Vad är derivata

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Derivata

Lutningen i en punkt har så stor användning inom matematiken att det fått ett eget namn: derivata. Derivatan för en funktion i en viss punkt är kk-värdet för den tangent som kan ritas genom den punkten. För en rät linje är derivatan samma i alla punkter eftersom lutningen är konstant, men om funktionens lutning varierar kommer även derivatan att göra det.

Detta betyder att derivatan är

  • negativ när funktionen är avtagande ( \searrow ).
  • positiv när funktionen är växande ( \nearrow ).
  • 0 när funktionen har maximi-, minimi- eller terrasspunkt.

Ju brantare kurvan är desto större blir värdet för derivatan, med positiva värden för positiva lutningar och negativa värden för negativa lutningar.

Förstagradsfunktion

Andragradsfunktion


Tredjegradsfunktion

Notation

Derivata: f(a)f'(a)

Derivatan för funktionen f(x)f(x) i en punkt med xx-koordinaten aa brukar skrivas f(a) f'(a) vilket utläses ff prim av a.a. Exempelvis betyder f(1)f'(1) "derivatan för funktionen f(x)f(x) i punkten där x=1x=1".

Begrepp

Derivatans nollställen

I maximi-, minimi- och terrasspunkter har funktioner varken positiv eller negativ lutning. Sådana punkter kallas stationära och har derivatan 00 eftersom tangenter som ritas genom dem är horisontella.

I en stationär punkt där x=ax=a gäller alltså alltid att f(a)=0. f'(a)=0.

Omvänt gäller också att man kan hitta stationära punkter genom att undersöka var derivatan är 0.0. När man anger om den stationära punkten är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt säger man att man anger dess karaktär.
Uppgift

I figuren visas grafen till funktionen f(x).f(x).

Derivatan i punkten där x=-5x=\text{-}5 är positiv. Fyll i derivatans tecken för de givna xx-värdena i tabellen.

xx Derivatans tecken
-5\text{-}5 ++
-2.5 \text{-}2.5
0 0
3 3
6 6
Lösning

Vi tittar på punkterna från vänster till höger.

Punkten där x=-2.5x=\text{-}2.5 är ett lokalt maximum där grafen varken lutar uppåt eller nedåt. Det innebär att derivatan är 00 där, dvs. att f(-2.5)=0.f'(\text{-}2.5)=0. För x=0x=0 är lutningen negativ, och då är även derivatan negativ.

xx Derivatans tecken
-5\text{-}5 ++
-2.5 \text{-}2.5 00
0 0 -
3 3
6 6

Vi tittar på de två sista punkterna. För x=3x=3 lutar grafen uppåt, så f(3)f'(3) är positiv, och för x=6x=6 lutar grafen nedåt. Därför är f(6)f'(6) negativ.

xx Derivatans tecken
-5\text{-}5 ++
-2.5 \text{-}2.5 00
0 0 -
3 3 ++
6 6 -
Visa lösning Visa lösning
Metod

Uppskatta derivata grafiskt

Ett sätt att uppskatta derivatan i en graf är att rita en tangent genom den punkt man är intresserad av och bestämma linjens lutning. Denna metod kan exempelvis användas för att uppskatta värdet av f(-2)f'(\text{-}2) med hjälp av figuren.

1

Rita en tangent i punkten och bestäm dess lutning

Börja med att rita en tangent och bestäm dess lutning i tangeringspunkten. I exemplet är det f(-2)f'(\text{-}2) som ska bestämmas, dvs. derivatan där x=-2.x=\text{-}2.


Här används tangeringspunkten (-2,-3)(\text{-}2, \text{-}3) och punkten (-6,3)(\text{-}6, 3) för att bestämma tangentens lutning till k=3(-3)-6(-2)=-1.5. k=\dfrac{3-(\text{-}3)}{\text{-}6 -(\text{-}2)}= \text{-}1.5.

2

Tolka lutningen som derivata

Eftersom derivatan är lutningen i en viss punkt, och en tangents lutning anger just detta är f(-2)-1.5. f'(\text{-}2) \approx \text{-}1.5.

Uppgift

Grafen till funktionen f(x)f(x) har ritats ut tillsammans med två tangenter.

Bestäm f(-4),f(0)ochf(2). f'(\text{-} 4), \quad f'(0) \quad \text{och} \quad f'(2).

Lösning

Derivatan f(-4)f'(\text{-}4)

Derivatans värde är grafens lutning i den punkten, så f(-4)f'(\text{-} 4) är lutningen när x=-4.x = \text{-} 4. Det finns dock redan en tangent i tangeringspunkten (-4,4),(\text{-}4,4), så vi behöver inte rita ut något.

För att bestämma tangentens lutning behöver vi två punkter på den. Vi känner redan till en, och tangenten går genom flera andra punkter. Vi väljer (-1,-2).(\text{-}1, \text{-}2).

Vi sätter in punkterna i formeln för att räkna ut en linjes riktningskoefficient: k=y2y1x2x1=-24-1(-4)=-2. k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \dfrac{\text{-}2 - 4}{\text{-}1 - (\text{-}4)} = \text{-} 2. Tangenten i punkten (-4,4)(\text{-}4,4) har lutningen -2\text{-}2 vilket innebär att det även är värdet för derivatan i den punkten. Man får alltså att f(-4)=-2.f'(\text{-}4) = \text{-}2.

Derivatan f(0)f'(0)

För f(0)f'(0) tittar vi på grafen när x=0.x = 0. Det finns ingen tangent utritad för det xx-värdet, men punkten (0,0)(0,0) är ett lokalt minimum där kurvans lutning är lika med 0.0. I det här fallet kan man också se xx-axeln som tangenten.

Derivatan när x=0x=0 är alltså 00, dvs. f(0)=0.f'(0) = 0.

Derivatan f(2)f'(2)

Vid x=2x=2 finns det en tangent utritad till grafen. För varje steg framåt går den 11 steg uppåt. Det betyder att tangentens lutning är 1.1.

Derivatan blir därför f(2)=1.f'(2) = 1.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}