Trigonometriska kurvors egenskaper

Eftersom vi ska anpassa en sinusfunktion till kurvan utgår vi från den generella funktionen y=Asin(B(x+C))+D. När vi anpassar funktioner till grafer är det alltid möjligt att hitta positiva A och B. Då slipper vi tänka på eventuella absolutbelopp. Vi börjar med att bestämma D, dvs. hur mycket grafen är förskjuten i y-led. Från grafen avläser vi jämviktslinjen, som är det y-värde funktionen pendlar kring.

Detta värde är 2 i positiv riktning och vi vet därför att D=2. Vid insättning får vi då y=Asin(B(x+C))+2. Vi fortsätter genom att bestämma värdet på C, som är grafens förskjutning i x-led. Vi letar rätt på en punkt som skulle gått genom origo i en oförskjuten graf.

Denna punkt har x-värdet 0. Funktionen är alltså inte förskjuten x-led och C har därmed värdet 0. Insatt i funktionsuttrycket ger det oss y=Asin(Bx)+2. Låt oss nu bestämma värdet på A, som motsvarar funktionens amplitud. Amplituden är avståndet i y-led mellan funktionens extrempunkter och jämviktslinjen.

A har alltså värdet 1. Vi för in detta i funktionsuttrycket och får y=sin(Bx)+2. Konstanten B kan beräknas med hjälp av perioden. När vinkelenheten är grader gäller sambandet B=360^(∘)/P, där P är periodens längd. Periodens längd kan vi t.ex. bestämma genom att läsa av avståndet mellan två närliggande toppar.

Periodens längd är alltså avståndet mellan 90^(∘) och 450^(∘), vilket är 360^(∘). Vi får då B=360^(∘)/360^(∘) = 1 Slutligen har vi nu hittat funktionen y=sin x+2.

Som i föregående deluppgift utgår vi ifrån y=Asin(B(x+C))+D. I det här fallet pendlar grafen kring x-axeln, vilket innebär att D=0. Vi har då y=Asin(B(x+C)). Värdet på A kan vi avläsa ur grafen som amplituden, vilket här är 1.

Vi sätter in detta i vårt funktionsuttryck och får y=sin(B(x+C)). Värdet på B får vi genom att först avgöra periodlängden P, och sedan beräkna B=360^(∘)/P.

Periodlängden P är 405^(∘)-45^(∘)=360^(∘), vilket ger B = 360^(∘)/360^(∘) = 1. Vi sätter in B och får y=sin(x+C). För att slutligen bestämma C avläser vi hur många grader grafen är förskjuten i x-led. Förskjutning åt vänster ger positivt C och förskjutning åt höger ger negativt C.

Funktionen är förskjuten 45^(∘) åt vänster, vilket ger oss att C=45^(∘). En funktion som har den sökta grafen är alltså y=sin(x+45^(∘)).

I denna deluppgift skall vi istället anpassa en cosinusfunktion till vår graf. Då börjar vi med uttrycket y=Acos(B(x+C))+D. Konstanterna här har samma grafiska betydelse som för sinusfunktionen och alla förutom C avläses på precis samma sätt. Vi markerar först jämviktslinjen och amplituden i grafen.

Både jämviktslinjen och amplituden är 1, vilket ger att A=1 och D=1. Vår funktion är då hittills y=cos(B(x+C))+1. Vi avläser nu periodlängden P för att kunna bestämma konstanten B.

Periodlängden är alltså 450^(∘)-90^(∘)=360^(∘). Vi får då åter igen att B=360^(∘)/360^(∘) = 1 och har nu funktionsuttrycket y=cos(x+C)+1. En oförskjuten cosinusfunktion har en maximipunkt för x=0. Vi behöver därför undersöka hur långt en lämpligt vald maximipunkt är förskjuten i förhållande till y-axeln för att bestämma C.

Vår graf är alltså förskjuten 90^(∘) åt höger, vilket ger oss att C = - 90 ^(∘). En funktion vars graf ser ut som den sökta är därför y=cos(x-90^(∘))+1.

Man kan tänka på funktionen y=3sin(5x)+1 som uppbyggd av tre olika delar — faktorn 3, faktorn sin(5x) och termen 1. Av dessa är det endast faktorn sin(5x) vars värde varierar för olika värden på x. Koefficienten 3 är positiv, vilket gör att funktionen har sitt största värde då faktorn sin(5x) är som störst, dvs. 1. Låt oss beräkna detta. \begin{aligned} y = 3\sin(5x) + 1 \quad \Rightarrow \quad y_\text{max} = 3 \cdot 1 + 1 = 4 \end{aligned} På samma sätt antar funktionen sitt minsta värde när sin(5x) är -1. \begin{aligned} y = 3\sin(5x) + 1 \quad \Rightarrow \quad y_\text{min} = 3 \cdot (-1) + 1 = - 2 \end{aligned} Funktionens största och minsta värde är alltså 4 respektive - 2.

Här är det endast värdet på faktorn sin(2x - 85^(∘)) som varierar med x och den har en positiv koefficient. Därför sätter vi dess värde till 1 för att hitta funktionens största värde. \begin{aligned} y = 8\sin(2x - 85^{\, \circ}) \quad \Rightarrow \quad y_\text{max} = 8 \cdot 1 = 8 \end{aligned} När vi sätter faktorns värde till - 1 får vi funktionens minsta värde. \begin{aligned} y = 8\sin(2x - 85^{\, \circ}) \quad \Rightarrow \quad y_\text{min} = 8 \cdot (- 1) = - 8 \end{aligned} Vi har nu hittat funktionens största och minsta värden.

Vi resonerar på samma sätt igen; här är det faktorn cos(4x) som varierar mellan - 1 och 1. Eftersom koefficienten - 6 är negativ antar funktionen sitt största värde då faktorn har värdet - 1. \begin{aligned} y = - 6\cos(4x) \quad \Rightarrow \quad y_\text{max} = - 6 \cdot (- 1) = 6 \end{aligned} För funktionens minsta värde sätter vi cos(4x) till 1. \begin{aligned} y = - 6\cos(4x) \quad \Rightarrow \quad y_\text{min} = - 6 \cdot 1 = - 6 \end{aligned}

Vi sätter cos x till 1 för att hitta största värdet. \begin{aligned} y = 0,8\cos x - 5 \quad \Rightarrow \quad y_\text{max} = 0,8 \cdot 1 - 5 = - 4,2 \end{aligned} Minsta värdet får vi då cos x är - 1. \begin{aligned} y = 0,8\cos x - 5 \quad \Rightarrow \quad y_\text{min} = 0,8 \cdot (- 1) - 5 = - 5,8 \end{aligned}

Funktionen y=sin x vet vi har en period på 2π, en amplitud som är 1 och att den skär origo med positiv lutning. Denna beskrivning passar endast in på graf IV, så IV motsvarary=sin x. Även funktionen y=sin(x+π) har perioden 2π och amplituden 1, men den är förskjuten π radianer åt vänster. Detta stämmer in på graf II, vilket ger att II motsvarary=sin(x+π). Det återstår en funktion med amplituden 1: y=sin(2(x+π/2)). Funktionsuttrycket ger oss också att funktionen är förskjuten π/2 radianer åt vänster samt att den har perioden P=2π/2=π. Detta stämmer in på graf V, dvs. V motsvarary=sin(2(x+ π2)). Funktionen y=2sin(0,5(x+2π)) har perioden P=2π/0,5=4π. Endast graf I har perioden 4π, så det bör vara denna graf som funktionen ska paras ihop med. Från funktionsuttrycket ser vi även att funktionen har amplituden 2 och är förskjuten 2π radianer åt vänster. Även dessa parametrar stämmer in på graf I, så vi konstaterar att I motsvarary=2sin(0,5(x+2π)). Funktionerna y=2sin(x+π) och y=2sin(x+2π)) har båda amplituden 2 och perioden 2π. Den första är förskjuten π radianer åt vänster, vilket stämmer in på graf III, medan den andra är förskjuten 2π radianer åt vänster. När en funktion med perioden 2π är förskjuten 2π ser det inte ut som om den är förskjuten alls. Detta stämmer in på VI. Vi sammanställer till sist våra slutsatser i en enda lista. &I → y=2sin(0,5(x+2π)) &II → y=sin(x+π) &III→ y=2sin(x+π) &IV → y=sin(x) &V → y=sin (2 (x+π/2 ) ) &VI → y=2sin(x+2π))

Vi kan utgå från funktionen y=sin x, som vi känner till sedan tidigare. Denna funktion har perioden 2π, amplituden 1 och skär origo med positiv lutning.

Funktionen f(x)=sin x - 3 har samma period och amplitud som sin x, men subtraktionen med 3 förskjuter grafen 3 steg nedåt i y-led så att jämviktslinjen ändras från x-axeln till linjen y=-3.

Vi rensar upp bilden lite för att få enbart grafen till f(x)=sin x -3.

Här kan vi istället börjar med att skissa grafen till funktionen y=cos x, vars graf ser precis ut som den för sin x men är förskuten π/2 radianer åt vänster.

När vi multiplicerar funktionen med 3 påverkar vi funktionens amplitud, dvs. vi ökar avståndet i y-led mellan jämviktslinjen och funktionens graf så att det blir 3 gånger så stort. Jämviktslinjen är i det här fallet x-axeln så vi ser det som att grafen dras ut lodrätt både uppåt och nedåt.

Grafen till g(x)=3cos x blir därför denna.

Vi startar även nu med att rita grafen till funktionen y=sin x.

Så hur skiljer sig grafen till h(x)=sin(2π x) från grafen till sin x ? Jo, den har en annan period. För en funktion på formen y=sin(Bx) bestäms perioden av 2π/|B|. I h(x) är B=2π vilket gör att denna funktion har perioden 2π/|2π|=1. Vi kan nu skissa grafen till h(x).

Vi avslutar med att rensa upp bilden lite.

Vi har samma strategi även här och börjar med att skissa grafen till y=cos x och därefter göra justeringar så grafen istället matchar k(x) = cos (x+π/2 ).

Termen π/2 kommer förskjuta grafen i x-led. Eftersom termen adderas till x kommer grafen förskjutas π/2 åt vänster.

Grafen till k(x) kommer därför se ut såhär.

Funktionen y = 3cos x + d är en förskjutning i y-led av cosinusfunktionen y = 3cos x. Cosinusfunktionen svänger mellan - 1 och 1, så 3cos x svänger mellan - 3 och 3.

För att funktionen aldrig ska skära x-axeln måste hela funktionskurvan ligga antingen helt ovanför eller helt under x-axeln (y = 0). Vi undersöker de två fallen. Om funktionen ligger helt över x-axeln betyder det att den varken skär eller tangerar x-axeln. Därför måste funktionens minsta värde vara större än 0. l y_(min) = - 3 + d y_(min) > 0 ⇒ d > 3 Om funktionen i stället ligger helt under x-axeln betyder det att den aldrig skär eller tangerar x-axeln. Därför måste funktionens största värde vara mindre än 0. l y_(min) = - 3 + d y_(min) < 0 ⇒ d < - 3 Därför skär funktionen y = 3cos x + d aldrig x-axeln när d > 3 eller d < - 3. Vi kan verifiera detta genom att undersöka några exempel.

Vi ska bestämma värdena på a, b och c för funktionen y=150sin(4x)+250.

Värdet b motsvarar funktionens värde när x = 0, vilket är förskjutningen i y-led.

Alltså är b=250. Värdet c motsvarar funktionens maximivärde. Detta fås när sin(4x) = 1, det vill säga amplituden adderad till jämviktslinjen.

Alltså är c=400. Värdet a motsvarar x-koordinaten där funktionen återvänder till jämviktslinjen efter en halv period. Perioden för sin(4x) är 2π/4.

Alltså är a = π/4.

Låt oss analysera den givna grafen för att identifiera dess viktigaste egenskaper.

Från grafen kan vi observera:

• Amplituden är 1 (maxvärdet är 1 och minvärdet är - 1)
• Perioden är 2π (en hel cykel sker över ett intervall med längden 2π)
• Grafen passerar punkten (π/4, 1), vilket innebär att den är förskjuten åt vänster med π/4

Med detta i åtanke kan vi skriva funktionen. Kom ihåg den allmänna formen för en sinusfunktion: y = Asin(B(x + C)) + D Grafen har samma egenskaper som y = sin x, vilket innebär att A = 1, B = 1 och D = 0. Eftersom grafen är förskjuten åt vänster med π/4, får vi C = π/4. Slutligen kan vi skriva sinusfunktionen: y = sin(x + π/4)

För att uttrycka detta som en cosinusfunktion använder vi sambandet mellan sinus och cosinus. sin v = cos( π2 - v) Vi tillämpar detta på vår funktion.

Vi kan verifiera detta. När x = π/4 får vi: cos(π/4 - π/4) = cos 0 = 1