Volym och begränsningsarea

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Storleken på ytan av en tvådimensionell figur kallas för area. Tredimensionella figurer, eller kroppar, består av en eller flera ytor och summan av dessa kallas för figurens begränsningsarea. Ett annat användbart mått för att beskriva tredimensionella figurer är volym, som anger hur mycket en kropp rymmer. Volym beräknas på olika sätt beroende på hur kroppen ser ut.
Regel

Rätblock

Ett rätblock är den tredimensionella motsvarigheten till en rektangel. Dess volym och begränsningsarea bestäms av längden, l,l, bredden, b,b, och höjden, h.h.

Formler-rätblock.svg
Regel

Kub

En kub är ett rätblock där alla kanter är lika långa, dvs. den tredimensionella motsvarigheten till en kvadrat. Volymen och begränsningsarean bestäms av längden på kanterna, a.a.

Formler-kub.svg
Regel

Klot

Ett klot är en bollformad kropp. Man beräknar volymen och begränsningsarean med hjälp av klotets radie, r.r.

Formler-klot.svg
Regel

Cylinder

En cylinder är en tredimensionell kropp där två likadana parallella cirkelskivor binds ihop av en böjd yta som kallas mantel. Vecklar man ut manteln ser man att den är en rektangel med en längd som är lika med cirkelskivornas omkrets. Volym och begränsningsarea bestäms med hjälp av cirkelskivans radie, r,r, och cylinderns höjd, h.h.

Formler-cylinder.svg
Regel

Kon

En kon är en tredimensionell kropp som består av en cirkelformad basyta och en böjd mantelyta som skapar en spets. Volymen beräknas med basytans radie, r,r, och höjden, h,h, som är det vinkelräta avståndet från basytan till spetsen. Begränsningsarean beräknas istället med radien, r,r, och avståndet från basytans kant till spetsen, s.s.

Formler-kon.svg
Regel

Pyramid

En pyramid är en tredimensionell kropp med basyta i form av en månghörning och tre eller fler triangelformade sidor. Volymen bestäms av basytan B,B, och pyramidens höjd, h,h, som är det vinkelräta avståndet från basytan till spetsen. Begränsningsarean beräknas som summan av basytans och sidytornas areor.

Formler-pyramid.svg
Uppgift

Benno är en djupt olycklig clown och försöker muntra upp sig själv med ett nytt cirkustält.

Bennostält-a.svg

Beräkna tältets volym och begränsningsarea.

Lösning

Vi kan se att tältet består av en cylinderformad del och en konformad del. För att bestämma tältets volym och begränsningsarea kan vi bestämma volymerna och begränsningsareorna för dessa delar separat och sedan summera dem. Vi börjar med volymen.

Exempel

Cylinderns volym

En cylinders volym beräknas med formeln V=πr2h. V=\pi r^2h. I figuren ser vi att cylinderns radie, r,r, är 11 m och att höjden, h,h, är 1.51.5 m. Vi sätter in detta i formeln.
V=πr2hV=\pi r^2h
r=1r={\color{#0000FF}{1}}, h=1.5h={\color{#009600}{1.5}}
V=π121.5V=\pi\cdot{\color{#0000FF}{1}}^2\cdot{\color{#009600}{1.5}}
Förenkla potens
V=π11.5V=\pi \cdot 1 \cdot1.5
V=1.5πV=1.5\pi
Volymen av cylindern är 1.5π1.5\pi m3.^3.
Exempel

Konens volym

Konens volym beräknas med formeln V=πr2h3. V=\dfrac{\pi r^2h}{3}. Eftersom konens radie, r,r, är samma som cylinderns vet vi att den är 11 m. Konens höjd, h,h, är 0.50.5 m.
V=πr2h3V=\dfrac{\pi r^2h}{3}
r=1r={\color{#0000FF}{1}}, h=0.5h={\color{#009600}{0.5}}
V=π120.53V=\dfrac{\pi\cdot{\color{#0000FF}{1}}^2\cdot{\color{#009600}{0.5}}}{3}
V=π0.53V=\dfrac{\pi\cdot0.5}{3}
V=0.5π3V=\dfrac{0.5\pi}{3}
Konens volym är 0.5π3\frac{0.5\pi}{3} m3.^3.
Exempel

Tältets volym

Nu beräknar vi tältets volym, Vt,V_t, genom att summera volymen av cylinderns och konens volym.
Vt=1.5π+0.5π3V_t=1.5\pi+\dfrac{0.5\pi}{3}
Vt=31.5π3+0.5π3V_t=\dfrac{3\cdot 1.5\pi}{3}+\dfrac{0.5\pi}{3}
Vt=4.5π3+0.5π3V_t=\dfrac{4.5\pi}{3}+\dfrac{0.5\pi}{3}
Vt=5π3V_t=\dfrac{5\pi}{3}
Tältets totala volym är 5π3\frac{5\pi}{3} m3.^3. Nu bestämmer vi tältets begränsningsarea.
Exempel

Cylinderns begränsningsarea

När vi beräknar cylinderns begränsningsarea måste vi tänka på att den inte har något lock eller botten. Det innebär att vi endast behöver beräkna mantelarean. Det gör vi med formeln A=2πrh. A=2\pi r h. Vi känner till cylinderns radie och höjd så vi sätter in dem i formeln.
A=2πrhA=2\pi r h
r=1r={\color{#0000FF}{1}}, h=1.5h={\color{#009600}{1.5}}
A=2π11.5A=2\pi\cdot{\color{#0000FF}{1}}\cdot{\color{#009600}{1.5}}
A=3πA=3\pi
Mantelarean är 3π m2.3\pi \text{ m}^2. Nu bestämmer vi begränsningsarean för den konformade delen av tältet.
Exempel

Konens begränsningsarea

Eftersom vi inte har någon basyta att ta hänsyn till behöver vi bara bestämma konens mantelarea. Det gör vi med formeln A=πrs. A=\pi r s. Sedan tidigare vet vi att radien är 11 m och avståndet s,s, från basytans kant till spetsen, kan vi läsa av från figuren till 1.11.1 m. Vi sätter in detta i formeln. A=π11.1=1.1π A=\pi\cdot1\cdot1.1=1.1\pi Begränsningsarean är alltså 1.1π1.1\pi m2^2 för den konformade delen.

Exempel

Tältets begränsningsarea

Till sist summerar vi begränsningsareorna för cylindern och konen för att bestämma tältets totala begränsningsarea, At.A_t. At=3π+1.1π=4.1π m2 A_t=3\pi+1.1\pi=4.1\pi\text{ m}^2

Visa lösning Visa lösning
Metod

Omvandla volymenheter

Ibland kan man vilja byta enhet när man ska ange en volym. Genom att multiplicera eller dividera med 10001000 ett visst antal gånger kan man växla mellan de vanligaste volymenheterna. För vätskor brukar man använda enheten liter, som motsvarar dm3,\text{dm}^3, eller varianter av den, t.ex. milliliter.

Omvandla volymenheter.svg

Vill man omvandla från exempelvis kubikdecimeter till kubikcentimeter måste man dividera med 1000,1000, eftersom det går 10001000 cm3^311 dm3.^3. På motsvarande sätt multiplicerar man med 10001000 för att omvandla från kubikdecimeter till kubikcentimeter. Volymen 2500 cm32500 \text{ cm}^3 kan alltså skrivas om som

25001000=2.5 dm3. \dfrac{2500}{1000}=2.5 \text{ dm}^3.

Uppgifter

{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}