet är samma för x-värdena -9 och -2. Det innebär att symmetrilinjen ligger mittemellan x=-2 och x=-9. Vi bestämmer det x-värdet genom att beräkna medelvärdet.

Ekvationen för symmetrilinjen blir alltså x_s=- 5.5.

Eftersom insparken sker från 5.5 meter är längden på själva sparken 68-5.5=62.5 m. Då bollens bana är formad som en andragradskurva vet vi att den är symmetrisk runt symmetrilinjen, dvs. runt det avstånd där bollen når sin högsta punkt. Bollen når alltså sitt maximum på mitten av sin bana, vid den röda punkten.

Högsta punkten är alltså 62.52=31.25 meter från insparkspunkten. Lägger vi till de 5.5 meter från mållinjen som sparken skedde ifrån nådde den alltså sin högsta punkt 31.25+5.5=36.75 meter ifrån mållinjen.

Vi vet att funktionen har ett nollställe i x=4 och att det största värdet ligger i x=1. För andragradsfunktioner ligger alltid extrempunkterna, alltså maxima och minima, på symmetrilinjen, vilket innebär att den här funktionens symmetrilinje måste ha ekvationen x_s = 1. Vi ritar in symmetrilinjen och det kända nollstället i ett koordinatsystem.

Eftersom symmetrilinjen delar andgragradskurvan mitt itu så ligger de båda nollställena lika långt ifrån symmetrilinjen. Det kända nollstället ligger 3 steg till höger om x=1, så det andra nollstället måste då ligga tre steg till vänster om x=1.

Det andra nollstället ligger i x=-2.

Vi känner till två punkter på kurvan samt symmetrilinjen. Vi ritar ut dessa i ett koordinatsystem.

Vi vet inte vilken kurva som går igenom dessa punkter, men vi vet att den kommer att vara speglad i symmetrilinjen. Det innebär att det kommer att finnas punkter som motsvarar de vi redan känner till, fast på andra sidan symmetrilinjen. De kommer att ha samma y-värde och i x-led kommer de att vara på samma avstånd från symmetrilinjen.

Avståndet i x-led från punkten (0,4) till symmetrilinjen är 3 le., så motsvarande punkt på andra sidan ska ha x-värdet 3 + 3 = 6 och samma y-värde, alltså punkten (6,4). Punkten (8, - 3) ligger 5 steg till höger om symmetrilinjen, så den speglade punkten där måste finnas vid x-värdet 3 - 5 = - 2, vilket ger punkten (- 2, - 3). De två punkterna som vi kan erbjuda Ahmed är alltså (6, 4) och (- 2, - 3).

För att inte gå med förlust måste de tillverka så pass många enheter att vinsten inte blir negativ, dvs. V(x)=0. Sätter vi in det i funktionen får vi en andragradsekvation som vi ska lösa. Därför skriver vi om den på pq-form.

Vi beräknar antal tillverkade enheter x genom att använda t.ex. pq-formeln.

Vi får två lösningar som ger vinsten 0 kr: 186 enheter och 1614 enheter. Det lägre antalet står för så många de måste tillverka för att kunna sälja för mer än företagets kostnader. Det högre antalet är så många som de kan tillverka innan de börjar få så många enheter att de inte kan sälja tillräckligt. Vi är ute efter det lägre antalet, dvs. svaret är 186 st.

Vi vet att vinsten beskrivs av en "sur" andragradsfunktion, eftersom a är negativt (-0.005). Funktionen antar då sitt största värde på symmetrilinjen. För att hitta symmetrilinjen kan vi exempelvis använda pq-formeln, vilket vi redan gjorde i förra deluppgiften. Symmetrilinjen är den första termen: x_s=900. De maximerar sin vinst om de tillverkar 900 enheter.

Vi kan också hitta symmetrilinjen med hjälp av två punkter med samma y-värde, t.ex. nollställena som vi tog fram i förra deluppgiften. Symmetrilinjen ligger då mittemellan punkternas x-värden, alltså på x_s=186+1614/2=900.

Vi ritar graferna med en grafräknare och börjar med att skriva in funktionerna genom att trycka på Y=.

Vi trycker nu på knappen GRAPH för att se graferna ritas ut i ett koordinatsystem. Koordinatsystemets axlar kan behöva ställas in. Graferna ritas ut i den ordning vi skrivit in funktionerna i listan ovan. Vi inser då att f(x)=x^2 är grafen i mitten, g(x)=(x+3)^2 den till vänster och h(x)=(x-2)^2 den längst åt höger. Det går också att se vilken graf markören står på genom att trycka på TRACE. Växla graf med uppåt- och nedåtpil.

Vi ser att alla funktioner vänder vid x-axeln, dvs. de har endast ett nollställe. De har dessutom samma form som f(x), men både g(x) och h(x) har förflyttats i sidled. g(x) har flyttats 3 steg åt vänster medan h(x) har flyttats 2 steg åt höger.

Funktionen k(x)=(x-8)^2 följer samma form som de andra funktionerna. Den kommer därför att vara förskjuten i sidled jämfört med f(x). Eftersom h(x)=(x-2)^2 var förskjuten två steg åt höger kan vi förvänta oss att k(x)=(x-8)^2 kommer att vara förskjuten åtta steg åt höger. Vi kan kontrollera våra slutsatser genom att rita grafen till funktionen på räknaren, på samma sätt som tidigare. Vi låter f(x)=x^2 vara utritad som jämförelse även nu.

Vår beskrivning stämmer!

Även om vi inte känner till konstanterna a, b och c kan vi använda den vanliga metoden för att bestämma symmetrilinjen. Vi börjar med att sätta funktionen till 0 och skriver sedan om ekvationen på pq-form.

Nu använder vi pq-formeln, med p = ba och q = ca: x=- b/a/2± sqrt((b/a/2)^2- c/a). Vi är intresserade av den första termen, som anger x-värdet för symmetrilinjen. Vi skriver om den på enklaste form.

Vi börjar med att sätta funktionsuttrycket lika med 0 och skriva om på pq-form, så att vi kan använda pq-formeln för att hitta symmetrilinjen. Vi får då ekvationen x^2+px+q=0. Symmetrilinjen till en andragradskurva ges generellt av termen framför rotuttrycket i pq-formeln. I vårt fall: x= - p/2± sqrt((p/2)^2-q). Uttrycket för symmetrilinjen är alltså x_s=- p2.