Begrepp

Sinus

Sinus har många användningsområden och tolkningar inom trigonometrin, t.ex. som ett samband mellan sidor och vinklar i trianglar. För varje vinkel i en triangel finns det ett entydigt sinusvärde och med hjälp av enhetscirkeln kan man även bestämma sinusvärden för negativa vinklar samt vinklar större än 180180^\circ. Mer generellt är sinus också en matematisk funktion.

Begrepp

Triangeldefinition

I rätvinkliga trianglar definierar man sinus för en vinkel som förhållandet mellan längden på hypotenusan och längden på den motstående kateten.

triangeldefinition av sinus

sin(v)=Motstende kateta˚Hypotenusa\sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}

Begrepp

Enhetscirkeln

För vinklar som inte finns i trianglar kan man använda enhetscirkeln för att tolka deras sinusvärden. Varje vinkel i enhetscirkeln motsvarar en punkt på cirkelns rand. Sinusvärdet för vinkeln går att läsa av som yy-koordinaten för denna punkt.

y=sin(v)y=\sin(v)

Begrepp

Funktion

Varje vinkel har exakt ett motsvarande sinusvärde, vilket innebär att man kan tolka sinus som en matematisk funktion: f(x)=sin(x). f(x)=\sin(x). Det går att beräkna ett sinusvärde för alla vinklar x,x, vilket betyder att definitionsmängden för funktionen är alla reella tal. I enhetscirkeln kan man se att sinus varierar mellan -1\text{-}1 och 11, så värdemängden för sin(x)\sin(x) är -1y1.\text{-}1\leq y \leq 1.

Begrepp

Graf

När sinusvärdena varierar mellan -1\text{-}1 och 11 skapas ett periodiskt mönster: Värdena ökar från -1\text{-}1 till 00 för att fortsätta stiga upp till 11 och sedan sjunka ner till 00 och -1\text{-}1 igen. Mönstret upprepas därefter med perioden 2π2\pi.


Begrepp

Derivata

När man deriverar sin(x)\sin(x) får man cos(x).\cos(x). D(sin(x))=cos(x) D(\sin(x))=\cos(x) Man kan visa detta med derivatans definition.

Begrepp

Primitiv funktion

En primitiv funktion till sin(x)\sin(x) är -cos(x).\text{-cos}(x). Regeln brukar skrivas D-1(sin(x))=-cos(x)+C, D ^{\text{-}1}(\sin(x))=\text{-}\cos(x)+C, där CC är en godtycklig konstant.

Begrepp

Invers funktion

För varje vinkel finns det ett sinusvärde. Om man vill gå från sinusvärde till vinkel använder man funktionen arcussinus, som brukar skrivas arcsin.\arcsin. Det finns dock oändligt många vinklar med samma sinusvärde. Man måste därför välja vilken av dessa som arcusfunktionen ska beräkna då värdet sätts in. För arcsin\arcsin gäller intervallet -90v90eller-π2vπ2 \text{-} 90^\circ \leq v \leq 90^\circ \quad \text{eller} \quad \text{-} \dfrac{\pi}{2} \leq v \leq \dfrac{\pi}{2} beroende på om man använder grader eller radianer.

Begrepp

Sinusvärden för standardvinklar

Med hjälp av bl.a. enhetscirkeln kan man härleda exakta sinusvärden för några standardvinklar.

vv (grader) 00^\circ 3030^\circ 4545^\circ 6060^\circ 9090^\circ 120120^\circ 135135^\circ 150150^\circ 180180^\circ
vv (radianer) 00 π6\dfrac{\pi}{6} π4\dfrac{\pi}{4} π3\dfrac{\pi}{3} π2\dfrac{\pi}{2} 2π3\dfrac{2\pi}{3} 3π4\dfrac{3\pi}{4} 5π6\dfrac{5\pi}{6} π\pi
sin(v) \sin(v) 00 12\dfrac{1}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 11 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2} 00
Begrepp

Samband med sinus

Begrepp

Addition- och subtraktionsformler

Sinusvärdet för en summa eller differens av två vinklar kan beräknas med sinus- och cosinusvärdena av de individuella vinklarna. sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)sin(uv)=sin(u)cos(v)cos(u)sin(v)\begin{aligned} \sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)\\ \sin(u-v)=\sin(u)\cos(v)-\cos(u)\sin(v) \end{aligned}

Begrepp

Dubbla vinkeln

Sinusvärdet för en dubbel vinkel kan skrivas om som en produkt av sinus- och cosinusvärdet för vinkeln. sin(2v)=2sin(v)cos(v) \sin(2v)=2\sin(v)\cos(v)

Begrepp

Negativa vinklar

Sinusvärdet för en negativ vinkel är samma som för motsvarande positiva vinkel, fast med omvänt tecken. sin(-v)=-sin(v) \sin(\text{-} v)=\text{-}\sin(v)

Begrepp

Spegling i yy-axeln

När en vinkel speglas i yy-axeln förändras inte sinusvärdet. sin(180v)=sin(v)sin(πv)=sin(v)\begin{aligned} \sin(180^\circ-v)=\sin(v)\\ \sin(\pi-v)=\sin(v) \end{aligned}

Begrepp

Komplexa tal

För ett komplext tal på formen a+bia+bi är imaginärdelen b=sin(v)b=\sin(v) om vv är talets argument.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}