Trigonometriska kurvors egenskaper

I Lisas lösning verkar hon ha missat att det står sin^2(x) i funktionsuttrycket, inte sin(x), vilket gör att hon får fel svar. Funktionen sin(x) ger värden mellan -1 och 1, men eftersom de negativa värdena blir positiva när man kvadrerar dem kommer funktionen sin^2(x) bara att ge värden mellan 0 och 1. Vid x = 0 har både sin^2(x) och den funktion vi söker sina minimivärden, vilket ger \begin{aligned} y_\text{min} = A \cdot 0 + B = B. \end{aligned} Sätter vi sedan in maxvärdet för sin^2(x) får vi maxvärdet för den sökta funktionen. \begin{aligned} y_\text{max} = A \cdot 1 + B = A + B. \end{aligned} Vi kan läsa av minimivärdet i grafen som y_\text{min} = -2, vilket ger B = -2. Maximivärdet läser vi sedan av som y_\text{max} = 1, vilket tillsammans med B = -2 och sambandet y_\text{max} = A + B gör att vi kan lösa ut A.

De två sökta konstanterna är alltså A = 3 och B = -2, vilket innebär att funktionen är y = 3sin^2(x) - 2.

Visarna är lika långa så den blå och röda grafen ger samma information om visarnas längd. Vi kan se att graferna har största värdet 65 och minsta värdet 55. Det innebär att spetsen på visarna som högst är 65 m över marken och som lägst är 55 m över marken. Vi illustrerar detta för en av visarna.

Avståndet mellan spetsens högsta och lägsta punkt är 65-55=10 m, och på det avståndet får det plats två visare. En visare måste därför vara 5 m lång.

I vårt koordinatsystem ser vi ungefär en fjärdedel av dygnets 24 timmar. Resten av dygnet, tre fjärdedelar, kan vi inte direkt avläsa. Vi börjar med att dela upp dygnet i fyra lika stora delar.

Låt oss nu markera de tidpunkter vi ser i intervallet kl 00.00-05.59 där graferna både skär varandra och lutar åt samma håll.

Vi ser 6 tidpunkter där visarna på klockan pekar i samma riktning. Intervallet kl 12.00-17.59 kommer av symmetriskäl se likadant ut och vi vet därför att vi även där har 6 klockslag då visarna pekar åt samma håll.

Vi behöver nu titta närmare på vilka tidpunkter visarna står åt samma håll under de övriga två tidsintervallen. För att göra det speglar vi grafen mellan 0 och 6 i x=6.

De 6 punkterna från det första intervallet återkommer här pga. symmetri men den sjätte ligger utanför vårt intervall. Vi har alltså i detta tidsintervall endast 5 tidpunkter då visarna är riktade åt samma håll. Samma sak gäller i tidsintervallet 18.00-23.59.

Under ett dygn pekar visarna alltså åt samma håll totalt 22 gånger.

Dygnet startar kl 00.00 och då är båda visarna riktade rakt upp. Detta är det första tillfälle då visarna är riktade åt samma håll.

Båda visarna kommer nu börja röra sig medurs och minutvisaren rör sig snabbare än timvisaren.

När minutvisaren gått ett varv mer än timvisaren kommer vi få det andra tillfället under dygnet då de båda visarna är riktade åt samma håll.

När minutvisaren gått två varv mer än timvisaren inträffar det tredje tillfället visarna är riktade åt samma håll osv.

Efter 24 timmar, alltså kl 00.00 dagen efter, har minutvisaren gjort 24 varv och timvisaren har gjort två varv. Minutvisaren har gått 22 fler varv än timvisaren och de är riktade åt samma håll för 23 :e gången. Men den 23 :e gången då visarna är riktade åt samma håll infaller under nästa dygn. Antalet gånger visarna är riktade åt samma håll under ett dygn är därför 22 stycken.

Den längsta dagens längd motsvarar funktionens största värde. Funktionen kan sägas ha tre delar: termen 12.25, faktorn 6.25 och faktorn sin ( 2π(x-82)365 ). Av dessa varierar endast sinusfunktionen och y har sitt största värde när sinusfunktionen är som störst, dvs. när den är 1. Vi beräknar detta maxvärde.

Längsta dagen är alltså 18.5 timmar. Vi är egentligen klara nu, men om vi vill kan vi bestämma datumet då årets längsta dag infaller genom att sätta in y=18.5 i funktionen och lösa den sinusekvation vi då får.

Eftersom x representerar antalet dygn indikerar perioden 365 att dagen då solen lyser som längst återkommer med 365 dygns, dvs. ett års, mellanrum. Värdet på n spelar därför ingen roll - olika n representerar bara olika år. Det relevanta värdet är 173, som indikerar att det är årets 173:e dag som är längst. Vi tar nu reda på vilket datum det är då. Till vår hjälp har vi följande tabell.

Den första juni är den 152:a dagen på året. 21 dagar senare, dvs. den 22:a juni, har vi den 173:e dagen. Årets längsta dag infaller alltså 22:a juni och är18.5timmar lång.

Den kortaste dagens längd motsvarar istället funktionens minsta värde. För att bestämma detta gör vi på samma sätt som i föregående uppgift men vi sätter sinusfunktionen till dess minsta värde istället, -1.

Den kortaste dagen på året är alltså 6 timmar lång. Även här kan vi ta reda på vilket datum den dagen inträffar, och börjar med att lösa ut x ur den ekvation vi får om y=6 sätts in i funktionen.

Perioden säger återigen bara att dagen i fråga upprepas varje år, så vi bryr oss inte om den. Vi konstaterar istället att årets 356:e dag är den kortaste. Nu använder vi tabellen i föregående deluppgift för att avgöra datumet. Där ser vi att den första december är årets 335:e dag. Den 356:e dagen infaller 21 dagar senare, dvs. den 22:a december. Årets kortaste dag infaller alltså den 22:a december och är 6 timmar lång.

För att vi skall kunna anpassa funktionen så att den stämmer på Nairobi behöver vi förstå vad de olika delarna av funktionen beskriver. Vi börjar därför med att skriva om den på formen y=Asin(B(x+C))+D och får då y=6.25sin ( 2π365(x-82) )+ 12.25. Vi börjar med amplituden, A, som i funktionen för Stockholm är 6.25. Denna konstant kan generellt bestämmas med formeln \begin{aligned} |A| = \dfrac{y_\text{max} - y_\text{min}}{2} \end{aligned} och tolkas i detta sammanhang som differensen mellan den längsta och kortaste dagen, dividerat med 2. Amplituden för Nairobi-funktionen blir därför 12.75-11.52=0.625. Vi börjar ställa upp denna funktion på en gång: y=0.625sin( B(x+C) )+D. Vi fortsätter med konstanten B, som påverkar periodens längd. Eftersom perioden mellan två vårdagjämningar eller två höstdagjämningar är ett år oavsett var på Jorden man är måste denna konstant vara samma i funktionen för Nairobi och Stockholm, dvs. 2π365: y=0.625sin( 2π/365(x+C) )+D. Vi fortsätter med C, som påverkar funktionens förskjutning i x-led så att dess maxvärde sammanfaller med årets längsta dag. Om vi beräknar hur många dygn det skiljer mellan den längsta dagen i Stockholm, 22:a juni, och den längsta dagen i Nairobi, 21:a december, får vi reda på hur många ytterligare steg åt höger i x-led som funktionen ska förskjutas. Att vi redan nu vet att den ska förskjutas åt just höger är för att Nairobis längsta dag infaller senare på året jämfört med Stockholms. Så hur många dygn skiljer det mellan 22:a juni och 21:a december? &Period Antal dygn &23-30juni 8 &juli 31 &aug 31 &sep 30 &okt 31 &nov 30 &1-21dec 21 Summerar vi antalet dygn i högerkolumnen får vi att det skiljer 8+3* 31+2* 30 +21=182dygn mellan den längsta dagen i Stockholm och Nairobi. Vi subtraherar nu 182 från konstanten C i funktionen för Stockholm, dvs. -82, för att få C i funktionen för Nairobi: -82-182=-264. Vi sätter in denna konstant i Nairobi-funktionen: y=0.625sin( 2π/365(x-264) )+D. Nu återstår bara konstanten D, som påverkar funktionens förskjutning i y-led och beräknas med formeln D=y_(min)+y_(max)/2. Vi bestämmer alltså D genom att addera längden av Nairobis kortaste och längsta dag och sedan dividera med 2. Det ger att D= 11.5+12.752=12.125 och funktionen för Nairobi är klar: y=0.625sin(2π/365(x-264))+12.125.

När vi skrev lösningen till denna uppgift diskuterade vi mycket om hur vi bör tolka funktionen. Här skriver vi ner lite av dessa tankar och motiverar vissa ställningstaganden. Denna text är alltså inte en del av lösningen, utan vi lägger till den för att visa på komplexiteten i problemet.

Funktionen y=12.25+6.25sin ( 2π(x-82)365 ) är definierad för alla värden på x. Hur skall vi tolka värdet x=0.5? En rimlig tolkning är att det betyder kl 12.00 den första januari. När vi har löst uppgiften har vi arbetat efter att endast diskreta värden på funktionen är tillåtna. Det betyder att x=1 betyder den första januari, att x=2 står för den andra januari osv. Om vi hade betraktat variablen x som kontinuerlig skulle den första januari istället definieras av intervallet 0≤ x<1, den andra januari av intervallet 1≤ x<2 osv.

Vår tolkning, dvs. att endast diskreta värden är tillåtna, gör att en lösning skiljer sig från en där man tolkar x som en kontinuerlig variabel. Vi kan illustrera det med värdet x=0.25. Om x är en kontinuerlig variabel är en rimlig tolkning att det motsvarar kl 06.00 på nyårsdagen. Med vår tolkning, att x endast kan ha heltalsvärden, skulle x=0.25 avrundas till 0 och dag 0 är inte definierat. Vi tänker att den första dagen på året får talet 1 och sista dagen året innan skulle då vara en dag som skulle få talet - 1.

Vi har gjort vårt val baserat på att vi då får en lösning där vi slipper göra omständliga förklaringar som tar fokus ifrån det som är syftet med uppgiften: att träna på matematisk problemlösning. Det fel vi gör med vår tolkning jämfört med den som tolkar x som en kontinuerlig variabel resulterar i att vi som mest hamnar 12 timmar fel. Vi kan som illustration hämta två värden från vår lösning, x=173.25 samt x=355.75. Vi avrundade båda dessa värden enligt vanliga avrundningsregler och hamnade då på 22:a juni och 22:e december. Med kontinuerlig funktion blir x=173.25 istället kl 06.00 den 23:e juni, alltså dagen efter, medan x=355.75 motsvarar kl 18.00 den 22:e december, alltså samma datum som vi fick i vår lösning.

Som mest får vi som sagt ett fel på 12 timmar. Vi har resonerat att den noggrannhet som vi har i funktionen när vi anpassar den till det verkliga fallet, dvs. när vi tolkar funktionens värden som dagens längd i Stockholm, ändå i bästa fall är ± 1 dag och då är vårt fel inte av avgörande betydelse. Efterfrågar man större noggrannhet än den vi redovisar i vår lösning får man ta fram en funktion som till exempel tar hänsyn till skottår.