mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more Community
Community expand_more
menu_open Stäng
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
Expandera meny menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Derivata

Vad är derivata

Begrepp

Derivata

Lutningen i en punkt har så stor användning inom matematiken att det fått ett eget namn: derivata. Derivatan för en funktion i en viss punkt är -värdet för den tangent som kan ritas genom den punkten. För en rät linje är derivatan samma i alla punkter eftersom lutningen är konstant, men om funktionens lutning varierar kommer även derivatan att göra det.

Detta betyder att derivatan är

  • negativ när funktionen är avtagande ( ).
  • positiv när funktionen är växande ( ).
  • 0 när funktionen har maximi-, minimi- eller terrasspunkt.

Ju brantare kurvan är desto större blir värdet för derivatan, med positiva värden för positiva lutningar och negativa värden för negativa lutningar.

Förstagradsfunktion

Andragradsfunktion


Tredjegradsfunktion

Notation

Derivata:

Derivatan för funktionen i en punkt med -koordinaten brukar skrivas vilket utläses prim av Exempelvis betyder "derivatan för funktionen i punkten där ".

Begrepp

Derivatans nollställen

I maximi-, minimi- och terrasspunkter har funktioner varken positiv eller negativ lutning. Sådana punkter kallas stationära och har derivatan eftersom tangenter som ritas genom dem är horisontella.

I en stationär punkt där gäller alltså alltid att

Omvänt gäller också att man kan hitta stationära punkter genom att undersöka var derivatan är När man anger om den stationära punkten är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt säger man att man anger dess karaktär.
fullscreen
Uppgift

I figuren visas grafen till funktionen

Derivatan i punkten där är positiv. Fyll i derivatans tecken för de givna -värdena i tabellen.

Derivatans tecken
Visa Lösning
Lösning

Vi tittar på punkterna från vänster till höger.

Punkten där är ett lokalt maximum där grafen varken lutar uppåt eller nedåt. Det innebär att derivatan är där, dvs. att För är lutningen negativ, och då är även derivatan negativ.

Derivatans tecken

Vi tittar på de två sista punkterna. För lutar grafen uppåt, så är positiv, och för lutar grafen nedåt. Därför är negativ.

Derivatans tecken

Metod

Uppskatta derivata grafiskt

Ett sätt att uppskatta derivatan i en graf är att rita en tangent genom den punkt man är intresserad av och bestämma linjens lutning. Denna metod kan exempelvis användas för att uppskatta värdet av med hjälp av figuren.

1

Rita en tangent i punkten och bestäm dess lutning

Börja med att rita en tangent och bestäm dess lutning i tangeringspunkten. I exemplet är det som ska bestämmas, dvs. derivatan där


Här används tangeringspunkten och punkten för att bestämma tangentens lutning till

2

Tolka lutningen som derivata

Eftersom derivatan är lutningen i en viss punkt, och en tangents lutning anger just detta är

fullscreen
Uppgift

Grafen till funktionen har ritats ut tillsammans med två tangenter.

Bestäm

Visa Lösning
Lösning

Derivatan

Derivatans värde är grafens lutning i den punkten, så är lutningen när Det finns dock redan en tangent i tangeringspunkten så vi behöver inte rita ut något.

För att bestämma tangentens lutning behöver vi två punkter på den. Vi känner redan till en, och tangenten går genom flera andra punkter. Vi väljer

Vi sätter in punkterna i formeln för att räkna ut en linjes riktningskoefficient: Tangenten i punkten har lutningen vilket innebär att det även är värdet för derivatan i den punkten. Man får alltså att

Derivatan

För tittar vi på grafen när Det finns ingen tangent utritad för det -värdet, men punkten är ett lokalt minimum där kurvans lutning är lika med I det här fallet kan man också se -axeln som tangenten.

Derivatan när är alltså , dvs.

Derivatan

Vid finns det en tangent utritad till grafen. För varje steg framåt går den steg uppåt. Det betyder att tangentens lutning är

Derivatan blir därför

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward