1. Andragradskurvans utseende och egenskaper
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 4
1.
Andragradskurvans utseende och egenskaper
Den här lektionenen fokuserar på att förstå reella lösningar och andragradsekvationer. Den förklarar begrepp som reella rötter och hur man löser andragradsekvationer. Dessutom introduceras du till symmetrilinjen, en lodrät linje genom extrempunkten till en andragradskurva, som delar kurvan i två lika stora, spegelvända halvor. Du får också lära dig om maximipunkter och minimipunkter, som är de punkter där en andragradskurva antar sitt största eller minsta funktionsvärde. Denna kunskap är viktig för att förstå och lösa komplexa matematiska problem.
Visa mindre Visa mer expand_more| | 8 sidor teori |
| | 25 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Andragradskurvans utseende och egenskaper
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Kurva
- Symmetrilinje - andragradskurva
- Andragradsfunktioner och deras grafer
- Bestämma symmetrilinje för en andragradsfunktion
Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Kurva
Inom matematiken är en kurva en sammanhängande linje
i ett koordinatsystem. Egentligen är en rät linje ett specialfall — det är en kurva utan krökning.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Andragradsfunktioner och deras grafer
En andragradsfunktion är en funktion där det finns en x^2-term men inga termer av högre grad.
y=ax^2+bx+c
a, b och c är reella konstanter och a ≠ 0. Grafen till en andragradsfunktion kallas andragradskurva och har formen av en parabel. Det betyder att den alltid antar ett största eller minsta funktionsvärde i kurvans maximi- eller minimipunkt.
Maximi- och minimipunkter kallas med ett gemensamt namn för extrempunkter. Vilken sorts extrempunkt kurvan har avgörs av tecknet på koefficienten framför x^2. Man kan komma ihåg detta med en minnesregel som kopplar ihop kurvans utseende med en glad eller sur mun.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Har andragradskurvan ett minimum eller maximum?
Avgör om graferna till följande andragradsfunktioner har en minimi- eller maximipunkt utan att rita upp dem.
a
y=-5x^2+15
{"type":"choice","form":{"alts":["minimipunkt","maximipunkt"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
b
y=x^2-2x-7
{"type":"choice","form":{"alts":["minimipunkt","maximipunkt"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
c
y=x-2x^2
{"type":"choice","form":{"alts":["minimipunkt","maximipunkt"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
Ledtråd
a
Om koefficienten framför x^2 är positiv, är det ett minimum; om den är negativ, är det ett maximum.
b
Om koefficienten framför x^2 är positiv, är det ett minimum; om den är negativ, är det ett maximum.
c
Om koefficienten framför x^2 är positiv, är det ett minimum; om den är negativ, är det ett maximum.
Lösning
a
Vi tittar på koefficienterna framför x^2. I första funktionsuttrycket är koefficienten -5, dvs. negativ, och kurvan har därför en maximipunkt
(tänk sur mun: ).
y= -5x^2+15 ⇒ maximipunkt
b
I det andra fallet syns ingen koefficient, men det finns en osynlig etta där:
x^2=1 * x^2.
Koefficienten är alltså 1, dvs. positiv (⌣). Kurvan har därmed en minimipunkt
. y= 1x^2-2x-7 ⇒ minimipunkt
c
I det sista funktionsuttrycket, y=x-2x^2, är koefficienten -2. Det ger oss en sur kurva
( ), som alltså har en maximipunkt
.
y=x -2x^2 ⇒ maximipunkt
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Symmetrilinje - andragradskurva
Om en lodrät linje ritas genom extrempunkten till en andragradskurva bildas två lika stora, spegelvända halvor på varsin sida om linjen. Linjen kallas för kurvans symmetrilinje.
sammay-koordinat, t.ex. funktionens nollställen, ligger alltid på
samma avståndfrån symmetrilinjen. Symmetrilinjens ekvation anger vilket x-värde, a, som linjen ligger på.
x_s=a
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Bestämma symmetrilinje för en andragradsfunktion
I vissa fall kan symmetrilinjen läsas av direkt i en figur, om man har en sådan. Man kan också räkna ut den om man har två punkter med samma y-värde eller funktionsuttrycket. Båda metoder bygger på att två punkter med samma y-värde alltid ligger lika långt från symmetrilinjen.
Använd två punkter med samma y-värde
För två punkter med samma y-värde, t.ex. (-0,91;6) och (4,41;6), går det att hitta symmetrilinjen baserat på avståndet mellan punkterna.
1
Identifiera två punkter med samma y-värde
expand_more Här är två punkter givna: (-0,91;6) och (4,41;6).
Har man inte givna punkter kan man t.ex. göra en avläsning i en graf. Punkterna kan vara nollställen, men det är inget krav.
2
Bestäm x-värdet mittemellan punkterna
expand_more För att hitta symmetrilinjen bestämmer man x-värdet mittemellan punkterna. Det är medelvärdet av punkternas x-koordinater.
Medelvärde=Summa av värden/Antal värden
SubstituteValues
Sätt in värden
x_s=-0,91+4,41/2
AddTerms
Addera termerna
x_s=3,5/2
CalcQuot
Beräkna kvot
x_s=1,75
Symmetrilinjen är alltså i det här fallet x_s=1,75.
Använd pq-formeln
Om man enbart har ett funktionsuttryck, t.ex. y=- x^2+8x+2, kan man hitta symmetrilinjen med hjälp av pq-formeln.
1
Sätt funktionsuttrycket lika med 0
expand_more Man hittar de x-värden där funktionen är 0 genom att lösa ekvationen
- x^2+8x+2=0.
2
Ställ upp pq-formeln
expand_more Nu kan man skriva ekvationen på pq-form och ställa upp pq-formeln. Det spelar ingen roll om ekvationen har en lösning eller inte, för det är inte nödvändigt att faktiskt lösa den.
- x^2+8x+2=0
ChangeSigns
Byt tecken
x^2-8x-2=0
UsePQ
Använd pq-formeln: p = - 8, q= -2
x=- - 8/2± sqrt((- 8/2)^2-( -2))
3
Läs av symmetrilinjen
expand_more När ekvationen står på den här formen kan man direkt avläsa symmetrilinjen. Det är termen som står framför rottecknet, i det här fallet:
x_s=-- 8/2=4.
Symmetrilinjen har alltså x_s=4.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm andragradsfunktionens symmetrilinje
Bestäm symmetrilinjen till andragradsfunktionen y=x^2-4 på två olika sätt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x_s=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0"]}}
Ledtråd
Symmetrilinjen kan bestämmas genom att ta medelvärdet av funktionens nollställen. Alternativt kan du använda pq-formeln — det är termen före rottecknet: - p2.
Lösning
Två punkter med samma y-värde
Vi väljer nollställena, som båda har y-värdet 0. Vi bestämmer dem genom att lösa andragradsekvationen x^2-4=0.
Vi får lösningarna x= ± 2. Mittemellan dem ligger 0 så symmetrilinjen är x_s=0.
pq-formeln
Även här sätter vi funktionsuttrycket lika med 0 och får ekvationen x^2-4=0, som är på pq-form. Eftersom x-termen saknas är p=0.
Nu beräknar vi termen framför rotuttrycket: x_s=- 0/2=0. Symmetrilinjen är alltså x_s=0.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Hitta extrempunkt och symmetrilinje för en andragradsfunktion
Bestäm koordinaterna för extrempunkten eller ekvationen för symmetrilinjen, beroende på vad som efterfrågas.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Andragradskurvans utseende och egenskaper
Uppgift 3.1
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["b"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x_s=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["a"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["b"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["a+\\sqrt{b}","a-\\sqrt{b}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att skriva om funktionen så att den står på pq-form, dvs. så att den har en x^2-term, en x-term och konstanter.
För att hitta symmetrilinjen ställer vi upp ekvationen x^2-2ax+a^2-b=0 och börjar lösa den med pq-formeln.
Symmetrilinjen ges av den första termen så vi förenklar den.
Symmetrilinjen är alltså x_s=a.
För att hitta nollställena ska vi lösa ekvationen (x-a)^2-b=0. Man kan fortsätta på pq-formeln vi ställde upp i förra deluppgiften. Annars kan man lösa ut (x-a)^2 och dra kvadratroten ur båda led.
Funktionens nollställen är alltså x=a±sqrt(b).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
En rektangel har sidorna x+2 och 3-x.
Vad är x när arean är som störst?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,5"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att ta fram ett uttryck för arean. Det gör vi genom att multiplicera sidorna.
Arean beskrivs alltså av en andragradsfunktion med negativ x^2-term. En sådan har ett maximivärde och det antas i symmetrilinjen. Den hittar vi genom att ställa upp ekvationen - x^2+x+6=0 och använda pq-formeln.
Symmetrilinjen är den första termen, så vi förenklar den.
Symmetrilinjen är alltså x_s=0,5. Det betyder att arean är som störst när x är 0,5. Rektangelns sidor blir då x+2 ⇒ 0,5+2=2,5 och 3-x ⇒ 3-0,5=2,5. Både kort- och långsidan är 2,5 le. och rektangeln blir alltså en kvadrat.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"choice","form":{"alts":["k< 0","k> 0","k\u2264 0","k\u2265 0"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["b"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"a=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-b"]}}
security
report
code
security
report
code
Om vi skriver om funktionsuttrycket kan vi enklare avgöra vilken roll som k har.
Vi ser nu att k är koefficienten framför x^2. Eftersom vi vet att kurvan har en maximipunkt innebär det en sur mun
vilket betyder att k ska vara negativ. Vi kan även skriva det som k < 0.
Med hjälp av nollproduktmetoden vet vi att a och b är funktionens nollställen. Från uppgiften vet vi även att grafens extrempunkt ligger på y-axeln vilket innebär att symmetrilinjen ligger på x_s=0.
Eftersom nollställena ligger symmetriskt runt symmetrilinjen måste det ena nollstället vara det andras negativa motsvarighet. Om ena nollstället exempelvis är x=-3, måste det andra vara x=3.
Om det första nollstället är b, måste alltså det andra nollstället vara a=- b. Vi skulle även lika gärna, om vi multiplicerar båda led med -1, kunna formulera det som - a=b, eller b=- a.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
I figuren visas grafen till andragradsfunktionen f.
Vilket av alternativen A--E nedan skulle kunna ange funktionen f? & A. f(x)=x^2-4x+6 & B. f(x)=- x^2-4x+6 & C. f(x)=x^2-6x+6 & D. f(x)=x^2-10x-6 & E. f(x)=x^2-10x+6
Nationella provet exempeluppgifter 2b/2c
{"type":"choice","form":{"alts":["A","B","C","D","E"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Låt oss börja med att ange allting vi vet om andragradskurvans utseende:
- Kurvan har en minimipunkt.
- Kurvan skär den positiva delen av y-axeln.
- Kurvan skär inte x-axeln så ekvationen f(x)=0 har inga reella lösningar.
Med denna information kan vi utesluta funktioner.
Minimipunkt
Andragradskurvan har en minimipunkt vilket innebär att koefficienten framför x^2-termen måste vara positiv. Därför kan vi utesluta B, vars kvadratterm är - x^2.
Skärningspunkten med y-axeln
Eftersom kurvan skär den positiva delen av y-axeln måste dessutom konstanttermen vara positiv, vilket gör att vi kan utesluta funktion D som har konstanten - 6.
Ekvationen f(x)=0
Vi testar övriga funktioner genom att undersöka om de skär x-axeln, dvs. vi undersöker antalet lösningar till ekvationerna vi får då vi sätter f(x)=0: A: &x^2-4x+6=0 C: &x^2-6x+6=0 E: &x^2-10x+6=0. Detta kan vi göra genom att titta på diskriminantens tecken i pq-formeln. Vi söker en ekvation med negativ diskriminant, eftersom det motsvarar att grafen till funktionen saknar skärning med x-axeln.
| Ekvation | p | q | ( p2)^2-q | = |
|---|---|---|---|---|
| x^2-4x+6=0 | - 4 | 6 | ( - 42)^2- 6 | -2 |
| x^2-6x+6=0 | - 6 | 6 | ( - 62)^2- 6 | 3 |
| x^2-10x+6=0 | - 10 | 6 | ( - 102)^2- 6 | 19 |
Den första och andra ekvationen har två reella lösningar, eftersom deras diskriminanter är positiva. Motsvarande funktioner skär alltså x-axeln på två ställen. Eftersom f inte skär x-axeln kan vi utesluta funktion C och E. Sammanfattningsvis kan alltså endast funktion A ange funktionensuttrycket för f.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Andragradskurvans utseende och egenskaper
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll