mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more Community
Community expand_more
menu_open Stäng
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
Expandera meny menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
article Artikel
menu_book Lösningar till böcker
school eKurser
question_answer Community
description Uppgiftsblad
calculate Math Solver
arrow_back arrow_forward

De komplexa talen innehåller bl.a. alla reella tal — de har imaginärdelen och består därför bara av en realdel. Dessa tal brukar representeras på en tallinje.

Men hur representerar man övriga komplexa tal, där imaginärdelen inte är Jo, med hjälp av ett koordinatsystem.

Begrepp

Det komplexa talplanet

Genom att låta den horisontella och vertikala axeln i ett koordinatsystem representera reella respektive imaginära värden får man det komplexa talplanet. En punkt i detta plan beskriver då ett komplext tal, där real- och imaginärdelen kan läsas av som punktens koordinater på reella respektive imaginära axeln.

fullscreen
Uppgift

Talen och har markerats i det komplexa talplanet.

Bestäm talet och markera det i talplanet.

Visa Lösning
Lösning

Vi börjar med att bestämma talen och på formen genom att läsa av respektive tals real- och imaginärdel på axlarna.

Koordinaterna för är så talet är För är koordinaterna så det komplexa talet är Nu adderar vi och för att bestämma
Till sist markerar vi i talplanet. Realdelen ska vara och imaginärdelen så koordinaterna är

Begrepp

Komplexa tal som vektorer

Komplexa tal kan alltså beskrivas som punkter i det komplexa talplanet. Men de kan också beskrivas av vektorer som utgår från origo och "pekar på" punkterna.

Dessa vektorer definieras av sin längd och riktning, som i detta sammanhang brukar kallas absolutbelopp och argument.

Begrepp

Absolutbelopp

Utvidgningen av den reella tallinjen till det komplexa talplanet ger en bredare innebörd av begreppet absolutbelopp. För ett reellt tal är det avståndet mellan talet och t.ex. är

För ett komplext tal, får begreppet en liknande innebörd: avståndet mellan punkten och origo.

Det komplexa talets absolutbelopp är alltså längden på den motsvarande vektorn, och därför kan absolutbeloppet av ett komplext tal beräknas med formeln för en vektors längd.

Begrepp

Argument

För att beskriva vektorns riktning använder man vinkeln mellan vektorn och den positiva reella axeln, på samma sätt som man representerar vinklar i enhetscirkeln. Denna vinkel kallas för det komplexa talets argument,

Man väljer ofta att argumentet ska ligga mellan och men det är inte ovanligt att använda intervallet

Begrepp

Polära koordinater

Med hjälp av absolutbelopp och argument kan man nu entydigt bestämma alla komplexa tal. När man definierar en punkt med ett avstånd och en vinkel på detta sätt använder man så kallade polära koordinater. De brukar då betecknas med och
Ett komplext tal kan alltså beskrivas antingen på formen eller med absolutbeloppet och argumentet
fullscreen
Uppgift

Bestäm absolutbelopp och argument för det komplexa talet Avrunda till en decimal.

Visa Lösning
Lösning

Absolutbeloppet kan vi beräkna om vi känner till talets real- och imaginärdel. Vi börjar därför med att läsa av dem.

Realdelen är och imaginärdelen är så det komplexa talet är Vi använder det för att beräkna absolutbeloppet.

Absolutbeloppet är alltså ungefär Argumentet, som vi kan kalla är vinkeln från den positiva reella axeln till vektorn som pekar på

För att bestämma kan vi börja med att bestämma dess sidovinkel. Vi kan kalla den

är en vinkel i en rätvinklig triangel med katetlängderna och Vi använder därför arctan för att beräkna den.

Eftersom är en vinkel i en triangel kan den inte vara negativ eller större än Det finns därför bara en intressant lösning till ekvationen: den där Vinkeln är alltså cirka vilket betyder att Det komplexa talet har alltså absolutbeloppet och argumentet

{{ 'ml-article-textbook-solutions-heading' | message }}

{{ 'ml-article-textbook-solutions-description' | message }}

{{ 'ml-article-textbook-solutions-expert-solutions' | message }}

{{ 'ml-article-textbook-solutions-math-solver-scanner' | message }}

{{ 'ml-article-textbook-solutions-answers-hints-steps' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-heading' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-description' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-interactive' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-chapter-tests' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-exercise-levels' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-rank-stats' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-video-lessons' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-course-theory' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-join-classroom' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-graphing-calculator' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-quiz-games' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-study-together' | message }}

{{ 'ml-article-community-heading' | message }}

{{ 'ml-article-community-description' | message }}

{{ 'ml-article-community-create-and-share-channels' | message }}

{{ 'ml-article-community-share-content-and-challenge' | message }}

{{ 'ml-article-community-cooperate-with-friends' | message }}

{{ 'ml-article-worksheets-heading' | message }}

{{ 'ml-article-worksheets-description' | message }}

{{ 'ml-article-worksheets-course1' | message }}

{{ 'ml-article-worksheets-course2' | message }}

{{ 'ml-article-worksheets-course3' | message }}

{{ 'ml-article-worksheets-course4' | message }}

{{ 'ml-article-math-solver-heading' | message }}

{{ 'ml-article-math-solver-description' | message }}

{{ 'ml-article-math-solver-photo-scan-solve' | message }}

{{ 'ml-article-math-solver-step-by-step' | message }}

{{ 'ml-article-math-solver-graph-math-problem' | message }}