Trigonometriska kurvors egenskaper

Vi ser att den utritade funktionen är en sinusfunktion och inom det intervall som syns finns det en maximipunkt och den efterföljande minimipunkten. Vi börjar med att markera båda dessa.

För sinusfunktioner gäller att två närliggande maximipunkter ligger en period ifrån varandra och att minimipunkter ligger precis mittemellan två maxpunkter. Avståndet mellan en maximipunkt och den efterföljande minimipunkten är därför en halv period. Vi markerar detta avstånd.

En halv period är alltså 300^(∘) - 50^(∘) = 250^(∘). Dubblar vi det får vi hela perioden, som alltså är 500^(∘).

Nu försöker vi hitta två punkter på grafen som både är enkla att läsa av och som är ett helt antal perioder ifrån varandra. Vi ser att det finns två motsvarande punkter vid x = -0.5 och x = 3.5, där grafen har y-värdet 6 och positiv lutning. Vi markerar dessa punkter.

Vi markerar avståndet mellan punkterna samt perioderna som ligger mellan dem.

Avståndet mellan punkterna är 3.5 - (-0.5) = 4 och det är 7 perioder mellan dem. Delar vi den totala längden med antalet perioder får vi längden på en period, som alltså är 47 radianer.

Klockan 10 på kvällen motsvarar x=22, eftersom x anger antalet timmar efter midnatt. Vi markerar denna punkt i figuren. Vi markerar även blodsockernivån 6 mmol/L som är den kritiska nivån för hennes humör.

Eftersom punkten ligger under y=6 betyder det att hennes blodsockerhalt kl. 10 på kvällen låg under 6 mmol/L och därmed var hennes humör nedstämt.

Vi kan fokusera på den del av grafen som motsvarar hennes vakna tid, dvs. från x=6 till x=22, och undersöka vilken av denna tid som hennes blodsockernivå låg under 6 mmol/L.

De rödmarkerade områdena mostvarar tiden då hon var vaken och nedstämd. Vi gör en grov uppskattning och säger att det är 1 timme på morgonen, 2 timmar strax efter lunch och 1 timme på kvällen. Alltså ungefär 4 timmar.

Eftersom grafen är vågformad kan den beskrivas av en sinus- eller cosinusfunktion. Dessa är egentligen bara förskjutningar av varandra så grafen kan skrivas som både en sinus- och cosinusfunktion. Vi väljer att beskriva den som en sinusfunktion på formen y=Asin(B(x+C))+D. För att bestämma amplituden, A, och förskjutningen i y-led, D, kan vi använda funktionens största och minsta värde. Vi läser av dessa i grafen: y_(max)=10 och y_(min)=5. Vi börjar med att beräkna A.

Vi fortsätter med att beräkna D.

Vi kan nu ersätta två av konstanterna i den generella funktionen. y=2.5sin(B(x+C))+7.5 För att bestämma B behöver vi veta längden av en period. Den kan vi ta reda på genom att läsa av avståndet mellan två motsvarande punkter på intilliggande vågor.

Perioden är 8 och värdet på B räknar vi ut med formeln |B|= 2πP, där P är periodens längd.

Hittills ser funktionsuttrycket alltså ut såhär. y=2.5sin(0.25π(x+C))+7.5 Konstanten C anger förskjutningen i x-led, och för att bestämma C börjar vi med att hitta punkten som går genom origo för en motsvarande oförskjuten funktion. Eftersom vi har en sinuskurva kommer denna punkt vara en inflexionspunkt med positiv lutning. Vi väljer att beräkna x-värdet i inflexionspunkten närmast origo, dvs. den markerade punkten nedan.

Vi bestämmer x-värdet i punkten genom att beräkna medelvärdet av x-värdena för den omgivande dalen och toppen. Även om dalen till vänster om punkten inte är utritad kan vi pga. symmetri inse att den har x-värdet -2. \begin{aligned} x_\text{inflexion} =\dfrac{-2+2}{2}=0 \end{aligned} Själva konstanten C ges av avståndet mellan denna punkt och y-axeln, och eftersom avståndet i detta fall är 0 så är C=0. Grafen i uppgiften ges alltså av funktionen y=2.5sin(0.25π(x+0))+7.5. Förenklat blir detta y=2.5sin(0.25π x)+7.5. Låt oss nu mer exakt bestämma hur länge Anita var nedstämd. Vi börjar med att bestämma för vilka x-värden funktion har värdet 6 genom att lösa ekvationen 2.5sin(0.25π x)+7.5=6.

Vi är intresserade av samtliga lösningar på intervallet 0 ≤ x ≤ 24. De är x&≈ 4.82 & x&≈ 7.18 x&≈ 12.82 & x&≈ 15.18 x&≈ 20.82 & x&≈ 23.18. Vi markerar nu punkterna med dessa x-värden, för att få de intervall när Anita är nedstämd.

Vi ser att de intervall hon är nedstämd på är följande. l4.82både är vaken och nedstämd. Hon sov före kl. 6 på morgonen och efter kl. 10 på kvällen, så gränserna för det första och sista intervallet behöver justeras. l6

Ett bra första steg är att rita grafen till y=cos(x), så vi har något att utgå ifrån.

Den här kurvan har y=0 som sin jämviktslinje. Vår funktion har konstanttermen 5 vilket ger den jämviktslinjen y=5.

Koefficienten 2.5 är kurvans amplitud. Det betyder att kurvan maximalt kommer att gå 2.5 le. ovanför jämviktslinjen och 2.5 le. under. Det ger den maximivärdet 5+2.5=7.5 och minimivärdet 5-2.5=2.5.

Funktionen cos(x) har en maximipunkt när x=0. Vår funktion har ingen sidledsförskjutning så den kommer också att ha en maximipunkt där. Vidare anger tvåan i cos(2x) att perioden för funktionen är 2π/2=π. Det betyder att avståndet mellan varje maximipunkt är π.

Men grafen har ju minimipunkter också. De befinner sig mittemellan maximipunkterna.

Nu kan vi skapa en sammanhängande kurva och då är vi klara.

Funktionen g(x)=7sin(π(x-3))-2 är en sinuskurva så vi börjar med att rita upp sin(x) som referens.

Konstanttermen -2 anger att jämviktslinjen är y=-2. Koefficienten 7 är amplituden så kurvan kommer att svänga mellan -2-7=-9 och -2+7=5.

Grafen till sin(x) skär sin jämvikslinje när x=0. För vår kurva kommer det x-värdet istället att vara 3 eftersom termen -3 flyttar kurvan tre steg åt höger.

Faktorn π betyder att funktionens period är 2π/π=2 så vi kan rita ut motsvarande punkter med avståndet 2.

Eftersom perioden är π kommer det att finnas en maximipunkt och en minimipunkt mellan varje motsvarande punkt på jämviktslinjen.

Faktorn 23 motsvarar funktionens amplitud, vilken kan ses som halva avståndet i höjdled mellan en maximipunkt och en minimipunkt. Det innebär att avståndet i höjdled mellan berg- och dalbanans högsta och lägsta punkt är 46 meter. Detta kan vi även se om vi ritar grafen med något digitalt hjälpmedel.

Eftersom y beskriver antalet meter över marken kan vi avgöra hur många meter över marken som berg- och dalbanans högsta och lägsta punkt finns genom att bestämma funktionens största respektive minsta värde. Värdet på sinus pendlar mellan - 1 och 1 och funktionen antar sitt största värde då sinusfaktorn är 1. \begin{aligned} y_\text{max} = 23 \cdot 1 + 26 = 49. \end{aligned} På samma sätt antar funktionen sitt minsta värde då sinusfaktorn är - 1. \begin{aligned} y_\text{min} = 23 \cdot (- 1) + 26 = 3. \end{aligned} Detta innebär att berg- och dalbanans högsta punkt finns 49 meter över marken och att dess lägsta punkt finns 3 meter över marken.

Om vi låter A och B beteckna positiva tal kan samtliga sinusfunktioner skrivas på följande sätt. lcy=Asin(B(x+C)) + D & (I) y=- Asin(B(x+C)) + D & (II) y=Asin(- B(x+C)) + D & (III) y=- Asin(- B(x+C)) + D & (IV) Vi vill undersöka om alla sinuskurvor kan skrivas som y=Asin(B(x+C)) + D utan att man behöver använda negativa värden på varken A eller B. För att göra det behöver vi bekräfta att uttrycken II, III och IV är ekvivalenta med I. Vi studerar en likhet i taget.

Likhet IV

Vi börjar med att låta B(x+C) vara lika med v för att underlätta förenklingen av likheten. Det ger y=- Asin(- v) + D. Nu använder vi det trigonometriska sambandet sin(- v)=- sin(v) för att förenkla uttrycket.

Nu ersätter vi v med B(x+C) igen, vilket ger y=Asin(B(x+C)) + D. Likhet IV är alltså ekvivalent med I.

Likhet II

Låt oss rita grafen till någon funktion av typen y=- Asin(B(x+C)) + D (II). Eftersom vi inte vet vilka värden konstanterna har ritar vi inte ut någon skala på axlarna.

Låt oss också se på grafen till en funktion y=Asin(B(x+C)) (I).

När vi ritar dessa grafer i samma koordinatsystem kan vi se att när vi byter från - A till A så är det likvärdigt med att göra en förskjutning i x-led.

En förskjutning i x-led går också att få genom att ändra värde på konstanten C. Grafen till y=- Asin(B(x+C)) kan alltså beskrivas med uttrycket y=Asin(B(x+C)) genom att vi samtidigt ändrar värdet på C så att den förskjutning som bytet från A till - A motsvarar kompenseras. Likhet II kan alltså skrivas med hjälp av likhet I.

Likhet III

Även här börjar vi med att ersätta B(x+C) med v för att sedan använda sambandet sin(- v)=sin(v).

Detta är samma uttryck som vi tidigare kallat II, och eftersom vi redan kommit fram till att II är ekvivalent med I vet vi att även likhet III är ekvivalent med I.