Andragradskurvans utseende och egenskaper

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Kurva

Inom matematiken är en kurva en sammanhängande "linje" i ett koordinatsystem. Egentligen är en rät linje ett specialfall — det är en kurva utan krökning.

Kurva wordlist.svg
Ett vanligt exempel på kurvor är grafer till funktioner.
Begrepp

Andragradsfunktioner och deras grafer

En andragradsfunktion är en funktion där det finns en x2x^2-term men inga termer av högre grad.

y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c

a,ba, \, b och cc är reella konstanter och a0a \neq 0.

Begrepp

Andragradskurvan

Grafen till en andragradsfunktion kallas andragradskurva och har formen av en parabel. Det betyder att den alltid antar ett största eller minsta funktionsvärde i kurvans maximi- eller minimipunkt.

Maximi- och minimipunkt till andragradskurvor

Maximi- och minimipunkter kallas med ett gemensamt namn för extrempunkter. Vilken sorts extrempunkt kurvan har avgörs av tecknet på koefficienten framför x2.x^2. Man kan komma ihåg detta med en minnesregel som kopplar ihop kurvans utseende med en glad eller sur mun.

Minnesregel för sur och glad kurva
Exempelvis har grafen till y=2x23x+1y={\color{#0000FF}{2}}x^2-3x+1 en minimipunkt och y=-4x2+1y={\color{#0000FF}{\text{-}4}}x^2+1 en maximipunkt.
Uppgift

Avgör om graferna till följande andragradsfunktioner har en minimi- eller maximipunkt utan att rita upp dem.y=-5x2+15y=x22x7y=x2x2 y=\text{-}5x^2+15 \quad \quad y=x^2-2x-7 \quad \quad y=x-2x^2

Lösning

Vi tittar på koefficienterna framför x2.x^2. I första funktionsuttrycket är koefficienten -5\text{-}5, dvs. negativ, och kurvan har därför en maximipunkt (tänk sur mun: \frown). I det andra fallet syns ingen koefficient, men det finns en osynlig etta där:x2=1x2. x^2=1 \cdot x^2. Koefficienten är alltså 1,1, dvs. positiv (\smile). Kurvan har därmed en minimipunkt. I det sista funktionsuttrycket, y=x2x2y=x-2x^2, är koefficienten -2.\text{-}2. Det ger oss en "sur kurva" (\frown), som alltså har en maximipunkt.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Symmetrilinje - andragradskurva

Om en lodrät linje ritas genom extrempunkten till en andragradskurva bildas två lika stora, spegelvända halvor på varsin sida om linjen. Linjen kallas för kurvans symmetrilinje.

Två punkter på varsin halva med samma yy-koordinat, t.ex. funktionens nollställen, ligger alltid på samma avstånd från symmetrilinjen. Symmetrilinjens ekvation anger vilket xx-värde, a,a, som linjen ligger på.

xs=ax_s=a

Metod

Bestämma symmetrilinje för en andragradsfunktion

I vissa fall kan symmetrilinjen läsas av direkt i en figur, om man har en sådan. Man kan också räkna ut den om man har två punkter med samma yy-värde eller funktionsuttrycket. Båda metoder bygger på att två punkter med samma yy-värde alltid ligger lika långt från symmetrilinjen.

Metod

Använd två punkter med samma yy-värde

För två punkter med samma yy-värde, t.ex. (-0.91,6)(\text{-}0.91,6) och (4.41,6),(4.41,6), går det att hitta symmetrilinjen baserat på avståndet mellan punkterna.

1

Identifiera två punkter med samma yy-värde

Här är två punkter givna: (-0.91,6)(\text{-}0.91,6) och (4.41,6).(4.41,6).

Har man inte givna punkter kan man t.ex. göra en avläsning i en graf. Punkterna kan vara nollställen, men det är inget krav.

2

Bestäm xx-värdet mittemellan punkterna

För att hitta symmetrilinjen bestämmer man xx-värdet mittemellan punkterna. Det är medelvärdet av punkternas xx-koordinater.

Medelvrdea¨=Summa av vrdena¨Antal vrdena¨\text{Medelvärde}=\dfrac{\text{Summa av värden}}{\text{Antal värden}}
xs=-0.91+4.412x_s=\dfrac{\text{-}0.91+4.41}{2}
xs=3.52x_s=\dfrac{3.5}{2}
xs=1.75x_s=1.75

Symmetrilinjen är alltså i det här fallet xs=1.75.x_s=1.75.

Metod

Använd pqpq-formeln

Om man enbart har ett funktionsuttryck, t.ex. y=-x2+8x+2y=\text{-} x^2+8x+2, kan man hitta symmetrilinjen med hjälp av pqpq-formeln.

1

Sätt funktionsuttrycket lika med 00

Man hittar de xx-värden där funktionen är 00 genom att lösa ekvationen-x2+8x+2=0. \text{-} x^2+8x+2=0.

2

Ställ upp pqpq-formeln
Nu kan man skriva ekvationen på pqpq-form och ställa upp pqpq-formeln. Det spelar ingen roll om ekvationen har en lösning eller inte, för det är inte nödvändigt att faktiskt lösa den.
-x2+8x+2=0\text{-} x^2+8x+2=0
x28x2=0x^2-8x-2=0
x=--82±(-82)2(-2)x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-} 8}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-} 8}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-}2}}\right)}

3

Läs av symmetrilinjen

När ekvationen står på den här formen kan man direkt avläsa symmetrilinjen. Det är termen som står framför rottecknet, i det här fallet: xs=--82=4. x_s=\text{-}\dfrac{\text{-} 8}{2}=4. Symmetrilinjen har alltså xs=4.x_s=4.

Uppgift

Bestäm symmetrilinjen till andragradsfunktionen y=x24 y=x^2-4 på två olika sätt.

Lösning
Exempel

Två punkter med samma yy-värde

Vi väljer nollställena, som båda har yy-värdet 0.0. Vi bestämmer dem genom att lösa andragradsekvationen x24=0.x^2-4=0.

x24=0x^2-4=0
x2=4x^2=4
x=±4x=\pm\sqrt{4}
x=±2x= \pm 2
Vi får lösningarna x=±2.x= \pm 2. Mittemellan dem ligger 0 så symmetrilinjen är xs=0.x_s=0.
Exempel

pqpq-formeln

Även här sätter vi funktionsuttrycket lika med 00 och får ekvationen x24=0,x^2-4=0, som är på pqpq-form. Eftersom xx-termen saknas är p=0.p=0.

x24=0x^2-4=0
x=-02±(02)2(-4)x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{0}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{0}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-}4}}\right)}

Nu beräknar vi termen framför rotuttrycket: xs=-02=0. x_s=\text{-} \dfrac{0}{2}=0. Symmetrilinjen är alltså xs=0.x_s=0.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Andragradsfunktionen f(x)f(x) har maximipunkten (-9,36).(\text{-} 9, 36). Vad är funktionens symmetrilinje?

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör om följande funktioner har en maximi- eller minimipunkt.

a

y=2x25x+4y=2x^2-5x+4

b

y=3x8x2y=3x-8x^2

c

y=-4x+6y=\text{-} 4x+6

d

y=x2+7y=x^2+7

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figuren visar graferna till två andragradsfunktioner.

Avgör vilka påståenden som är sanna respektive falska.

  1. g(x)g(x) har en maximipunkt.
  2. f(x)f(x) har en extrempunkt.
  3. x2x^2-termen för g(x)g(x) är negativ.
  4. f(x)f(x) har ett största värde.
  5. Symmetrilinjens ekvation för f(x)f(x) kan vara xs=5.x_s=5.
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Avgör om andragradsfunktionerna har en positiv eller negativ koefficient framför x2x^2-termen.


b

Avgör utan räknare vilken eller vilka av följande funktioner som har en maximipunkt. f(x)=x2+5xg(x)=4x23x2h(x)=9x6x2+0.3\begin{aligned} &f(x)=x^2+5x\\ &g(x)=4x^2-3x-2\\ &h(x)=9x-6x^2+0.3 \end{aligned} Kontrollera sedan ditt svar med räknare.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Representerar grafen en andragradsfunktion?

a
b
c
d
1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka av följande är andragradsfunktioner? A: y=x2+3x2B: y=x2+x0.53C: y=x3+x2D: y=(7x2+2x10)/2\begin{aligned} &\mathbf{A:} \ y=x^2+3x^2\\ &\mathbf{B:} \ y=x^2+x^{0.5}-3\\ &\mathbf{C:} \ y=x^3+x^2\\ &\mathbf{D:} \ y=\left(7x^2+2x-10\right)/2 \end{aligned}

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren nedan visas grafen till funktionen f(x).f(x).


a

Bestäm funktionens minsta värde.

b

Vad är ekvationen för funktionens symmetrilinje?

c

Ange koordinaterna för funktionens minimipunkt.

d

Bestäm funktionens nollställen.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För funktionen ff gäller f(x)=x22x15.f(x)=x^2 - 2x - 15.

a

Bestäm funktionens nollställen. Bestäm sedan symmetrilinjens ekvation genom att hitta mittpunkten mellan dessa.

b

Bestäm symmetrilinjens ekvation genom att ställa upp pqpq-formeln.

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm symmetrilinjen för följande funktioner.

a

f(x)=x24x12f(x) = x^2 - 4x - 12

b

g(x)=x2+5x+2g(x) = x^2 + 5x + 2

c

h(x)=4x224x+5h(x) = 4x^2 - 24x + 5

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm symmetrilinjen för följande funktioner.

a

f(x)=28xx2f(x) = 2 - 8x - x^2

b

g(x)=3x2+2x+33g(x) = 3x^2 + 2x + 33

c

h(x)=x2+15h(x) = x^2 + 15

1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vad är symmetrilinjens ekvation till en andragradskurva med nollställen som i figuren?


a


b
1.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Följande punkter ligger på en andragradskurva. Bestäm symmetrilinjens ekvation med hjälp av punkterna.

a

(1,5)(1,5) och (5,5)(5,5)

b

(-10,33)(\text{-} 10, 33) och (-20,33)(\text{-} 20, 33)

c

(2,8),(8,-4)(2,8), \, (8,\text{-} 4) och (10,8)(10,8)

1.13
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Para ihop graferna med funktionsuttrycken f(x)=(x+1)(x+2)g(x)=0.5(x1)(x4)h(x)=4(x0.5)(x1).\begin{aligned} &f(x)=(x+1)(x+2) \\ &g(x)=0.5(x-1)(x-4) \\ &h(x)=4(x-0.5)(x-1). \end{aligned}

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För andragradsfunktionen ff gäller f(-9)=f(-2).f(\text{-}9)=f(\text{-}2). Vad är symmetrilinjens ekvation?

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Brasiliens målvakt gör en inspark från linjen som markerar det egna målområdet, 5.55.5 m från mållinjen.

Uppg1214 1.svg

Bollens bana har formen av en andragradsfunktion, och den slår ner 6868 meter bort mätt från mållinjen. Hur långt ifrån mållinjen nådde bollen sin högsta punkt, om ingen annan spelare rörde den innan den slog i marken?

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För en andragradsfunktion gäller:

  • Funktionen har ett nollställe för x=4.x = 4.
  • Funktionen har sitt största värde för x=1.x = 1.

I vilket xx har funktionen sitt andra nollställe?

Nationella provet VT12 2b/2c
2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ahmed roar sig med att leta punkter på en andragradskurva. Han vet att symmetrilinjen är xs=3x_s = 3 och att de två punkterna (0,4)(0, 4) och (8,-3)(8, \text{-} 3) ligger på kurvan. Hjälp honom att hitta så många fler punkter som möjligt.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett företag beräknar sin vinst till V(x)=9x0.005x21500, V(x)=9x-0.005x^2-1500, där V(x)V(x) är vinsten om de tillverkar xx enheter/dag.


a

Hur många enheter per dag måste de minst tillverka för att precis inte gå med förlust?

b

Hur många enheter ska de tillverka för att maximera sin vinst?

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

I koordinatsystemet är grafen till f(x)=x2f(x)=x^2 inritad.

Använd din räknare för att rita f(x)f(x) samt g(x)=(x+3)2g(x)=(x+3)^2 och h(x)=(x2)2.h(x)=(x-2)^2. Hur förhåller sig g(x)g(x) och h(x)h(x) till f(x)?f(x)?

b

Beskriv, utan att rita upp den, hur grafen till k(x)=(x8)2k(x)=(x-8)^2 kommer att se ut. Kontrollera med räknare.

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm symmetrilinjen till den generella funktionen f(x)=ax2+bx+c, f(x) = ax^2 + bx + c, där a,a, bb och cc är konstanter. Förenkla så långt som möjligt.

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm symmetrilinjen till andragradsfunktionen y=x2+px+q.y=x^2+px+q.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En del andragradsfunktioner kan skrivas på formen y=(xa)2b. y=(x-a)^2-b.


a

Bestäm symmetrilinjen.

b

Bestäm nollställena.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En rektangel har sidorna x+2x+2 och 3x.3-x.

Exercise1205 1.svg

Hur långa är sidorna när arean är som störst?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Andragradsfunktionen f(x)=k(xa)(xb)f(x)=k(x-a)(x-b) har en maximipunkt som ligger på den positiva yy-axeln.


a

Vad måste gälla för konstanten k?k?

b

Formulera ett samband mellan konstanterna aa och b.b.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren visas grafen till andragradsfunktionen f.f.

Vilket av alternativen AA-EE nedan skulle kunna ange funktionen f?f? A. f(x)=x24x+6B. f(x)=-x24x+6C. f(x)=x26x+6D. f(x)=x210x6E. f(x)=x210x+6\begin{aligned} &\mathbf{A. } \ f(x)=x^2-4x+6\\ &\mathbf{B. } \ f(x)=\text{-} x^2-4x+6\\ &\mathbf{C. } \ f(x)=x^2-6x+6\\ &\mathbf{D. } \ f(x)=x^2-10x-6\\ &\mathbf{E. } \ f(x)=x^2-10x+6 \end{aligned}

Nationella provet exempeluppgifter 2b/2c
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}