Begrepp

Sinus

Sinus har många användningsområden och tolkningar inom trigonometrin, t.ex. som ett samband mellan sidor och vinklar i trianglar. För varje vinkel i en triangel finns det ett entydigt sinusvärde och med hjälp av enhetscirkeln kan man även bestämma sinusvärden för negativa vinklar samt vinklar större än $180^\circ$. Mer generellt är sinus också en matematisk funktion.

Begrepp

Triangeldefinition

I rätvinkliga trianglar definierar man sinus för en vinkel som förhållandet mellan längden på hypotenusan och längden på den motstående kateten.

$\sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}$

Begrepp

Enhetscirkeln

För vinklar som inte finns i trianglar kan man använda enhetscirkeln för att tolka deras sinusvärden. Varje vinkel i enhetscirkeln motsvarar en punkt på cirkelns rand. Sinusvärdet för vinkeln går att läsa av som $y$-koordinaten för denna punkt.

$y=\sin(v)$

Begrepp

Funktion

Varje vinkel har exakt ett motsvarande sinusvärde, vilket innebär att man kan tolka sinus som en matematisk funktion: $f(x)=\sin(x).$ Det går att beräkna ett sinusvärde för alla vinklar $x,$ vilket betyder att definitionsmängden för funktionen är alla reella tal. I enhetscirkeln kan man se att sinus varierar mellan $\text{-}1$ och $1$, så värdemängden för $\sin(x)$ är $\text{-}1\leq y \leq 1.$

Begrepp

Graf

När sinusvärdena varierar mellan $\text{-}1$ och $1$ skapas ett periodiskt mönster: Värdena ökar från $\text{-}1$ till $0$ för att fortsätta stiga upp till $1$ och sedan sjunka ner till $0$ och $\text{-}1$ igen. Mönstret upprepas därefter med perioden $2\pi$.

Begrepp

Derivata

När man deriverar $\sin(x)$ får man $\cos(x).$ $D(\sin(x))=\cos(x)$ Man kan visa detta med derivatans definition.

Begrepp

Primitiv funktion

En primitiv funktion till $\sin(x)$ är $\text{-cos}(x).$ Regeln brukar skrivas $D ^{\text{-}1}(\sin(x))=\text{-}\cos(x)+C,$ där $C$ är en godtycklig konstant.

Begrepp

Invers funktion

För varje vinkel finns det ett sinusvärde. Om man vill gå från sinusvärde till vinkel använder man funktionen arcussinus, som brukar skrivas $\arcsin.$ Det finns dock oändligt många vinklar med samma sinusvärde. Man måste därför välja vilken av dessa som arcusfunktionen ska beräkna då värdet sätts in. För $\arcsin$ gäller intervallet $\text{-} 90^\circ \leq v \leq 90^\circ \quad \text{eller} \quad \text{-} \dfrac{\pi}{2} \leq v \leq \dfrac{\pi}{2}$ beroende på om man använder grader eller radianer.

Begrepp

Sinusvärden för standardvinklar

Med hjälp av bl.a. enhetscirkeln kan man härleda exakta sinusvärden för några standardvinklar.

$v$ (grader)	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$120^\circ$	$135^\circ$	$150^\circ$	$180^\circ$
$v$ (radianer)	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{2\pi}{3}$	$\dfrac{3\pi}{4}$	$\dfrac{5\pi}{6}$	$\pi$
$\sin(v)$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$

Begrepp

Samband med sinus

Begrepp

Addition- och subtraktionsformler

Sinusvärdet för en summa eller differens av två vinklar kan beräknas med sinus- och cosinusvärdena av de individuella vinklarna. $\begin{aligned} \sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)\\ \sin(u-v)=\sin(u)\cos(v)-\cos(u)\sin(v) \end{aligned}$

Begrepp

Dubbla vinkeln

Sinusvärdet för en dubbel vinkel kan skrivas om som en produkt av sinus- och cosinusvärdet för vinkeln. $\sin(2v)=2\sin(v)\cos(v)$

Begrepp

Negativa vinklar

Sinusvärdet för en negativ vinkel är samma som för motsvarande positiva vinkel, fast med omvänt tecken. $\sin(\text{-} v)=\text{-}\sin(v)$

Begrepp

Spegling i $y$-axeln

När en vinkel speglas i $y$-axeln förändras inte sinusvärdet. $\begin{aligned} \sin(180^\circ-v)=\sin(v)\\ \sin(\pi-v)=\sin(v) \end{aligned}$

Begrepp

Komplexa tal

För ett komplext tal på formen $a+bi$ är imaginärdelen $b=\sin(v)$ om $v$ är talets argument.