Andragradskurvans utseende och egenskaper

Vi börjar med att skriva om funktionen så att den står på pq-form, dvs. så att den har en x^2-term, en x-term och konstanter.

För att hitta symmetrilinjen ställer vi upp ekvationen x^2-2ax+a^2-b=0 och börjar lösa den med pq-formeln.

Symmetrilinjen ges av den första termen så vi förenklar den.

Symmetrilinjen är alltså x_s=a.

För att hitta nollställena ska vi lösa ekvationen (x-a)^2-b=0. Man kan fortsätta på pq-formeln vi ställde upp i förra deluppgiften. Annars kan man lösa ut (x-a)^2 och dra kvadratroten ur båda led.

Funktionens nollställen är alltså x=a±sqrt(b).

Vi börjar med att ta fram ett uttryck för arean. Det gör vi genom att multiplicera sidorna.

Arean beskrivs alltså av en andragradsfunktion med negativ x^2-term. En sådan har ett maximivärde och det antas i symmetrilinjen. Den hittar vi genom att ställa upp ekvationen - x^2+x+6=0 och använda pq-formeln.

Symmetrilinjen är den första termen, så vi förenklar den.

Symmetrilinjen är alltså x_s=0.5. Det betyder att arean är som störst när x är 0.5. Rektangelns sidor blir då x+2 ⇒ 0.5+2=2.5 och 3-x ⇒ 3-0.5=2.5. Både kort- och långsidan är 2.5 le. och rektangeln blir alltså en kvadrat.

Om vi skriver om funktionsuttrycket kan vi enklare avgöra vilken roll som k har.

Vi ser nu att k är koefficienten framför x^2. Eftersom vi vet att kurvan har en maximipunkt innebär det en "sur mun" vilket betyder att k ska vara negativ. Vi kan även skriva det som k < 0.

Med hjälp av nollproduktmetoden vet vi att a och b är funktionens nollställen. Från uppgiften vet vi även att grafens extrempunkt ligger på y-axeln vilket innebär att symmetrilinjen ligger på x_s=0.

Eftersom nollställena ligger symmetriskt runt symmetrilinjen måste det ena nollstället vara det andras negativa motsvarighet. Om ena nollstället exempelvis är x=-3, måste det andra vara x=3.

Om det första nollstället är b, måste alltså det andra nollstället vara a=- b. Vi skulle även lika gärna, om vi multiplicerar båda led med -1, kunna formulera det som - a=b, eller b=- a.

Låt oss börja med att ange allting vi vet om andragradskurvans utseende:

• Kurvan har en minimipunkt.
• Kurvan skär den positiva delen av y-axeln.
• Kurvan skär inte x-axeln så ekvationen f(x)=0 har inga reella lösningar.

Med denna information kan vi utesluta funktioner.

Minimipunkt

Andragradskurvan har en minimipunkt vilket innebär att koefficienten framför x^2-termen måste vara positiv. Därför kan vi utesluta B, vars kvadratterm är - x^2.

Skärningspunkten med y-axeln

Eftersom kurvan skär den positiva delen av y-axeln måste dessutom konstanttermen vara positiv, vilket gör att vi kan utesluta funktion D som har konstanten - 6.

Ekvationen f(x)=0

Vi testar övriga funktioner genom att undersöka om de skär x-axeln, dvs. vi undersöker antalet lösningar till ekvationerna vi får då vi sätter f(x)=0: A: &x^2-4x+6=0 C: &x^2-6x+6=0 E: &x^2-10x+6=0. Detta kan vi göra genom att titta på diskriminantens tecken i pq-formeln. Vi söker en ekvation med negativ diskriminant, eftersom det motsvarar att grafen till funktionen saknar skärning med x-axeln.

Den första och andra ekvationen har två reella lösningar, eftersom deras diskriminanter är positiva. Motsvarande funktioner skär alltså x-axeln på två ställen. Eftersom f inte skär x-axeln kan vi utesluta funktion C och E. Sammanfattningsvis kan alltså endast funktion A ange funktionensuttrycket för f.