{{ option.label }} add
menu_book {{ printedBook.name}}
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
Derivata

Vad är derivata

{{ 'ml-article-collection-answers-hints-solutions' | message }}
tune
{{ topic.label }}
{{tool}}
{{ result.displayTitle }}
{{ result.subject.displayTitle }}
navigate_next

Kanaler

Direktmeddelanden

Begrepp

Derivata

Lutningen i en punkt har så stor användning inom matematiken att det fått ett eget namn: derivata. Derivatan för en funktion i en viss punkt är k-värdet för den tangent som kan ritas genom den punkten. För en rät linje är derivatan samma i alla punkter eftersom lutningen är konstant, men om funktionens lutning varierar kommer även derivatan att göra det.

Detta betyder att derivatan är

  • negativ när funktionen är avtagande ( ).
  • positiv när funktionen är växande ( ).
  • 0 när funktionen har maximi-, minimi- eller terrasspunkt.

Ju brantare kurvan är desto större blir värdet för derivatan, med positiva värden för positiva lutningar och negativa värden för negativa lutningar.

Förstagradsfunktion

Andragradsfunktion


Tredjegradsfunktion

Notation

Derivata:
Derivatan för funktionen f(x) i en punkt med x-koordinaten a brukar skrivas
vilket utläses f prim av a. Exempelvis betyder "derivatan för funktionen f(x) i punkten där x=1".

Begrepp

Derivatans nollställen

I maximi-, minimi- och terrasspunkter har funktioner varken positiv eller negativ lutning. Sådana punkter kallas stationära och har derivatan 0 eftersom tangenter som ritas genom dem är horisontella.
I en stationär punkt där x=a gäller alltså alltid att
Omvänt gäller också att man kan hitta stationära punkter genom att undersöka var derivatan är 0. När man anger om den stationära punkten är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt säger man att man anger dess karaktär.

Exempel

Vilket tecken har derivatan?

fullscreen

I figuren visas grafen till funktionen f(x).

Derivatan i punkten där x=-5 är positiv. Fyll i derivatans tecken för de givna x-värdena i tabellen.

x Derivatans tecken
-5 +
-2.5
0
3
6
Visa Lösning expand_more

Vi tittar på punkterna från vänster till höger.

Punkten där x=-2.5 är ett lokalt maximum där grafen varken lutar uppåt eller nedåt. Det innebär att derivatan är 0 där, dvs. att För x=0 är lutningen negativ, och då är även derivatan negativ.

x Derivatans tecken
-5 +
-2.5 0
0
3
6

Vi tittar på de två sista punkterna. För x=3 lutar grafen uppåt, så är positiv, och för x=6 lutar grafen nedåt. Därför är negativ.

x Derivatans tecken
-5 +
-2.5 0
0
3 +
6

Metod

Uppskatta derivata grafiskt

Ett sätt att uppskatta derivatan i en graf är att rita en tangent genom den punkt man är intresserad av och bestämma linjens lutning. Denna metod kan exempelvis användas för att uppskatta värdet av med hjälp av figuren.

1
Rita en tangent i punkten och bestäm dess lutning
expand_more

Börja med att rita en tangent och bestäm dess lutning i tangeringspunkten. I exemplet är det som ska bestämmas, dvs. derivatan där x=-2.


Här används tangeringspunkten (-2,-3) och punkten (-6,3) för att bestämma tangentens lutning till
2
Tolka lutningen som derivata
expand_more
Eftersom derivatan är lutningen i en viss punkt, och en tangents lutning anger just detta är

Exempel

Vad är derivatans värde?

fullscreen

Grafen till funktionen f(x) har ritats ut tillsammans med två tangenter.

Bestäm
Visa Lösning expand_more

Derivatan

Derivatans värde är grafens lutning i den punkten, så är lutningen när x=-4. Det finns dock redan en tangent i tangeringspunkten (-4,4), så vi behöver inte rita ut något.

För att bestämma tangentens lutning behöver vi två punkter på den. Vi känner redan till en, och tangenten går genom flera andra punkter. Vi väljer (-1,-2).

Vi sätter in punkterna i formeln för att räkna ut en linjes riktningskoefficient:
Tangenten i punkten (-4,4) har lutningen -2 vilket innebär att det även är värdet för derivatan i den punkten. Man får alltså att

Derivatan

För tittar vi på grafen när x=0. Det finns ingen tangent utritad för det x-värdet, men punkten (0,0) är ett lokalt minimum där kurvans lutning är lika med 0. I det här fallet kan man också se x-axeln som tangenten.

Derivatan när x=0 är alltså 0, dvs.

Derivatan

Vid x=2 finns det en tangent utritad till grafen. För varje steg framåt går den 1 steg uppåt. Det betyder att tangentens lutning är 1.

Derivatan blir därför

arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community