Volym och begränsningsarea

Storleken på ytan av en tvådimensionell figur kallas för area. Tredimensionella figurer, eller kroppar, består av en eller flera ytor och summan av dessa kallas för figurens begränsningsarea. Ett annat användbart mått för att beskriva tredimensionella figurer är volym, som anger hur mycket en kropp rymmer. Volym beräknas på olika sätt beroende på hur kroppen ser ut.

Regel

Rätblock

Ett rätblock är den tredimensionella motsvarigheten till en rektangel. Dess volym och begränsningsarea bestäms av längden, $l,$ bredden, $b,$ och höjden, $h.$

Regel

Kub

En kub är ett rätblock där alla kanter är lika långa, dvs. den tredimensionella motsvarigheten till en kvadrat. Volymen och begränsningsarean bestäms av längden på kanterna, $a.$

Regel

Klot

Ett klot är en bollformad kropp. Man beräknar volymen och begränsningsarean med hjälp av klotets radie, $r.$

Regel

Cylinder

En cylinder är en tredimensionell kropp där två likadana parallella cirkelskivor binds ihop av en böjd yta som kallas mantel. Vecklar man ut manteln ser man att den är en rektangel med en längd som är lika med cirkelskivornas omkrets. Volym och begränsningsarea bestäms med hjälp av cirkelskivans radie, $r,$ och cylinderns höjd, $h.$

Regel

Kon

En kon är en tredimensionell kropp som består av en cirkelformad basyta och en böjd mantelyta som skapar en spets. Volymen beräknas med basytans radie, $r,$ och höjden, $h,$ som är det vinkelräta avståndet från basytan till spetsen. Begränsningsarean beräknas istället med radien, $r,$ och avståndet från basytans kant till spetsen, $s.$

Regel

Pyramid

En pyramid är en tredimensionell kropp med basyta i form av en månghörning och tre eller fler triangelformade sidor. Volymen bestäms av basytan $B,$ och pyramidens höjd, $h,$ som är det vinkelräta avståndet från basytan till spetsen. Begränsningsarean beräknas som summan av basytans och sidytornas areor.

Beräkna volymen och begränsningsarean

Uppgift

Benno är en djupt olycklig clown och försöker muntra upp sig själv med ett nytt cirkustält.

Beräkna tältets volym och begränsningsarea.

Lösning

Vi kan se att tältet består av en cylinderformad del och en konformad del. För att bestämma tältets volym och begränsningsarea kan vi bestämma volymerna och begränsningsareorna för dessa delar separat och sedan summera dem. Vi börjar med volymen.

Exempel

Cylinderns volym

En cylinders volym beräknas med formeln

V=\pi r^2h.

I figuren ser vi att cylinderns radie,

r,

är

1

m och att höjden,

h,

är

1.5

m. Vi sätter in detta i formeln.

V=\pi r^2h

r={\color{#0000FF}{1}}

,

h={\color{#009600}{1.5}}

V=\pi\cdot{\color{#0000FF}{1}}^2\cdot{\color{#009600}{1.5}}

Förenkla potens

V=\pi \cdot 1 \cdot1.5

Multiplicera faktorer

V=1.5\pi

Volymen av cylindern är

1.5\pi

m

^3.

Exempel

Konens volym

Konens volym beräknas med formeln

V=\dfrac{\pi r^2h}{3}.

Eftersom konens radie,

r,

är samma som cylinderns vet vi att den är

1

m. Konens höjd,

h,

är

0.5

m.

V=\dfrac{\pi r^2h}{3}

r={\color{#0000FF}{1}}

,

h={\color{#009600}{0.5}}

V=\dfrac{\pi\cdot{\color{#0000FF}{1}}^2\cdot{\color{#009600}{0.5}}}{3}

Förenkla potens & produkt

V=\dfrac{\pi\cdot0.5}{3}

Omarrangera faktorer

V=\dfrac{0.5\pi}{3}

Konens volym är

\frac{0.5\pi}{3}

m

^3.

Exempel

Tältets volym

Nu beräknar vi tältets volym,

V_t,

genom att summera volymen av cylinderns och konens volym.

V_t=1.5\pi+\dfrac{0.5\pi}{3}

a = \dfrac{3\cdot a}{3}

V_t=\dfrac{3\cdot 1.5\pi}{3}+\dfrac{0.5\pi}{3}

Multiplicera faktorer

V_t=\dfrac{4.5\pi}{3}+\dfrac{0.5\pi}{3}

Addera bråk

V_t=\dfrac{5\pi}{3}

Tältets totala volym är

\frac{5\pi}{3}

m

^3.

Nu bestämmer vi tältets begränsningsarea.

Exempel

Cylinderns begränsningsarea

När vi beräknar cylinderns begränsningsarea måste vi tänka på att den inte har något lock eller botten. Det innebär att vi endast behöver beräkna mantelarean. Det gör vi med formeln

A=2\pi r h.

Vi känner till cylinderns radie och höjd så vi sätter in dem i formeln.

A=2\pi r h

r={\color{#0000FF}{1}}

,

h={\color{#009600}{1.5}}

A=2\pi\cdot{\color{#0000FF}{1}}\cdot{\color{#009600}{1.5}}

Multiplicera faktorer

A=3\pi

Mantelarean är

3\pi \text{ m}^2.

Nu bestämmer vi begränsningsarean för den konformade delen av tältet.

Exempel

Konens begränsningsarea

Eftersom vi inte har någon basyta att ta hänsyn till behöver vi bara bestämma konens mantelarea. Det gör vi med formeln $A=\pi r s.$ Sedan tidigare vet vi att radien är $1$ m och avståndet $s,$ från basytans kant till spetsen, kan vi läsa av från figuren till $1.1$ m. Vi sätter in detta i formeln. $A=\pi\cdot1\cdot1.1=1.1\pi$ Begränsningsarean är alltså $1.1\pi$ m $^2$ för den konformade delen.

Exempel

Tältets begränsningsarea

Till sist summerar vi begränsningsareorna för cylindern och konen för att bestämma tältets totala begränsningsarea, $A_t.$ $A_t=3\pi+1.1\pi=4.1\pi\text{ m}^2$

Visa lösning

Metod

Omvandla volymenheter

Ibland kan man vilja byta enhet när man ska ange en volym. Genom att multiplicera eller dividera med $1000$ ett visst antal gånger kan man växla mellan de vanligaste volymenheterna. För vätskor brukar man använda enheten liter, som motsvarar $\text{dm}^3,$ eller varianter av den, t.ex. milliliter.

Vill man omvandla från exempelvis kubikdecimeter till kubikcentimeter måste man dividera med $1000,$ eftersom det går $1000$ cm $^3$ på $1$ dm $^3.$ På motsvarande sätt multiplicerar man med $1000$ för att omvandla från kubikdecimeter till kubikcentimeter. Volymen $2500 \text{ cm}^3$ kan alltså skrivas om som