Minispelare aktiv
Inom matematiken är en kurva en sammanhängande "linje" i ett koordinatsystem. Egentligen är en rät linje ett specialfall — det är en kurva utan krökning.
En andragradsfunktion är en funktion där det finns en x2-term men inga termer av högre grad.
y=ax2+bx+c
a,b och c är reella konstanter och a=0.
Grafen till en andragradsfunktion kallas andragradskurva och har formen av en parabel. Det betyder att den alltid antar ett största eller minsta funktionsvärde i kurvans maximi- eller minimipunkt.
Maximi- och minimipunkter kallas med ett gemensamt namn för extrempunkter. Vilken sorts extrempunkt kurvan har avgörs av tecknet på koefficienten framför x2. Man kan komma ihåg detta med en minnesregel som kopplar ihop kurvans utseende med en glad eller sur mun.
Avgör om graferna till följande andragradsfunktioner har en minimi- eller maximipunkt utan att rita upp dem.y=-5x2+15y=x2−2x−7y=x−2x2
Vi tittar på koefficienterna framför x2. I första funktionsuttrycket är koefficienten -5, dvs. negativ, och kurvan har därför en maximipunkt (tänk sur mun: ⌢). I det andra fallet syns ingen koefficient, men det finns en osynlig etta där:x2=1⋅x2. Koefficienten är alltså 1, dvs. positiv (⌣). Kurvan har därmed en minimipunkt. I det sista funktionsuttrycket, y=x−2x2, är koefficienten -2. Det ger oss en "sur kurva" (⌢), som alltså har en maximipunkt.
Om en lodrät linje ritas genom extrempunkten till en andragradskurva bildas två lika stora, spegelvända halvor på varsin sida om linjen. Linjen kallas för kurvans symmetrilinje.
Två punkter på varsin halva med samma y-koordinat, t.ex. funktionens nollställen, ligger alltid på samma avstånd från symmetrilinjen. Symmetrilinjens ekvation anger vilket x-värde, a, som linjen ligger på.
xs=a
I vissa fall kan symmetrilinjen läsas av direkt i en figur, om man har en sådan. Man kan också räkna ut den om man har två punkter med samma y-värde eller funktionsuttrycket. Båda metoder bygger på att två punkter med samma y-värde alltid ligger lika långt från symmetrilinjen.
För två punkter med samma y-värde, t.ex. (-0.91,6) och (4.41,6), går det att hitta symmetrilinjen baserat på avståndet mellan punkterna.
Här är två punkter givna: (-0.91,6) och (4.41,6).
Har man inte givna punkter kan man t.ex. göra en avläsning i en graf. Punkterna kan vara nollställen, men det är inget krav.
För att hitta symmetrilinjen bestämmer man x-värdet mittemellan punkterna. Det är medelvärdet av punkternas x-koordinater.
Symmetrilinjen är alltså i det här fallet xs=1.75.
Om man enbart har ett funktionsuttryck, t.ex. y=-x2+8x+2, kan man hitta symmetrilinjen med hjälp av pq-formeln.
Man hittar de x-värden där funktionen är 0 genom att lösa ekvationen-x2+8x+2=0.
När ekvationen står på den här formen kan man direkt avläsa symmetrilinjen. Det är termen som står framför rottecknet, i det här fallet: xs=-2-8=4. Symmetrilinjen har alltså xs=4.
Bestäm symmetrilinjen till andragradsfunktionen y=x2−4 på två olika sätt.
Vi väljer nollställena, som båda har y-värdet 0. Vi bestämmer dem genom att lösa andragradsekvationen x2−4=0.
Vi får lösningarna x=±2. Mittemellan dem ligger 0 så symmetrilinjen är xs=0.Även här sätter vi funktionsuttrycket lika med 0 och får ekvationen x2−4=0, som är på pq-form. Eftersom x-termen saknas är p=0.
Nu beräknar vi termen framför rotuttrycket: xs=-20=0. Symmetrilinjen är alltså xs=0.