Volym och begränsningsarea

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Storleken på ytan av en tvådimensionell figur kallas för area. Tredimensionella figurer, eller kroppar, består av en eller flera ytor och summan av dessa kallas för figurens begränsningsarea. Ett annat användbart mått för att beskriva tredimensionella figurer är volym, som anger hur mycket en kropp rymmer. Volym beräknas på olika sätt beroende på hur kroppen ser ut.
Regel

Rätblock

Ett rätblock är den tredimensionella motsvarigheten till en rektangel. Dess volym och begränsningsarea bestäms av längden, l,l, bredden, b,b, och höjden, h.h.

Formler-rätblock.svg
Regel

Kub

En kub är ett rätblock där alla kanter är lika långa, dvs. den tredimensionella motsvarigheten till en kvadrat. Volymen och begränsningsarean bestäms av längden på kanterna, a.a.

Formler-kub.svg
Regel

Klot

Ett klot är en bollformad kropp. Man beräknar volymen och begränsningsarean med hjälp av klotets radie, r.r.

Formler-klot.svg
Regel

Cylinder

En cylinder är en tredimensionell kropp där två likadana parallella cirkelskivor binds ihop av en böjd yta som kallas mantel. Vecklar man ut manteln ser man att den är en rektangel med en längd som är lika med cirkelskivornas omkrets. Volym och begränsningsarea bestäms med hjälp av cirkelskivans radie, r,r, och cylinderns höjd, h.h.

Formler-cylinder.svg
Regel

Kon

En kon är en tredimensionell kropp som består av en cirkelformad basyta och en böjd mantelyta som skapar en spets. Volymen beräknas med basytans radie, r,r, och höjden, h,h, som är det vinkelräta avståndet från basytan till spetsen. Begränsningsarean beräknas istället med radien, r,r, och avståndet från basytans kant till spetsen, s.s.

Formler-kon.svg
Regel

Pyramid

En pyramid är en tredimensionell kropp med basyta i form av en månghörning och tre eller fler triangelformade sidor. Volymen bestäms av basytan B,B, och pyramidens höjd, h,h, som är det vinkelräta avståndet från basytan till spetsen. Begränsningsarean beräknas som summan av basytans och sidytornas areor.

Formler-pyramid.svg
Uppgift

Benno är en djupt olycklig clown och försöker muntra upp sig själv med ett nytt cirkustält.

Bennostält-a.svg

Beräkna tältets volym och begränsningsarea.

Lösning

Vi kan se att tältet består av en cylinderformad del och en konformad del. För att bestämma tältets volym och begränsningsarea kan vi bestämma volymerna och begränsningsareorna för dessa delar separat och sedan summera dem. Vi börjar med volymen.

Exempel

Cylinderns volym

En cylinders volym beräknas med formeln V=πr2h. V=\pi r^2h. I figuren ser vi att cylinderns radie, r,r, är 11 m och att höjden, h,h, är 1.51.5 m. Vi sätter in detta i formeln.
V=πr2hV=\pi r^2h
r=1r={\color{#0000FF}{1}}, h=1.5h={\color{#009600}{1.5}}
V=π121.5V=\pi\cdot{\color{#0000FF}{1}}^2\cdot{\color{#009600}{1.5}}
Förenkla potens
V=π11.5V=\pi \cdot 1 \cdot1.5
V=1.5πV=1.5\pi
Volymen av cylindern är 1.5π1.5\pi m3.^3.
Exempel

Konens volym

Konens volym beräknas med formeln V=πr2h3. V=\dfrac{\pi r^2h}{3}. Eftersom konens radie, r,r, är samma som cylinderns vet vi att den är 11 m. Konens höjd, h,h, är 0.50.5 m.
V=πr2h3V=\dfrac{\pi r^2h}{3}
r=1r={\color{#0000FF}{1}}, h=0.5h={\color{#009600}{0.5}}
V=π120.53V=\dfrac{\pi\cdot{\color{#0000FF}{1}}^2\cdot{\color{#009600}{0.5}}}{3}
V=π0.53V=\dfrac{\pi\cdot0.5}{3}
V=0.5π3V=\dfrac{0.5\pi}{3}
Konens volym är 0.5π3\frac{0.5\pi}{3} m3.^3.
Exempel

Tältets volym

Nu beräknar vi tältets volym, Vt,V_t, genom att summera volymen av cylinderns och konens volym.
Vt=1.5π+0.5π3V_t=1.5\pi+\dfrac{0.5\pi}{3}
Vt=31.5π3+0.5π3V_t=\dfrac{3\cdot 1.5\pi}{3}+\dfrac{0.5\pi}{3}
Vt=4.5π3+0.5π3V_t=\dfrac{4.5\pi}{3}+\dfrac{0.5\pi}{3}
Vt=5π3V_t=\dfrac{5\pi}{3}
Tältets totala volym är 5π3\frac{5\pi}{3} m3.^3. Nu bestämmer vi tältets begränsningsarea.
Exempel

Cylinderns begränsningsarea

När vi beräknar cylinderns begränsningsarea måste vi tänka på att den inte har något lock eller botten. Det innebär att vi endast behöver beräkna mantelarean. Det gör vi med formeln A=2πrh. A=2\pi r h. Vi känner till cylinderns radie och höjd så vi sätter in dem i formeln.
A=2πrhA=2\pi r h
r=1r={\color{#0000FF}{1}}, h=1.5h={\color{#009600}{1.5}}
A=2π11.5A=2\pi\cdot{\color{#0000FF}{1}}\cdot{\color{#009600}{1.5}}
A=3πA=3\pi
Mantelarean är 3π m2.3\pi \text{ m}^2. Nu bestämmer vi begränsningsarean för den konformade delen av tältet.
Exempel

Konens begränsningsarea

Eftersom vi inte har någon basyta att ta hänsyn till behöver vi bara bestämma konens mantelarea. Det gör vi med formeln A=πrs. A=\pi r s. Sedan tidigare vet vi att radien är 11 m och avståndet s,s, från basytans kant till spetsen, kan vi läsa av från figuren till 1.11.1 m. Vi sätter in detta i formeln. A=π11.1=1.1π A=\pi\cdot1\cdot1.1=1.1\pi Begränsningsarean är alltså 1.1π1.1\pi m2^2 för den konformade delen.

Exempel

Tältets begränsningsarea

Till sist summerar vi begränsningsareorna för cylindern och konen för att bestämma tältets totala begränsningsarea, At.A_t. At=3π+1.1π=4.1π m2 A_t=3\pi+1.1\pi=4.1\pi\text{ m}^2

Visa lösning Visa lösning
Metod

Omvandla volymenheter

Ibland kan man vilja byta enhet när man ska ange en volym. Genom att multiplicera eller dividera med 10001000 ett visst antal gånger kan man växla mellan de vanligaste volymenheterna. För vätskor brukar man använda enheten liter, som motsvarar dm3,\text{dm}^3, eller varianter av den, t.ex. milliliter.

Omvandla volymenheter.svg

Vill man omvandla från exempelvis kubikdecimeter till kubikcentimeter måste man dividera med 1000,1000, eftersom det går 10001000 cm3^311 dm3.^3. På motsvarande sätt multiplicerar man med 10001000 för att omvandla från kubikdecimeter till kubikcentimeter. Volymen 2500 cm32500 \text{ cm}^3 kan alltså skrivas om som

25001000=2.5 dm3. \dfrac{2500}{1000}=2.5 \text{ dm}^3.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna volymen av följande kroppar. Avrunda till en decimal.

a
Uppgift2378 a.svg
b
Uppgift2378 b.svg
c
Uppgift2378 c.svg
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna begränsningsarean för följande figurer. Avrunda till heltal.

a
Uppgift2379 a.svg
b
Uppgift2379 b.svg
c
Uppgift2379 c.svg
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Louvren är Frankrikes största nationalmuseum och ligger i Paris. Det känns kanske mest igen genom sin karaktäristiska glaspyramid som reser sig 21.621.6 meter över marken. Pyramidens basyta är en kvadrat med sidan 35.435.4 m. Bestäm Louvrepyramidens volym.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Nedan visas några mätvärden med enheter.

NP-mätvärden.svg

Några av dessa går att addera. Bestäm vilka och beräkna deras totala summa.

Nationella provet VT05 Ma A
1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Skriv 2.5 cm32.5 \text{ cm}^3 i mm3.\text{mm}^3.

b

Skriv 79 dm379 \text{ dm}^3 i m3.\text{m}^3.

c

Skriv 66 liter i dm3.\text{dm}^3.

d

Skriv 795 mm3795 \text{ mm}^3 i liter.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En glasstrut har följande mått.


a

Hur stor yta måste kexet struten är gjord av minst ha? Svara i hela cm3.\text{cm}^3.

b

Hur många deciliter glass får det plats om man antar att delen ovanför struten är en halv glasskula? Avrunda till en decimal.

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sanna ska ta 1515 ml medicin två gånger per dag. Hur många dagar räcker en flaska med 0.30.3 liter medicin?

Nationella provet VT10 MaA
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När Peter och Lisa var på café blev de serverade mjölk till kaffet i en regelbunden tetraeder. Lisa visste att man kan räkna ut volymen av en sådan förpackning med hjälp av formeln: V=k3212dr a¨k motsvarar kantlngden.a¨ V=\dfrac{k^3\cdot \sqrt{2}}{12} \quad \text{där } k \text{ motsvarar kantlängden.} Peter mätte kantens längd på tetraedern till 66 cm och beräknade volymen med hjälp av formeln. På förpackningen står att den innehåller 22 cl mjölk. Ryms det i förpackningen? Motivera ditt svar med beräkningar.

NP-tetrapak.svg
Nationella provet VT10 MaA
2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En golfbolls diameter är 4.124.12 cm. Hur stor andel av askens volym upptas av golfbollar? Avrunda till hela procent.

Golfboll.svg
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur många kvadratcentimeter plast går det åt till att konstruera 100100 ihåliga vägkoner som den i figuren? Svara i hela tusental.

Trafikkon.svg
2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Små lådor med yttermåtten 4 cm×4 cm×4 cm4 \text{ cm} \times 4 \text{ cm} \times 4 \text{ cm} ska packas i en kartong med innermåtten 24 cm×21 cm24 \text{ cm}\times 21 \text{ cm}\, ×18 cm. \times \, 18 \text{ cm}. Hur många små lådor får högst plats i kartongen?

NP-kartong.svg
Nationella provet HT00 MaA
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett tomt akvarium i form av ett rätblock har följande innermått: 1.01.0 m långt och 4.04.0 dm brett.

a

Hur högt upp når vattnet om man häller i 1010 liter?

b

Ett annat tomt akvarium är hälften så långt och hälften så brett. Om man häller i 10 liter vatten även i detta akvarium påstår Peter att vattnet kommer att nå dubbelt så högt upp. Är det sant? Motivera ditt svar.

NP-akvarium.svg
Nationella provet VT12 1a
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett rektangulärt papper kan rullas ihop till ett rör (en cylinder) som figuren visar.

NP-rullat-papper1.svg

Ett rör tillverkas av ett kvadratiskt papper med sidan 1010 cm.

a

Rörets diameter blir cirka 3.23.2 cm. Bestäm rörets (cylinderns) volym.

b

Visa att rörets diameter blir cirka 3.23.2 cm då pappret har sidan 1010 cm.

Om längd och bredd är olika långa kan man tillverka två olika rör (cylindrar) beroende på hur pappret rullas.

NP-rullat-papper2.svg


c

Av rektangulära papper med måtten 10 cm×20 cm10 \text{ cm} \times 20 \text{ cm} tillverkas två olika rör. Bestäm volymerna på de två rören (cylindrarna).

d

Jämför dessa båda volymer och bestäm förhållandet mellan volymerna.

e

Undersök förhållandet mellan cylindervolymerna från papper med andra mått på sidorna. Vad påverkar volymförhållandet mellan den höga och låga cylindern?

f

Visa att din upptäckt gäller för alla rektangulära papper.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}