{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
close expand
Analytisk geometri

Andragradskurvans utseende och egenskaper


Videolektion

Mathleaks

play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

Begrepp

Kurva

Inom matematiken är en kurva en sammanhängande "linje" i ett koordinatsystem. Egentligen är en rät linje ett specialfall — det är en kurva utan krökning.

Kurva wordlist.svg
Ett vanligt exempel på kurvor är grafer till funktioner.

Begrepp

Andragradsfunktioner och deras grafer

En andragradsfunktion är en funktion där det finns en x2-term men inga termer av högre grad.

y=ax2+bx+c

a,b och c är reella konstanter och a0.

Begrepp

Andragradskurvan

Grafen till en andragradsfunktion kallas andragradskurva och har formen av en parabel. Det betyder att den alltid antar ett största eller minsta funktionsvärde i kurvans maximi- eller minimipunkt.
Maximi- och minimipunkt till andragradskurvor

Maximi- och minimipunkter kallas med ett gemensamt namn för extrempunkter. Vilken sorts extrempunkt kurvan har avgörs av tecknet på koefficienten framför x2. Man kan komma ihåg detta med en minnesregel som kopplar ihop kurvans utseende med en glad eller sur mun.

Minnesregel för sur och glad kurva
Exempelvis har grafen till y=2x23x+1 en minimipunkt och y=-4x2+1 en maximipunkt.

Exempel

Har andragradskurvan ett minimum eller maximum?

fullscreen
Avgör om graferna till följande andragradsfunktioner har en minimi- eller maximipunkt utan att rita upp dem.
Visa Lösning expand_more
Vi tittar på koefficienterna framför x2. I första funktionsuttrycket är koefficienten -5, dvs. negativ, och kurvan har därför en maximipunkt (tänk sur mun: ). I det andra fallet syns ingen koefficient, men det finns en osynlig etta där:
x2=1x2.
Koefficienten är alltså 1, dvs. positiv (). Kurvan har därmed en minimipunkt. I det sista funktionsuttrycket, y=x2x2, är koefficienten -2. Det ger oss en "sur kurva" (), som alltså har en maximipunkt.

Begrepp

Symmetrilinje - andragradskurva

Om en lodrät linje ritas genom extrempunkten till en andragradskurva bildas två lika stora, spegelvända halvor på varsin sida om linjen. Linjen kallas för kurvans symmetrilinje.

Två punkter på varsin halva med samma y-koordinat, t.ex. funktionens nollställen, ligger alltid på samma avstånd från symmetrilinjen. Symmetrilinjens ekvation anger vilket x-värde, a, som linjen ligger på.

Metod

Bestämma symmetrilinje för en andragradsfunktion

I vissa fall kan symmetrilinjen läsas av direkt i en figur, om man har en sådan. Man kan också räkna ut den om man har två punkter med samma y-värde eller funktionsuttrycket. Båda metoder bygger på att två punkter med samma y-värde alltid ligger lika långt från symmetrilinjen.

Metod

Använd två punkter med samma y-värde

För två punkter med samma y-värde, t.ex. (-0.91,6) och (4.41,6), går det att hitta symmetrilinjen baserat på avståndet mellan punkterna.
1
Identifiera två punkter med samma y-värde
expand_more

Här är två punkter givna: (-0.91,6) och (4.41,6).

Har man inte givna punkter kan man t.ex. göra en avläsning i en graf. Punkterna kan vara nollställen, men det är inget krav.

2
Bestäm x-värdet mittemellan punkterna
expand_more

För att hitta symmetrilinjen bestämmer man x-värdet mittemellan punkterna. Det är medelvärdet av punkternas x-koordinater.

Symmetrilinjen är alltså i det här fallet

Metod

Använd pq-formeln

Om man enbart har ett funktionsuttryck, t.ex. y=-x2+8x+2, kan man hitta symmetrilinjen med hjälp av pq-formeln.
1
Sätt funktionsuttrycket lika med 0
expand_more
Man hittar de x-värden där funktionen är 0 genom att lösa ekvationen
-x2+8x+2=0.
2
Ställ upp pq-formeln
expand_more
Nu kan man skriva ekvationen på pq-form och ställa upp pq-formeln. Det spelar ingen roll om ekvationen har en lösning eller inte, för det är inte nödvändigt att faktiskt lösa den.
-x2+8x+2=0
x28x2=0
3
Läs av symmetrilinjen
expand_more
När ekvationen står på den här formen kan man direkt avläsa symmetrilinjen. Det är termen som står framför rottecknet, i det här fallet:
Symmetrilinjen har alltså

Exempel

Bestäm andragradsfunktionens symmetrilinje

fullscreen
Bestäm symmetrilinjen till andragradsfunktionen
y=x24
på två olika sätt.
Visa Lösning expand_more

Exempel

Två punkter med samma y-värde

Vi väljer nollställena, som båda har y-värdet 0. Vi bestämmer dem genom att lösa andragradsekvationen x24=0.
x24=0
x2=4
x=±2
Vi får lösningarna x=±2. Mittemellan dem ligger 0 så symmetrilinjen är

Exempel

pq-formeln

Även här sätter vi funktionsuttrycket lika med 0 och får ekvationen x24=0, som är på pq-form. Eftersom x-termen saknas är p=0.
x24=0
Nu beräknar vi termen framför rotuttrycket:
Symmetrilinjen är alltså
arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community