Sinus

Sinus har många användningsområden och tolkningar inom trigonometrin, t.ex. som ett samband mellan sidor och vinklar i trianglar. För varje vinkel i en triangel finns det ett entydigt sinusvärde och med hjälp av enhetscirkeln kan man även bestämma sinusvärden för negativa vinklar samt vinklar större än 180^(∘). Mer generellt är sinus också en matematisk funktion.

I rätvinkliga trianglar definierar man sinus för en vinkel som förhållandet mellan längden på hypotenusan och längden på den motstående kateten.

För vinklar som inte finns i trianglar kan man använda enhetscirkeln för att tolka deras sinusvärden. Varje vinkel i enhetscirkeln motsvarar en punkt på cirkelns rand. Sinusvärdet för vinkeln går att läsa av som y-koordinaten för denna punkt.

Varje vinkel har exakt ett motsvarande sinusvärde, vilket innebär att man kan tolka sinus som en matematisk funktion: f(x)=sin(x). Det går att beräkna ett sinusvärde för alla vinklar x, vilket betyder att definitionsmängden för funktionen är alla reella tal. I enhetscirkeln kan man se att sinus varierar mellan -1 och 1, så värdemängden för sin(x) är -1≤ y ≤ 1.

När sinusvärdena varierar mellan -1 och 1 skapas ett periodiskt mönster: Värdena ökar från -1 till 0 för att fortsätta stiga upp till 1 och sedan sjunka ner till 0 och -1 igen. Mönstret upprepas därefter med perioden 2π.

När man deriverar sin(x) får man cos(x). D(sin(x))=cos(x) Man kan visa detta med derivatans definition.

En primitiv funktion till sin(x) är -cos(x). Regeln brukar skrivas D^(- 1)(sin(x))=-cos(x)+C, där C är en godtycklig konstant.

För varje vinkel finns det ett sinusvärde. Om man vill gå från sinusvärde till vinkel använder man funktionen arcussinus, som brukar skrivas arcsin. Det finns dock oändligt många vinklar med samma sinusvärde. Man måste därför välja vilken av dessa som arcusfunktionen ska beräkna då värdet sätts in. För arcsin gäller intervallet - 90^(∘) ≤ v ≤ 90^(∘) eller - π/2 ≤ v ≤ π/2 beroende på om man använder grader eller radianer.

Med hjälp av bl.a. enhetscirkeln kan man härleda exakta sinusvärden för några standardvinklar.

Sinusvärdet för en summa eller differens av två vinklar kan beräknas med sinus- och cosinusvärdena av de individuella vinklarna. sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v) sin(u-v)=sin(u)cos(v)-cos(u)sin(v)

Sinusvärdet för en dubbel vinkel kan skrivas om som en produkt av sinus- och cosinusvärdet för vinkeln. sin(2v)=2sin(v)cos(v)

Sinusvärdet för en negativ vinkel är samma som för motsvarande positiva vinkel, fast med omvänt tecken. sin(- v)=-sin(v)

När en vinkel speglas i y-axeln förändras inte sinusvärdet. sin(180^(∘)-v)=sin(v) sin(π-v)=sin(v)

För ett komplext tal på formen a+bi är imaginärdelen b=sin(v) om v är talets argument.