Andragradskurvans utseende och egenskaper

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Begrepp

Kurva

Inom matematiken är en kurva en sammanhängande "linje" i ett koordinatsystem. Egentligen är en rät linje ett specialfall — det är en kurva utan krökning.

Ett vanligt exempel på kurvor är grafer till funktioner.

Begrepp

Andragradsfunktioner och deras grafer

En andragradsfunktion är en funktion där det finns en $x^2$ -term men inga termer av högre grad.

$y=ax^2+bx+c$

$a, \, b$ och $c$ är reella konstanter och $a \neq 0$ .

Begrepp

Andragradskurvan

Grafen till en andragradsfunktion kallas andragradskurva och har formen av en parabel. Det betyder att den alltid antar ett största eller minsta funktionsvärde i kurvans maximi- eller minimipunkt.

Maximi- och minimipunkt till andragradskurvor

Maximi- och minimipunkter kallas med ett gemensamt namn för extrempunkter. Vilken sorts extrempunkt kurvan har avgörs av tecknet på koefficienten framför $x^2.$ Man kan komma ihåg detta med en minnesregel som kopplar ihop kurvans utseende med en glad eller sur mun.

Exempelvis har grafen till

y={\color{#0000FF}{2}}x^2-3x+1

en minimipunkt och

y={\color{#0000FF}{\text{-}4}}x^2+1

en maximipunkt.

Har andragradskurvan ett minimum eller maximum?

fullscreen

Uppgift

Avgör om graferna till följande andragradsfunktioner har en minimi- eller maximipunkt utan att rita upp dem. $y=\text{-}5x^2+15 \quad \quad y=x^2-2x-7 \quad \quad y=x-2x^2$

Visa Lösning

Lösning

Vi tittar på koefficienterna framför $x^2.$ I första funktionsuttrycket är koefficienten $\text{-}5$ , dvs. negativ, och kurvan har därför en maximipunkt (tänk sur mun: $\frown$ ). I det andra fallet syns ingen koefficient, men det finns en osynlig etta där: $x^2=1 \cdot x^2.$ Koefficienten är alltså $1,$ dvs. positiv ( $\smile$ ). Kurvan har därmed en minimipunkt. I det sista funktionsuttrycket, $y=x-2x^2$ , är koefficienten $\text{-}2.$ Det ger oss en "sur kurva" ( $\frown$ ), som alltså har en maximipunkt.

Begrepp

Symmetrilinje - andragradskurva

Om en lodrät linje ritas genom extrempunkten till en andragradskurva bildas två lika stora, spegelvända halvor på varsin sida om linjen. Linjen kallas för kurvans symmetrilinje.

Två punkter på varsin halva med samma $y$ -koordinat, t.ex. funktionens nollställen, ligger alltid på samma avstånd från symmetrilinjen. Symmetrilinjens ekvation anger vilket $x$ -värde, $a,$ som linjen ligger på.

$x_s=a$

Metod

Bestämma symmetrilinje för en andragradsfunktion

I vissa fall kan symmetrilinjen läsas av direkt i en figur, om man har en sådan. Man kan också räkna ut den om man har två punkter med samma $y$ -värde eller funktionsuttrycket. Båda metoder bygger på att två punkter med samma $y$ -värde alltid ligger lika långt från symmetrilinjen.

Metod

Använd två punkter med samma $y$ -värde

För två punkter med samma $y$ -värde, t.ex. $(\text{-}0.91,6)$ och $(4.41,6),$ går det att hitta symmetrilinjen baserat på avståndet mellan punkterna.

1

Identifiera två punkter med samma

y

-värde

Här är två punkter givna: $(\text{-}0.91,6)$ och $(4.41,6).$

Har man inte givna punkter kan man t.ex. göra en avläsning i en graf. Punkterna kan vara nollställen, men det är inget krav.

2

Bestäm

x

-värdet mittemellan punkterna

För att hitta symmetrilinjen bestämmer man $x$ -värdet mittemellan punkterna. Det är medelvärdet av punkternas $x$ -koordinater.

\text{Medelvärde}=\dfrac{\text{Summa av värden}}{\text{Antal värden}}

SubstituteValuesSätt in värden

x_s=\dfrac{\text{-}0.91+4.41}{2}

AddTermsFörenkla termer

x_s=\dfrac{3.5}{2}

CalcQuotBeräkna kvot

x_s=1.75

Symmetrilinjen är alltså i det här fallet $x_s=1.75.$

Metod

Använd $pq$ -formeln

Om man enbart har ett funktionsuttryck, t.ex. $y=\text{-} x^2+8x+2$ , kan man hitta symmetrilinjen med hjälp av $pq$ -formeln.

1

Sätt funktionsuttrycket lika med

0

Man hittar de $x$ -värden där funktionen är $0$ genom att lösa ekvationen $\text{-} x^2+8x+2=0.$

2

Ställ upp

pq

-formeln

Nu kan man skriva ekvationen på

pq

-form och ställa upp

pq

-formeln. Det spelar ingen roll om ekvationen har en lösning eller inte, för det är inte nödvändigt att faktiskt lösa den.

\text{-} x^2+8x+2=0

ChangeSignsByt tecken

x^2-8x-2=0

UsePQAnvänd

pq

-formeln:

p = {\color{#0000FF}{\text{-} 8}}, \, q={\color{#009600}{\text{-}2}}

x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-} 8}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-} 8}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-}2}}\right)}

3

Läs av symmetrilinjen

När ekvationen står på den här formen kan man direkt avläsa symmetrilinjen. Det är termen som står framför rottecknet, i det här fallet: $x_s=\text{-}\dfrac{\text{-} 8}{2}=4.$ Symmetrilinjen har alltså $x_s=4.$

Bestäm andragradsfunktionens symmetrilinje

fullscreen

Uppgift

Bestäm symmetrilinjen till andragradsfunktionen $y=x^2-4$ på två olika sätt.

Visa Lösning

Lösning

Exempel

Två punkter med samma $y$ -värde

Vi väljer nollställena, som båda har $y$ -värdet $0.$ Vi bestämmer dem genom att lösa andragradsekvationen $x^2-4=0.$

x^2-4=0

AddEqn

\text{VL}+4=\text{HL}+4

x^2=4

SqrtEqn

\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}

x=\pm\sqrt{4}

CalcRootBeräkna rot

x= \pm 2

Vi får lösningarna

x= \pm 2.

Mittemellan dem ligger 0 så symmetrilinjen är

x_s=0.

Exempel

$pq$ -formeln

Även här sätter vi funktionsuttrycket lika med $0$ och får ekvationen $x^2-4=0,$ som är på $pq$ -form. Eftersom $x$ -termen saknas är $p=0.$

x^2-4=0

UsePQAnvänd

pq

-formeln:

p = {\color{#0000FF}{0}}, \, q={\color{#009600}{\text{-}4}}

x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{0}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{0}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-}4}}\right)}

Nu beräknar vi termen framför rotuttrycket: $x_s=\text{-} \dfrac{0}{2}=0.$ Symmetrilinjen är alltså $x_s=0.$