mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more Community
Community expand_more
menu_open Stäng
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
Expandera meny menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
close expand
Geometri

Volym och begränsningsarea


Storleken på ytan av en tvådimensionell figur kallas för area. Tredimensionella figurer, eller kroppar, består av en eller flera ytor och summan av dessa kallas för figurens begränsningsarea. Ett annat användbart mått för att beskriva tredimensionella figurer är volym, som anger hur mycket en kropp rymmer. Volym beräknas på olika sätt beroende på hur kroppen ser ut.

Regel

Rätblock

Ett rätblock är den tredimensionella motsvarigheten till en rektangel. Dess volym och begränsningsarea bestäms av längden, l, bredden, b, och höjden, h.
Formler-rätblock.svg

Regel

Kub

En kub är ett rätblock där alla kanter är lika långa, dvs. den tredimensionella motsvarigheten till en kvadrat. Volymen och begränsningsarean bestäms av längden på kanterna, a.
Formler-kub.svg

Regel

Klot

Ett klot är en bollformad kropp. Man beräknar volymen och begränsningsarean med hjälp av klotets radie, r.
Formler-klot.svg

Regel

Cylinder

En cylinder är en tredimensionell kropp där två likadana parallella cirkelskivor binds ihop av en böjd yta som kallas mantel. Vecklar man ut manteln ser man att den är en rektangel med en längd som är lika med cirkelskivornas omkrets. Volym och begränsningsarea bestäms med hjälp av cirkelskivans radie, r, och cylinderns höjd, h.
Formler-cylinder.svg

Regel

Kon

En kon är en tredimensionell kropp som består av en cirkelformad basyta och en böjd mantelyta som skapar en spets. Volymen beräknas med basytans radie, r, och höjden, h, som är det vinkelräta avståndet från basytan till spetsen. Begränsningsarean beräknas istället med radien, r, och avståndet från basytans kant till spetsen, s.
Formler-kon.svg

Regel

Pyramid

En pyramid är en tredimensionell kropp med basyta i form av en månghörning och tre eller fler triangelformade sidor. Volymen bestäms av basytan B, och pyramidens höjd, h, som är det vinkelräta avståndet från basytan till spetsen. Begränsningsarean beräknas som summan av basytans och sidytornas areor.
Formler-pyramid.svg
fullscreen
Uppgift

Benno är en djupt olycklig clown och försöker muntra upp sig själv med ett nytt cirkustält.

Bennostält-a.svg

Beräkna tältets volym och begränsningsarea.

Visa Lösning
Lösning
Vi kan se att tältet består av en cylinderformad del och en konformad del. För att bestämma tältets volym och begränsningsarea kan vi bestämma volymerna och begränsningsareorna för dessa delar separat och sedan summera dem. Vi börjar med volymen.

Exempel

Cylinderns volym

En cylinders volym beräknas med formeln
V=πr2h.
I figuren ser vi att cylinderns radie, r, är 1 m och att höjden, h, är 1.5 m. Vi sätter in detta i formeln.
V=πr2h
V=π121.5

Förenkla potens

V=π11.5
V=1.5π
Volymen av cylindern är 1.5π m3.

Exempel

Konens volym

Konens volym beräknas med formeln
Eftersom konens radie, r, är samma som cylinderns vet vi att den är 1 m. Konens höjd, h, är 0.5 m.
Konens volym är m3.

Exempel

Tältets volym

Nu beräknar vi tältets volym, genom att summera volymen av cylinderns och konens volym.
Tältets totala volym är m3. Nu bestämmer vi tältets begränsningsarea.

Exempel

Cylinderns begränsningsarea

När vi beräknar cylinderns begränsningsarea måste vi tänka på att den inte har något lock eller botten. Det innebär att vi endast behöver beräkna mantelarean. Det gör vi med formeln
A=2πrh.
Vi känner till cylinderns radie och höjd så vi sätter in dem i formeln.
A=2πrh
A=2π11.5
A=3π
Mantelarean är 3π m2. Nu bestämmer vi begränsningsarean för den konformade delen av tältet.

Exempel

Konens begränsningsarea

Eftersom vi inte har någon basyta att ta hänsyn till behöver vi bara bestämma konens mantelarea. Det gör vi med formeln
A=πrs.
Sedan tidigare vet vi att radien är 1 m och avståndet s, från basytans kant till spetsen, kan vi läsa av från figuren till 1.1 m. Vi sätter in detta i formeln.
A=π11.1=1.1π
Begränsningsarean är alltså 1.1π m2 för den konformade delen.

Exempel

Tältets begränsningsarea

Till sist summerar vi begränsningsareorna för cylindern och konen för att bestämma tältets totala begränsningsarea,

Metod

Omvandla volymenheter

Ibland kan man vilja byta enhet när man ska ange en volym. Genom att multiplicera eller dividera med 1000 ett visst antal gånger kan man växla mellan de vanligaste volymenheterna. För vätskor brukar man använda enheten liter, som motsvarar dm3, eller varianter av den, t.ex. milliliter.

Omvandla volymenheter.svg

Vill man omvandla från exempelvis kubikdecimeter till kubikcentimeter måste man dividera med 1000, eftersom det går 1000 cm31 dm3. På motsvarande sätt multiplicerar man med 1000 för att omvandla från kubikdecimeter till kubikcentimeter. Volymen 2500 cm3 kan alltså skrivas om som

arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right