Vad är derivata

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Derivata

Lutningen i en punkt har så stor användning inom matematiken att det fått ett eget namn: derivata. Derivatan för en funktion i en viss punkt är kk-värdet för den tangent som kan ritas genom den punkten. För en rät linje är derivatan samma i alla punkter eftersom lutningen är konstant, men om funktionens lutning varierar kommer även derivatan att göra det.

Detta betyder att derivatan är

  • negativ när funktionen är avtagande ( \searrow ).
  • positiv när funktionen är växande ( \nearrow ).
  • 0 när funktionen har maximi-, minimi- eller terrasspunkt.

Ju brantare kurvan är desto större blir värdet för derivatan, med positiva värden för positiva lutningar och negativa värden för negativa lutningar.

Förstagradsfunktion

Andragradsfunktion


Tredjegradsfunktion

Notation

Derivata: f(a)f'(a)

Derivatan för funktionen f(x)f(x) i en punkt med xx-koordinaten aa brukar skrivas f(a) f'(a) vilket utläses ff prim av a.a. Exempelvis betyder f(1)f'(1) "derivatan för funktionen f(x)f(x) i punkten där x=1x=1".

Begrepp

Derivatans nollställen

I maximi-, minimi- och terrasspunkter har funktioner varken positiv eller negativ lutning. Sådana punkter kallas stationära och har derivatan 00 eftersom tangenter som ritas genom dem är horisontella.

I en stationär punkt där x=ax=a gäller alltså alltid att f(a)=0. f'(a)=0.

Omvänt gäller också att man kan hitta stationära punkter genom att undersöka var derivatan är 0.0. När man anger om den stationära punkten är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt säger man att man anger dess karaktär.
Uppgift

I figuren visas grafen till funktionen f(x).f(x).

Derivatan i punkten där x=-5x=\text{-}5 är positiv. Fyll i derivatans tecken för de givna xx-värdena i tabellen.

xx Derivatans tecken
-5\text{-}5 ++
-2.5 \text{-}2.5
0 0
3 3
6 6
Lösning

Vi tittar på punkterna från vänster till höger.

Punkten där x=-2.5x=\text{-}2.5 är ett lokalt maximum där grafen varken lutar uppåt eller nedåt. Det innebär att derivatan är 00 där, dvs. att f(-2.5)=0.f'(\text{-}2.5)=0. För x=0x=0 är lutningen negativ, och då är även derivatan negativ.

xx Derivatans tecken
-5\text{-}5 ++
-2.5 \text{-}2.5 00
0 0 -
3 3
6 6

Vi tittar på de två sista punkterna. För x=3x=3 lutar grafen uppåt, så f(3)f'(3) är positiv, och för x=6x=6 lutar grafen nedåt. Därför är f(6)f'(6) negativ.

xx Derivatans tecken
-5\text{-}5 ++
-2.5 \text{-}2.5 00
0 0 -
3 3 ++
6 6 -
Visa lösning Visa lösning
Metod

Uppskatta derivata grafiskt

Ett sätt att uppskatta derivatan i en graf är att rita en tangent genom den punkt man är intresserad av och bestämma linjens lutning. Denna metod kan exempelvis användas för att uppskatta värdet av f(-2)f'(\text{-}2) med hjälp av figuren.

1

Rita en tangent i punkten och bestäm dess lutning

Börja med att rita en tangent och bestäm dess lutning i tangeringspunkten. I exemplet är det f(-2)f'(\text{-}2) som ska bestämmas, dvs. derivatan där x=-2.x=\text{-}2.


Här används tangeringspunkten (-2,-3)(\text{-}2, \text{-}3) och punkten (-6,3)(\text{-}6, 3) för att bestämma tangentens lutning till k=3(-3)-6(-2)=-1.5. k=\dfrac{3-(\text{-}3)}{\text{-}6 -(\text{-}2)}= \text{-}1.5.

2

Tolka lutningen som derivata

Eftersom derivatan är lutningen i en viss punkt, och en tangents lutning anger just detta är f(-2)-1.5. f'(\text{-}2) \approx \text{-}1.5.

Uppgift

Grafen till funktionen f(x)f(x) har ritats ut tillsammans med två tangenter.

Bestäm f(-4),f(0)ochf(2). f'(\text{-} 4), \quad f'(0) \quad \text{och} \quad f'(2).

Lösning

Derivatan f(-4)f'(\text{-}4)

Derivatans värde är grafens lutning i den punkten, så f(-4)f'(\text{-} 4) är lutningen när x=-4.x = \text{-} 4. Det finns dock redan en tangent i tangeringspunkten (-4,4),(\text{-}4,4), så vi behöver inte rita ut något.

För att bestämma tangentens lutning behöver vi två punkter på den. Vi känner redan till en, och tangenten går genom flera andra punkter. Vi väljer (-1,-2).(\text{-}1, \text{-}2).

Vi sätter in punkterna i formeln för att räkna ut en linjes riktningskoefficient: k=y2y1x2x1=-24-1(-4)=-2. k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \dfrac{\text{-}2 - 4}{\text{-}1 - (\text{-}4)} = \text{-} 2. Tangenten i punkten (-4,4)(\text{-}4,4) har lutningen -2\text{-}2 vilket innebär att det även är värdet för derivatan i den punkten. Man får alltså att f(-4)=-2.f'(\text{-}4) = \text{-}2.

Derivatan f(0)f'(0)

För f(0)f'(0) tittar vi på grafen när x=0.x = 0. Det finns ingen tangent utritad för det xx-värdet, men punkten (0,0)(0,0) är ett lokalt minimum där kurvans lutning är lika med 0.0. I det här fallet kan man också se xx-axeln som tangenten.

Derivatan när x=0x=0 är alltså 00, dvs. f(0)=0.f'(0) = 0.

Derivatan f(2)f'(2)

Vid x=2x=2 finns det en tangent utritad till grafen. För varje steg framåt går den 11 steg uppåt. Det betyder att tangentens lutning är 1.1.

Derivatan blir därför f(2)=1.f'(2) = 1.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet syns grafen till h(x).h(x).

Är följande uttryck positiva, negativa eller 0?0?


a

h(-2)h(\text{-} 2)

b

h(-1)h'(\text{-}1)

c

h(0)h'(0)

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange om derivatan till följande funktioner är positiv, negativ eller 0.0.


a

Temperaturen TT för kaffet som nyligen hällts upp i en kopp i ett lärarrum efter tt minuter.

b

Längden LL på en 3030-årig människas lårben efter hh timmar.

c

Snödjupet DD efter hh timmar när det snöar under en kall januaridag.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet syns grafen till y=f(x).y=f(x).

Ange när derivatan till grafen är

a

positiv.

b

0.0.

c

negativ.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet visas grafen till y=f(x).y=f(x).

Använd grafen för att lösa ekvationen f(x)=0.f'(x)=0.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren visas grafen till funktionen f(x)=0.75x+2.f(x) = 0.75x + 2. Bestäm f(2)f'(2).

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren visas grafen till funktionen f(x).f(x).

Uppskatta derivatornas värden grafiskt.


a

f(1)f'(1)

b

f(5)f'(5)

c

f(7)f'(7)

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen ff är en andragradsfunktion som har en maximipunkt där x=3.x=3.


a

Bestäm f(3).f'(3).

b

Vilka värden kan f(2)f'(2) anta?

c

Vilka värden kan f(7)f'(7) anta?

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren är grafen till funktionen f(x)f(x) utritad.

Skriv följande derivator i storleksordning, minst först. f(-5)f(-2)f(0)f(4)f(6) f'(\text{-}5) \quad f'(\text{-}2) \quad f'(0) \quad f'(4) \quad f'(6)

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange ett exempel på en funktion vars derivata

a

alltid är positiv.

b

går från negativ till positiv.

c

alltid är 0.0.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tindra vet att både f(1)f'(1) och f(-1)f'(\text{-}1) är lika med 33 för en funktion f(x).f(x). Eftersom derivatan är samma för två olika punkter drar hon slutsatsen att f(x)f(x) måste vara en linjär funktion. Felize säger dock att Tindra har fel. Förklara varför Tindras slutsats inte stämmer.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skissa grafen till en funktion där f(4)=2f(4) = 2 och f(4)=12.f'(4) = \frac{1}{2}.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En funktion ff har följande egenskaper: f(-1)=1f(-1)=0f(1)=5f(1)=4. f(\text{-} 1) = 1 \quad f'(\text{-} 1) = 0 \quad f(1) = 5 \quad f'(1) = 4. Hur skulle grafen till en sådan funktion kunna se ut? Skissa ett förslag.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

f(x)f(x) är en polynomfunktion av grad 22 där f(4)=4,f(6)=4f(4) = 4, \, f(6)=4 och f(3)=4.f'(3) = 4.


a

Lös ekvationen f(x)=0.f'(x) = 0.

b

Bestäm f(7).f'(7).

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För funktionen f(x)f(x) gäller att f(x)>0f'(x)>0 för alla x.x. Arvid säger att det medför att ekvationen f(x)=0f(x)=0 måste ha en lösning. Stämmer det? Motivera!

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}