body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 2a Visa detaljer

Innehållsförteckning

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

( Ma 2a , Ma 2b , Ma 2c ) /

Kapitel 4

Andragradskurvans utseende och egenskaper

Den här lektionenen fokuserar på att förstå reella lösningar och andragradsekvationer. Den förklarar begrepp som reella rötter och hur man löser andragradsekvationer. Dessutom introduceras du till symmetrilinjen, en lodrät linje genom extrempunkten till en andragradskurva, som delar kurvan i två lika stora, spegelvända halvor. Du får också lära dig om maximipunkter och minimipunkter, som är de punkter där en andragradskurva antar sitt största eller minsta funktionsvärde. Denna kunskap är viktig för att förstå och lösa komplexa matematiska problem.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	8 sidor teori
	25 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Andragradskurvans utseende och egenskaper

Sida av 8

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Kurva
Symmetrilinje - andragradskurva
Andragradsfunktioner och deras grafer
Bestämma symmetrilinje för en andragradsfunktion

Förkunskaper

Koncept

Kurva

Inom matematiken är en kurva en sammanhängande linje i ett koordinatsystem. Egentligen är en rät linje ett specialfall — det är en kurva utan krökning.

Ett vanligt exempel på kurvor är grafer till funktioner.

Koncept

Andragradsfunktioner och deras grafer

En andragradsfunktion är en funktion där det finns en $x^{2} -$ term men inga termer av högre grad.

$y = a x^{2} + b x + c$

$a,$ $b$ och $c$ är reella konstanter och $a \neq = 0 .$ Grafen till en andragradsfunktion kallas andragradskurva och har formen av en parabel. Det betyder att den alltid antar ett största eller minsta funktionsvärde i kurvans maximi- eller minimipunkt.

Maximi- och minimipunkt till andragradskurvor

Maximi- och minimipunkter kallas med ett gemensamt namn för extrempunkter. Vilken sorts extrempunkt kurvan har avgörs av tecknet på koefficienten framför $x^{2} .$ Man kan komma ihåg detta med en minnesregel som kopplar ihop kurvans utseende med en glad eller sur mun.

Exempelvis har grafen till

y = 2 x^{2} - 3 x + 1

en minimipunkt och

y = - 4 x^{2} + 1

en maximipunkt.

Exempel

Har andragradskurvan ett minimum eller maximum?

Avgör om graferna till följande andragradsfunktioner har en minimi- eller maximipunkt utan att rita upp dem.

y = - 5 x^{2} + 15

y = x^{2} - 2 x - 7

y = x - 2 x^{2}

Ledtråd

a Om koefficienten framför

x^{2}

är positiv, är det ett minimum; om den är negativ, är det ett maximum.

b Om koefficienten framför

x^{2}

är positiv, är det ett minimum; om den är negativ, är det ett maximum.

c Om koefficienten framför

x^{2}

är positiv, är det ett minimum; om den är negativ, är det ett maximum.

Lösning

a Vi tittar på koefficienterna framför

x^{2} .

I första funktionsuttrycket är koefficienten

- 5,

dvs. negativ, och kurvan har därför en maximipunkt (tänk sur mun:

⌢) .

y = - 5 x^{2} + 15 \Rightarrow maximipunkt

b I det andra fallet syns ingen koefficient, men det finns en osynlig etta där:

x^{2} = 1 \cdot x^{2} .

Koefficienten är alltså

1,

dvs. positiv

(⌣) .

Kurvan har därmed en minimipunkt.

y = 1 x^{2} - 2 x - 7 \Rightarrow minimipunkt

c I det sista funktionsuttrycket,

y = x - 2 x^{2},

är koefficienten

- 2 .

Det ger oss en sur kurva

(⌢),

som alltså har en maximipunkt.

y = x - 2 x^{2} \Rightarrow maximipunkt

Koncept

Symmetrilinje - andragradskurva

Om en lodrät linje ritas genom extrempunkten till en andragradskurva bildas två lika stora, spegelvända halvor på varsin sida om linjen. Linjen kallas för kurvans symmetrilinje.

Två punkter på varsin halva med samma

y -

koordinat, t.ex. funktionens nollställen, ligger alltid på samma avstånd från symmetrilinjen. Symmetrilinjens ekvation anger vilket

x -

värde,

a,

som linjen ligger på.

$x_{s} = a$

Metod

Bestämma symmetrilinje för en andragradsfunktion

I vissa fall kan symmetrilinjen läsas av direkt i en figur, om man har en sådan. Man kan också räkna ut den om man har två punkter med samma $y -$ värde eller funktionsuttrycket. Båda metoder bygger på att två punkter med samma $y -$ värde alltid ligger lika långt från symmetrilinjen.

Använd två punkter med samma $y -$ värde

För två punkter med samma $y -$ värde, t.ex. $(- 0, 91; 6)$ och $(4, 41; 6),$ går det att hitta symmetrilinjen baserat på avståndet mellan punkterna.

Identifiera två punkter med samma

y -

värde

Här är två punkter givna: $(- 0, 91; 6)$ och $(4, 41; 6) .$

Har man inte givna punkter kan man t.ex. göra en avläsning i en graf. Punkterna kan vara nollställen, men det är inget krav.

Bestäm

x -

värdet mittemellan punkterna

För att hitta symmetrilinjen bestämmer man

x -

värdet mittemellan punkterna. Det är medelvärdet av punkternas

x -

koordinater.

Medelv \ddot{a} rde = \frac{Summa av v a ¨ rden}{Antal v a ¨ rden}

SubstituteValues

Sätt in värden

x_{s} = \frac{- 0 , 9 1 + 4 , 4 1}{2}

AddTerms

Addera termer

x_{s} = \frac{3 , 5}{2}

CalcQuot

Beräkna kvot

x_{s} = 1, 75

Symmetrilinjen är alltså i det här fallet

x_{s} = 1, 75 .

Använd $p q -$ formeln

Om man enbart har ett funktionsuttryck, t.ex. $y = - x^{2} + 8 x + 2,$ kan man hitta symmetrilinjen med hjälp av $p q -$ formeln.

Sätt funktionsuttrycket lika med

0

Man hittar de

x -

värden där funktionen är

0

genom att lösa ekvationen

- x^{2} + 8 x + 2 = 0 .

Ställ upp

p q -

formeln

Nu kan man skriva ekvationen på

p q -

form och ställa upp

p q -

formeln. Det spelar ingen roll om ekvationen har en lösning eller inte, för det är inte nödvändigt att faktiskt lösa den.

- x^{2} + 8 x + 2 = 0

ChangeSigns

Byt tecken

x^{2} - 8 x - 2 = 0

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = - 8, q = - 2$

x = - \frac{- 8}{2} \pm (\frac{- 8}{2})^{2} - (- 2)

Läs av symmetrilinjen

När ekvationen står på den här formen kan man direkt avläsa symmetrilinjen. Det är termen som står framför rottecknet, i det här fallet:

x_{s} = - \frac{- 8}{2} = 4 .

Symmetrilinjen har alltså

x_{s} = 4 .

Exempel

Bestäm andragradsfunktionens symmetrilinje

Bestäm symmetrilinjen till andragradsfunktionen

y = x^{2} - 4

på två olika sätt.

Ledtråd

Symmetrilinjen kan bestämmas genom att ta medelvärdet av funktionens nollställen. Alternativt kan du använda $p q -$ formeln — det är termen före rottecknet: $- \frac{p}{2} .$

Lösning

Två punkter med samma $y -$ värde

Vi väljer nollställena, som båda har

y -

värdet

0 .

Vi bestämmer dem genom att lösa andragradsekvationen

x^{2} - 4 = 0 .

x^{2} - 4 = 0

AddEqn

$VL + 4 = HL + 4$

x^{2} = 4

SqrtEqn

$VL = HL$

x = \pm 4

CalcRoot

Beräkna rot

x = \pm 2

Vi får lösningarna

x = \pm 2 .

Mittemellan dem ligger

0

så symmetrilinjen är

x_{s} = 0 .

$p q -$ formeln

Även här sätter vi funktionsuttrycket lika med

0

och får ekvationen

x^{2} - 4 = 0,

som är på

p q -

form. Eftersom

x -

termen saknas är

p = 0 .

x^{2} - 4 = 0

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = 0, q = - 4$

x = - \frac{0}{2} \pm (\frac{0}{2})^{2} - (- 4)

Nu beräknar vi termen framför rotuttrycket:

x_{s} = - \frac{0}{2} = 0 .

Symmetrilinjen är alltså

x_{s} = 0 .

Uppgift

Skriv ett additionsuttryck och skriv ett subtraktionsuttryck som representeras av tallinjen. Utvärdera sedan uttrycken.

Mljsx Solution 266947 1.svg

Facit

Addition Expression: $4 + (- 3)$
Subtraction Expression: $4 - 3$
Sum: $1$
Difference: $1$

Ledtråd

När vi rör oss åt höger på en tallinje representerar det addition av ett positivt tal. Omvänt motsvarar rörelse åt vänster att addera ett negativt tal.

Lösning

Låt oss titta på tallinjen!

Vi vill skriva ett additionsuttryck och ett subtraktionsuttryck som representeras av tallinjen.

	Addition	Subtraktion
Uttryck	$? + ?$	$? - ?$
Resultat	$?$	$?$

Låt oss börja med att titta på den blå linjen på vår tallinje.

Pilen börjar på $0$ och slutar på $4,$ så den representerar addition av $4 .$ Detta betyder att den första termen i vårt additionsuttryck och minuenden i vårt subtraktionsuttryck är $4 .$

	Addition	Subtraktion
Uttryck	$4 + ?$	$4 - ?$
Resultat	$?$	$?$

Låt oss sedan titta på den röda pilen i diagrammet.

Lägg märke till att den röda pilen färdas $3$ enheter till vänster om $4 .$ Detta betyder att den röda pilen representerar subtraktion av $3 .$ Kom ihåg att för att subtrahera ett heltal adderar vi dess motsats. Detta betyder att subtraktion av $3$ också kan representeras som addition av motsatsen till $3,$ $- 3 .$ Låt oss slutföra våra uttryck!

	Addition	Subtraktion
Uttryck	$4 + (- 3)$	$4 - 3$
Resultat	$?$	$?$

Slutligen kan vi utvärdera våra uttryck. Låt oss börja med att utföra additionen!

4 + (- 3)

AddNeg

$a + (- b) = a - b$

4 - 3

SubTerm

Subtrahera term

1

Summan av

4

och

- 3

är

1 .

Vi vet att för att subtrahera ett heltal adderar vi motsatsen. Detta betyder att differensen mellan

4

och

3

också är

1 .

Vi kan använda denna information för att slutföra vår tabell.

	Addition	Subtraktion
Uttryck	$4 + (- 3)$	$4 - 3$
Resultat	$1$	$1$

Kontrollera svar

Låt oss kontrollera vårt svar, bara för att vara säkra. Tänk på den givna tallinjen igen.

Vi kan se i diagrammet att den röda pilen slutar på $1 .$ Vi beräknade att både summan och differensen är $1,$ vilket betyder att våra resultat är korrekta!

Svarsalternativ

Andragradskurvans utseende och egenskaper

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Andragradskurvans utseende och egenskaper

Förkunskaper

Ledtråd

Lösning

Använd två punkter med samma y-värde

Använd pq-formeln

Ledtråd

Lösning

Två punkter med samma y-värde

pq-formeln

Uppgift

Facit

Ledtråd

Lösning

Kontrollera svar

Svarsalternativ