Volym av en pyramid

Betrakta en kub och dela den i sex identiska pyramider med kvadratiska baser. Låt $B$ vara basarean för varje pyramid och låt $h$ vara höjden för varje pyramid. Syftet är att hitta ett uttryck för volymen av en pyramid.

Observera att volymen av varje pyramid är en sjättedel av volymen av kuben.

V_{Pyramid} = \frac{1}{6} \cdot V_{Kub}

En kub är ett prisma och dess volym kan beräknas genom att multiplicera dess basarea med höjden.

V_{Pyramid} = \frac{1}{6} \cdot V_{Kub} B_{Kub} \cdot h_{Kub}

Pyramiden och kuben har samma bas, då gäller

B_{Kub} = B .

Dessutom är kubens höjd dubbelt så stor som pyramidens höjd, så

h_{Kub} = 2 h .

Ersätt dessa uttryck på höger sida av den föregående ekvationen.

V_{Pyramid} = \frac{1}{6} \cdot B_{Kub} \cdot h_{Kub}

▼

Förenkla högerled

SubstituteII

$B_{Kub} = B$ och $h_{Kub} = 2 h$

V_{Pyramid} = \frac{1}{6} \cdot B \cdot 2 h

Kommutativa lagen för multiplikation

V_{Pyramid} = \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot B \cdot h

MoveLeftFacToNumOne

$a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b}$

V_{Pyramid} = \frac{2}{6} \cdot B \cdot h

ReduceFrac

Förkorta med $2$

V_{Pyramid} = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h

Sammanfattningsvis är volymen av en pyramid en tredjedel av basarean multiplicerat med höjden. Även om en pyramid med en kvadratisk bas användes här, kan samma resonemang tillämpas på pyramider med andra baser.

Volume av en pyramid

Bevis

Rekommenderade uppgifter