Sinus
Sinus har många användningsområden och tolkningar inom trigonometrin, t.ex. som ett samband mellan sidor och vinklar i trianglar. För varje vinkel i en triangel finns det ett entydigt sinusvärde och med hjälp av enhetscirkeln kan man även bestämma sinusvärden för negativa vinklar samt vinklar större än . Mer generellt är sinus också en matematisk funktion.
Triangeldefinition
I rätvinkliga trianglar definierar man sinus för en vinkel som förhållandet mellan längden på hypotenusan och längden på den motstående kateten.
Enhetscirkeln
För vinklar som inte finns i trianglar kan man använda enhetscirkeln för att tolka deras sinusvärden. Varje vinkel i enhetscirkeln motsvarar en punkt på cirkelns rand. Sinusvärdet för vinkeln går att läsa av som -koordinaten för denna punkt.
Funktion
Varje vinkel har exakt ett motsvarande sinusvärde, vilket innebär att man kan tolka sinus som en matematisk funktion: Det går att beräkna ett sinusvärde för alla vinklar vilket betyder att definitionsmängden för funktionen är alla reella tal. I enhetscirkeln kan man se att sinus varierar mellan och , så värdemängden för är
Graf
När sinusvärdena varierar mellan och skapas ett periodiskt mönster: Värdena ökar från till för att fortsätta stiga upp till och sedan sjunka ner till och igen. Mönstret upprepas därefter med perioden .
Derivata
När man deriverar får man Man kan visa detta med derivatans definition.
Primitiv funktion
En primitiv funktion till är Regeln brukar skrivas där är en godtycklig konstant.
Invers funktion
För varje vinkel finns det ett sinusvärde. Om man vill gå från sinusvärde till vinkel använder man funktionen arcussinus, som brukar skrivas Det finns dock oändligt många vinklar med samma sinusvärde. Man måste därför välja vilken av dessa som arcusfunktionen ska beräkna då värdet sätts in. För gäller intervallet beroende på om man använder grader eller radianer.
Sinusvärden för standardvinklar
Med hjälp av bl.a. enhetscirkeln kan man härleda exakta sinusvärden för några standardvinklar.
(grader) | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
(radianer) | |||||||||
Samband med sinus
Addition- och subtraktionsformler
Sinusvärdet för en summa eller differens av två vinklar kan beräknas med sinus- och cosinusvärdena av de individuella vinklarna.
Dubbla vinkeln
Sinusvärdet för en dubbel vinkel kan skrivas om som en produkt av sinus- och cosinusvärdet för vinkeln.
Negativa vinklar
Sinusvärdet för en negativ vinkel är samma som för motsvarande positiva vinkel, fast med omvänt tecken.
Spegling i -axeln
När en vinkel speglas i -axeln förändras inte sinusvärdet.
Komplexa tal
För ett komplext tal på formen är imaginärdelen om är talets argument.