body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Dashboard

Kurs 4 Visa detaljer

10. Tangensekvationer

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

Matematik 4 /

Kapitel 1

10.

Tangensekvationer

Tangensekvationer är en del av trigonometrin som fokuserar på att hitta vinklar med ett givet tangensvärde. Det behandlar hur man löser dessa ekvationer, liknande sinus- och cosinusekvationer, men med unika egenskaper. Till skillnad från sinus och cosinus har tangens inte samma period. Lektionen förklarar regler och metoder för att lösa tangensekvationer, inklusive användning av arctan och periodicitet. Den ger också exempel och förklaringar på hur tangens tolkas med enhetscirkeln, och hur man använder geometriska tolkningar för att lösa problem. Det är en lektionen för att studera och förstå dessa koncept inom matematik.

Visa mer

	7 sidor teori
	18 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Tangensekvationer

Sida av 7

En tangensekvation är en trigonometrisk ekvation där man ska hitta vinklar som har ett givet tangensvärde. Man löser dessa ekvationer på liknande sätt som sinus- och cosinusekvationer, men det finns ingen motsvarande spegling i någon av axlarna för att hitta en spegellösning. Tangens har inte heller samma period som sinus och cosinus.

Regel

Period för tangens

När man avgör perioden för sinus och cosinus kan man i enhetscirkeln se hur många grader man ska rotera för att hamna på samma punkt, och därmed samma trigonometriska värde. Den geometriska tolkningen av tangens är dock inte lika intuitiv och man använder istället sambandet tan(v)=sin(v)/cos(v) för att bestämma perioden. Sinus- och cosinusvärdet för en vinkel kan läsas av på y- respektive x-axeln.

Både sinus och cosinus har perioden 360^(∘). Betyder det att även tangens har det? Svaret är faktiskt nej, och det kan man se genom att undersöka en vinkel som är 180^(∘) större än v.

Tangensvärdet för vinkeln v+180^(∘) visar sig vara samma som för v.

Regel

tan(v+180^(∘))=tan(v)

För att beräkna det nya tangensvärdet kan man använda kvoten mellan sinus och cosinus. När en vinkel ökar med 180^(∘) byter både sinus och cosinus tecken.

tan(v+180^(∘))=sin(v+180^(∘))/cos(v+180^(∘))

SinSumToNegSin

sin(v+180^(∘)) = - sin(v)

tan(v+180^(∘))=-sin(v)/cos(v+180^(∘))

CosAddHalfPeriodToNegCos

cos(v+180^(∘)) = - cos(v)

tan(v+180^(∘))=-sin(v)/-cos(v)

Minustecknen tar ut varandra och högerledet förenklas till tan(v).

tan(v+180^(∘))=-sin(v)/-cos(v)

DivNegNeg

- a/- b=a/b

tan(v+180^(∘))=sin(v)/cos(v)

SinCosToTan

sin(v)/cos(v)=tan(v)

tan(v+180^(∘))=tan(v)

När en vinkel ökar med 180^(∘) förändras alltså inte tangensvärdet.

För varje varv i enhetscirkeln finns det alltså två punkter med samma tangensvärde, och de skiljs åt med ett halvt varv. Man kan lägga till eller dra ifrån hur många halva varv som helst men man kommer alltid att hamna på någon av dessa punkter. Perioden för tangens är därför 180^(∘), eller π. Man kan skriva det tan(v+n*180^(∘))=tan(v) eller tan(v+n* π)=tan(v),

där n är ett godtyckligt heltal.

Koncept

Tangensekvationer

När vi har en ekvation där vi känner till det trigonometriska värdet och vill hitta motsvarande vinkel, har vi en trigonometrisk ekvation.

Tangensekvationer och hur man löser dem

När tangens för en okänd vinkel v är lika med ett känt värde c, löser vi en grundläggande tangentekvation:

tan v = c

Eftersom tangens representerar förhållandet y/x för en punkt på enhetscirkeln, kan vi geometriskt tolka tan v som höjden vid vilken vinkelns stråle från origo skär linjen x = 1.

Dra punkten P_1 och observera vad som händer med den diametralt motsatta punkten P_2:

P_1 och P_2 ligger alltid på samma räta linje genom origo, och skär därför linjen x = 1 i exakt samma punkt — oavsett var P_1 befinner sig.

En rät linje genom origo skär x = 1 i just en punkt, vilket ger en enda grundlösning:

v_1 = arctan(c)

De allmänna lösningarna är därför:

v = v_1 + n * 180^(∘) eller v = v_1 + n * π

där v_1 = arctan(c) och n är ett heltal.

Metod

Lösa tangensekvationer

I en tangensekvation av typen

tan(v) = 1,75

är man ute efter alla vinklar v som har tangensvärdet 1,75. Det finns oändligt många sådana eftersom tangensfunktionen är periodisk. För att hitta alla lösningar ingår två moment, men när man själv löser ekvationen bör de göras i samma beräkningssteg.

Hitta en lösning med arctan

Med funktionen arcustangens bestämmer man en vinkel som har det givna tangensvärdet. I det här fallet beräknar man alltså

arctan (1,75).

Lägg till perioder

Tangens har perioden 180^(∘) (eller π), så genom att addera ett godtyckligt antal halva varv bestämmer man alla lösningar. Samtliga lösningar till ekvationen är alltså

v = arctan(1,75) + n * 180^(∘),

där n är ett heltal.

Lös tangensekvationen fullständigt

fullscreen

Lös tangensekvationen tan(v+π/6)=-sqrt(3). Svara i radianer.

Visa Lösning

Vi använder arcustangens för att lösa ekvationen och kommer ihåg att lägga till perioden π.

tan(v+π/6)=-sqrt(3)

ArcTanEqn

arctan(VL) = arctan(HL)

v+π/6=arctan(-sqrt(3))+n*π

För att lösa ut v subtraherar vi vinkeln π6 från båda led. Till sist förenklar vi högerledet.

v+π/6=arctan(-sqrt(3))+n*π

SubEqn

VL-π/6=HL-π/6

v=arctan(-sqrt(3))-π/6+n*π

ArcTanRad

\ifnumequal{-60}{0}{\arctan\left(0\right)=0}{}\ifnumequal{-60}{30}{\arctan\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\dfrac{\pi}6}{}\ifnumequal{-60}{45}{\arctan\left(1\right)=\dfrac{\pi}4}{}\ifnumequal{-60}{60}{\arctan\left(\sqrt{3}\right)=\dfrac{\pi}3}{}\ifnumequal{-60}{-30}{\arctan\left(- \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=- \dfrac{\pi}6}{}\ifnumequal{-60}{-45}{\arctan\left(- 1\right)=- \dfrac{\pi}4}{}\ifnumequal{-60}{-60}{\arctan\left(- \sqrt{3}\right)=- \dfrac{\pi}3}{}

v=-π/3-π/6+n*π

ExpandFracII

Förläng π/3 med 2

v=-2π/6-π/6+n*π

SubFrac

Subtrahera bråk

v=-3π/6+n*π

ReduceFrac

Förkorta med 3

v=-π/2+n*π

Ekvationen har alltså lösningarna v=-π/2+n*π.

Förklaring

Hur tolkas tangens med enhetscirkeln?

I enhetscirkeln kan man göra direkta avläsningar av sin(v) och cos(v) som koordinater. Motsvarande tolkning av tan(v) är dock lite krångligare. Man utgår då från definitionen av tangens i en rätvinklig triangel.

tan(v)=Motstående katet/Närliggande katet

För en vinkel i enhetscirkelns första kvadrant kan man alltid rita in en rätvinklig triangel med bas x och höjd y. Enligt definitionen ges då tangensvärdet av tan(v) = yx.

Nu kan man förlänga vinkelstrecket tills det skär linjen x = 1 och låta det utgöra hypotenusan i en ny rätvinklig triangel.

Dessa trianglar har samma vinklar och är alltså likformiga. Det betyder att man lika gärna kan beräkna tan(v) med hjälp av de nya katetlängderna, x_2 och y_2: tan(v) = y_2/x_2. Triangelns bas är 1, så man kan ersätta x_2 med 1. tan(v) = y_2/1 = y_2 I första kvadranten är alltså tangensvärdet höjden på den nya triangeln! En tolkning som fungerar i alla kvadranter är att tan(v) motsvarar y-värdet för skärningspunkten mellan linjen x=1 och det förlängda vinkelstrecket.

Är påståendena sanna eller falska?

fullscreen

Avgör om följande påståenden är sanna eller falska genom att resonera utifrån den geometriska tolkningen av tangens. &1. tan(v)=3har en lösning på intervallet0^(∘)≤ v≤90^(∘). [0.5em] &2. tan(v)=-2har en lösning på intervallet180^(∘)≤ v≤270^(∘). [0.5em]

Visa Lösning

Vi utreder ett påstående i taget.

Exempel

Första påståendet

Här ska vi avgöra om tangensvärdet 3 svarar mot någon vinkel på intervallet 0^(∘)≤ v≤90^(∘), dvs. i första kvadranten. Vi använder att tangensvärdet kan tolkas som y-värdet i skärningspunkten mellan linjen x=1 och vinkelstrecket i enhetscirkeln. Skärningspunkten ska då ha y-värdet 3.

Vilka vinklar kan skapa denna skärningspunkt? Vi ritar en rät linje som går genom origo och (1,3). Då ser vi att det finns två vinklar på första varvet som kan ge tangensvärdet 3.

Det finns en vinkel i första kvadranten och en i tredje. Påstående 1 är alltså sant.

Exempel

Andra påståendet

Nu ska vi istället avgöra om tangensvärdet -2 motsvarar någon vinkel på intervallet 180^(∘)≤ v≤270^(∘), dvs. i tredje kvadranten. Vi använder en liknande figur som tidigare, men markerar istället skärningspunkten med y-värdet -2.

Vilka vinklar ger upphov till denna skärningspunkt?

Det finns två vinklar: en i den andra och en i den fjärde kvadranten, men ingen i den tredje. Det andra påståendet måste därför vara falskt.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Tangensekvationer

Uppgift 2.1

tanv antar både positiva och negativa värden på intervallet 0 ≤ v ≤ 2π. För vilka vinklar på intervallet är tanv negativ?

Vi kan använda att tanv = sinv/cosv. Så när är denna kvot negativ? Jo, när sinv och cosv har olika tecken. Vi kan se att sinv är positiv för vinklar som motsvarar punkter i första och andra kvadranten på enhetscirkeln, och negativ för vinklar som motsvarar punkter i tredje och fjärde kvadranten.

cosv är istället positiv för vinklar som motsvarar punkter i första och fjärde kvadranten, och negativ för vinklar motsvarande punkter i andra och tredje kvadranten.

Om vi låter de tidigare figurerna överlappa varandra ser vi att det är vinklar motsvarande punkter i andra och fjärde kvadranten som har sinus- och cosinusvärden med olika tecken.

På intervallet 0 ≤ v ≤ 2π är tanv alltså negativ för följande vinklar. &π/2 < v < π (2:a kvadranten) [0.8em] &3π/2 < v < 2π (4:e kvadranten) Notera att ändpunkterna inte inkluderas i intervallen. Det beror på att tanv inte är negativ, utan istället 0 eller odefinierad, för dessa vinklar. Tabellen visar att det faktiskt är så.

Ändpunkt v	sinv	cosv	tanv
π/2	1	0	Odef.
π	0	- 1	0
3π/2	- 1	0	Odef.
2π	0	1	0

För en vinkel v kan tangensvärdet avläsas grafiskt som y-koordinaten för skärningspunkten mellan den förlängda vinkelpekaren och linjen x = 1. Om vinkelpekaren är till vänster om y-axeln förlängs vinkelpekaren till motsatt sida origo så att en skärning sker.

Utifrån den här grafiska tolkningen av tangens kan man se att tangensvärdet är negativt då vinkeln ger en punkt i andra eller fjärde kvadranten.

Detta motsvarar intervallen π/2 < v < π och 3π/2 < v < 2π. Att intervallens ändpunkter inte ska inkluderas får motiveras på samma sätt som i ordinarie lösning.

Bestäm de lösningar till ekvationen som ligger i intervallet -π ≤ v ≤ π. Avrunda till två decimaler.

tan(v-π/6) = 0,5

tan(v/2+π) = -1,2

Vi löser tangensekvationen med hjälp av arcustangens, och kommer ihåg att lägga till perioder.

Ekvationens fullständiga lösning är alltså v ≈ 0,99 + n*π. För att se vilka lösningar som ligger på intervallet -π ≤ v ≤ π undersöker vi några olika värden på n.

n	0,99 + n*π
-2	~ -5,29
-1	~ -2,15 ✓
0	~ 0,99 ✓
1	~ 4,13

Eftersom π ≈ 3,14 så är det bara två lösning som ligger inom intervallet: v ≈ -2,15 och v ≈ 0,99.

Vi löser denna tangensekvation på samma sätt som i föregående deluppgift.

Den fullständiga lösningen till ekvationen är alltså v ≈ -8,04 + n*2π. Vi undersöker ännu en gång vilka lösningar som ligger i intervallet -π ≤ v ≤ π genom att sätta in olika värden på n. Eftersom -8,04 är mindre än -π så behöver vi bara testa positiva n.

n	-8,04+ n*2π
1	~ -1,76 ✓
2	~ 4,53

Ekvationen har alltså endast en lösning på intervallet i fråga: v ≈ -1,76.

Lös ekvationen tan(0,3v + 45^(∘)) = 1,88. Låt n vara antalet hela varv i enhetscirkeln.

Vi löser tangensekvationen med hjälp av arcustangens, och kommer ihåg att lägga till perioder. Sedan förenklar vi så att v står ensamt i ena ledet.

Ekvationens fullständiga lösningsmängd är alltså v ≈ 57^(∘) + n * 600^(∘).

Lös ekvationen fullständigt. Låt n vara antalet hela varv i enhetscirkeln. sin(x + π/6) + cos(x + π/6) = 0

Vi gör om den här ekvationen till en tangensekvation genom att dividera med cosinustermen. Sedan kan den lösas som en vanlig tangensekvation.

Vi har nu löst ekvationen fullständigt.

Lös ekvationen. Svara i grader med en decimal. Låt n vara antalet hela varv i enhetscirkeln. sinv * tanv - tanv = 0

Vi löser ekvationen genom faktorisering. Båda termerna har den gemensamma faktorn tanv, så vi bryter ut den. tanv(sinv - 1) = 0 En produkt är lika med noll när minst en av faktorerna är noll. Vi löser varje fall separat.

Fall 1: tanv = 0

Vi löser tangensekvationen genom att hitta en lösning med arctan och sedan lägga till perioder.

Fall 2: sinv = 1

Vi löser sinusekvationen genom att hitta båda lösningarna med arcsin och sedan lägga till perioder.

Båda lösningarna sammanfaller och ger en unik lösning.

Fullständig lösning

Genom att kombinera lösningarna från båda fallen är den fullständiga lösningen v = n * 180^(∘) eller v = 90^(∘) + n * 360^(∘), där n är ett heltal.

Lös ekvationen för v där 0 ≤ v ≤ 2π. 4tanv = 3 + tanv

Vi börjar med att samla tangenstermer på ena sidan av ekvationen.

Vi löser nu tangensekvationen genom att hitta en lösning med arctan och sedan lägga till perioder.

Vi identifierar nu vilka lösningar som ligger inom intervallet 0 ≤ v ≤ 2π genom att testa värden på n.

n	v = π/4 + n * π	Inom intervallet?
0	π/4	✓
1	π/4 + π = 5π/4	✓
2	π/4 + 2π = 9π/4	*

Lösningarna är v = π/4 och v = 5π/4.

Tangensekvationer

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan