Andragradskurvans utseende och egenskaper

Karaktären på en andragradsfunktions extrempunkt avgörs av koefficienten framför x^2-termen. För funktionen y=2x^2-5x+4 är den 2, dvs. positiv. Det betyder att kurvan ser ut som en glad mun och har därför en minimipunkt.

Vi tittar återigen på koefficienten framför x^2. Här är den -8 som är negativt, vilket betyder att kurvan har formen av en sur mun, dvs. den har en maximipunkt.

I den här funktionen finns ingen x^2-term. y=- 4x+6 är ju en rät linje och sådana saknar extrempunkter.

I y=x^2+7 står det en underförstådd etta framför x^2-termen. Termen kan alltså skrivas som 1* x^2. Eftersom 1 är ett positivt tal ser kurvan ut som en glad mun och har därför en minimipunkt.

Andragradskurvor är symmetriska kring sin extrempunkt. I det här fallet har vi fått maximipunkten för funktionen, så allt vi behöver göra är att läsa av x-värdet för att hitta symmetrilinjen. Den är x_s = - 9. x_s=-9

Vi går igenom påståendena ett i taget.

Påstående A

En maximipunkt innebär att kurvan har en topp, dvs. antar ett största värde och sedan vänder. Att g(x) har maximipunkt är alltså sant.

Påstående B

Påståendet att f(x) har en extrempunkt är också sant, eftersom grafen har en minimipunkt vilket är den ena typen av extrempunkt.

Påstående C

Negativ x^2-term ger en sur mun enligt minnesregeln för andragradsfunktioners grafer, dvs. en maximipunkt vilket är sant för g(x).

Påstående D

Funktionen f(x) har en minimipunkt och därför ett minsta värde. Men den fortsätter oändligt långt uppåt, dvs. den når aldrig något största värde. Påståendet är falskt.

Påstående E

Eftersom symmetrilinjen går igenom kurvans minimipunkt, och denna ligger på negativa x-axeln för f(x), kan symmetrilinjen inte ha det positiva x-värdet 5. Även detta påstående är falskt.

För en andragradsfunktion på formen y=ax^2+bx+c gäller att om a är positiv får vi en glad mun, och om a är negativ får vi en sur mun.

Vi ser i figuren att de kurvor som har positiva koefficienter framför x^2 är A och D, medan B och C har negativa koefficienter.

Enligt samma minnesregel kan vi utläsa att en kurva med maximipunkt ska ha en negativ koefficient framför x^2-termen. Den funktion som detta gäller för är h(x)=9x-6x^2+0,3, där a=-6, som då måste vara den enda funktionen med en maximipunkt.

Kontroll med räknare

Vi kontrollerar våra slutsatser genom att låta räknaren rita graferna. Då kan vi se vilka som ser ut som en glad mun (har minimipunkt) respektive ledsen mun (har maximipunkt). Vi börjar med att skriva in funktionerna i räknaren genom att trycka på Y=.

Vi trycker på GRAPH för att rita graferna. De ritas ut i den ordning vi skrivit in dem ovan, men vi kan även växla graf genom att trycka på TRACE och sedan uppåt- eller nedåtpil. Vi ser då att det endast är den tredje grafen h(x)=9x-6x^2+0,3 som ser ut som en ledsen mun och därför har en maximipunkt. Precis som vi resonerade oss fram till.

Eftersom en andragradskurva har formen av en parabel kan vi konstatera att grafen inte representerar en andragradsfunktion.

Eftersom en andragradskurva har formen av en parabel och grafen i figuren gör det kan vi konstatera att grafen representerar en andragradsfunktion.

Eftersom en andragradskurva har formen av en parabel kan vi konstatera att grafen inte representerar en andragradsfunktion.

Eftersom en andragradskurva har formen av en parabel och grafen i figuren gör det kan vi konstatera att grafen representerar en andragradsfunktion.

Den generella formen för en andragradsfunktion är y=ax^2+bx+c. Vi undersöker om funktionerna står på denna form.

Funktion A

Funktionen har visserligen två x^2 termer men eftersom termerna är av samma slag kan de adderas. y=x^2+3x^2 ⇔ y=4x^2. Funktionen har visserligen inte någon x-term eller konstant (dvs. bx och c) men det innebär helt enkelt att dessa termer är noll, dvs. y=4x^2 +0x+0. Alltså är A en andragradsfunktion.

Funktion B

Funktionen innehåller en x^2-term, men även termen x^(0,5). Den passar alltså inte in på formen y=ax^2+bx+c, och är inte en andragradsfunktion.

Vi kan också välja att rita grafen till funktionen och titta på dess utseende. En andragradsfunktion antar formen av en parabel, men denna graf har inte den formen.

Termen x^(0,5) kan skrivas som sqrt(x). Eftersom man inte kan sätta in negativa tal under ett rottecken är den inte definierad för negativa x-värden.

Funktion C

Vi ser direkt att funktionen inte är en andragradsfunktion eftersom den innehåller en variabel som är upphöjd till 3. En andragradsfunktions grad får ju högst vara 2 men eftersom den innehåller en x^3-term är det en tredjegradsfunktion.

Funktion D

Vi ser att funktionsuttrycket innehåller ett bråk. Men om den kan skrivas på formen y=ax^2+bx+c är det fortfarande en andragradsfunktion. Vi undersöker om det går att skriva om det.

Funktion D är alltså en andragradsfunktion.

Funktionens minsta värde hittar vi om vi läser av y-värdet för minimipunkten, alltså grafens lägsta punkt. På båda sidor om den stiger grafen, så det måste vara det minsta värdet.

Det minsta värdet är alltså - 4.

För andragradsfunktioner går symmetrilinjen alltid genom extrempunkten, så i det här fallet går den genom den lägsta punkten vi tittade på i förra deluppgiften. Läser vi av x-koordinaten där hittar vi symmetrilinjen.

x-koordinaten är - 2 så symmetrilinjen är x_s = - 2.

Funktionens minimipunkt är helt enkelt den lägsta punkten på grafen, och vi har redan läst av x- och y-koordinaten för den i de tidigare uppgifterna. Minimipunktens koordinater är därför (- 2, - 4).

Funktionens nollställen finns där funktionsvärdet är 0, alltså de x-värden där kurvan skär x-axeln.

Nollställena är x = - 5 och x = 1.

För att hitta funktionens nollställen likställer vi funktionen med 0: x^2 - 2x - 15=0. Nollställena är lösningarna till ekvationen, som vi löser med pq-formeln.

Grafen till funktionen skär alltså x-axeln i punkterna (5,0) och (- 3,0), och precis mitt emellan dessa punkter hittar vi symmetrilinjen: x_s = 5 + (- 3)/2 = 2/2 = 1. Vi illustrerar även detta grafiskt.

Vi använder nu metoden med att ställa upp pq-formeln.

När ekvationen står på den här formen kan man göra en direkt avläsning av symmetrilinjen. Det är värdet som står framför rottecknet. I det här fallet är det x_s=- - 2/2 = 1.

Vi fick alltså samma svar som i förra deluppgiften, och nu kan vi se varför metoden fungerar. Det vi gör när vi ställer upp pq-formeln är att inleda sökandet efter två punkter med samma y-värde (y=0). När vi är nästan klara med det har vi ekvationen x = 1 ± 4. Den säger är att nollställena ligger lika många steg åt höger (+4) respektive åt vänster (-4) från mittpunkten 1. Men eftersom mittpunkten är det enda vi är intresserade av kan vi utelämna uträkningarna och bara läsa av första termen.

Vi använder metoden för att bestämma symmetrilinjen för en andragradsfunktion med hjälp av pq-formeln, som säger att vi först ska skapa en ekvation genom att likställa funktionen med 0. x^2 - 4x - 12 = 0 Vi skulle lika gärna kunna välja vilket värde som helst eftersom vi inte har några planer att faktiskt lösa ekvationen, men 0 brukar göra saker lite lättare. Vi ställer nu upp pq-formeln för ekvationen och förenklar det som står framför rotuttrycket.

Nu behöver vi inte göra något mer eftersom vi har termen framför rotuttrycket. Det värdet anger x-koordinaten för symmetrilinjen, som alltså är x = 2.

Vi gör på samma sätt som i förra uppgiften. Vi sätter först funktionen lika med 0 och använder sedan pq-formeln för att hitta symmetrilinjen.

Vi läser av det som står framför rotuttrycket och kommer fram till att symmetrilinjen är x = 2,5.

Vi gör på samma sätt igen. Den här gången måste vi dock skriva om ekvationen vi skapar på pq-form innan vi använder pq-formeln.

Symmetrilinjen är alltså x = 3 eftersom det är det som står framför rotuttrycket.

Vi använder metoden för att bestämma symmetrilinjen för en andragradsfunktion med hjälp av pq-formeln. Vi sätter funktionens värde till 0 för att skapa en ekvation, skriver om den till pq-form och börjar lösa den med pq-formeln.

Nu behöver vi inte förenkla uttrycket mer eftersom vi direkt kan läsa av symmetrilinjen som det värdet som står framför rotuttrycket. Symmetrilinjen är x =- 4.

Vi gör på samma sätt igen. I det här fallet blir p ett bråktal, men det påverkar inte lösningsgången.

Eftersom det står - 13 framför rotuttrycket är det där symmetrilinjen finns, vid x = - 13.

Den här funktionen ser lite annorlunda ut, men vi hanterar den på samma sätt. Det finns ingen x-term i ekvationen som bildas, med det betyder bara att p=0.

Det står 0 framför rotuttrycket, vilket innebär att symmetrilinjen måste vara y-axeln, dvs. x = 0.

Symmetrilinjen löper mittemellan andragradskurvans nollställen. Vi ser att kurvans nollställen är x=2 och x=6. För att bestämma symmetrilinjens ekvation beräknar vi medelvärdet av dessa.

Symmetrilinjens ekvation är x_s=4. Om kurvan har maximi- eller minimipunkt får vi inte reda på i uppgiften, så vi vet inte mer än så.

Samma sak igen. Symmetrilinjen löper mittemellan nollställena så vi beräknar medelvärdet av dessa.

Symmetrilinjens ekvation är x_s=- 1.

Två punkter på en andragradskurva som ligger på samma y-koordinat befinner sig lika långt ifrån symmetrilinjen. Vi ser att (1, 5) och (5,5) båda ligger på samma y-koordinat, y=5, och då kan symmetrilinjen beräknas som medelvärdet av x=1 och x=5.

Vi har två punkter med samma y-värde igen, så vi gör på samma sätt och räknar ut medelvärdet för deras x-koordinater.

Nu har vi tre punkter. Tittar vi på koordinaterna ser vi att två av dem, (2,8) och (10,8), ligger på samma y-koordinat, vilket innebär att vi kan använda dem för att räkna ut symmetrilinjen. Den tredje punkten behöver vi inte. Vi räknar ut medelvärdet av x-värdena för att få symmetrilinjen.

Alla grafer är glada, och alla funktionsuttryck har positiva koefficienter framför x^2-termen. Därför kan vi inte använda detta för att särskilja funktionerna. Men genom att beräkna nollställena för de olika funktionerna kan vi identifiera vilken graf som hör till vilken funktion. Vi börjar med f(x).

Den blå grafen, A, har nollställena x=-2 och x=-1. Alltså hör A ihop med f(x).

Vi gör nu på motsvarande sätt med nästa funktionsuttryck.

Den graf som har nollställena x=1 och x=4 är den gröna grafen, C. Alltså hör g(x) ihop med C.

Nu kan vi genom uteslutningsmetoden lista ut att h(x) hör ihop med graf B, men för säkerhets skull beräknar vi även dess nollställen.

Det ser ut att stämma med den sista funktionen. Sammanfattningsvis hör de ihop på följande vis: &A: f(x)=(x+1)(x+2) &B: h(x)=0,5(x-1)(x-4) &C: g(x)=4(x-0,5)(x-1).