6. Tangensekvationer
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
6.
Tangensekvationer
Tangensekvationer är en del av trigonometrin som fokuserar på att hitta vinklar med ett givet tangensvärde. Det behandlar hur man löser dessa ekvationer, liknande sinus- och cosinusekvationer, men med unika egenskaper. Till skillnad från sinus och cosinus har tangens inte samma period. Lektionen förklarar regler och metoder för att lösa tangensekvationer, inklusive användning av arctan och periodicitet. Den ger också exempel och förklaringar på hur tangens tolkas med enhetscirkeln, och hur man använder geometriska tolkningar för att lösa problem. Det är en lektionen för att studera och förstå dessa koncept inom matematik.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 11 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Tangensekvationer
Sida av 6
En tangensekvation är en trigonometrisk ekvation där man ska hitta vinklar som har ett givet tangensvärde. Man löser dessa ekvationer på liknande sätt som sinus- och cosinusekvationer, men det finns ingen motsvarande spegling i någon av axlarna för att hitta en spegellösning. Tangens har inte heller samma period som sinus och cosinus.
Regel
Period för tangens
När man avgör perioden för sinus och cosinus kan man i enhetscirkeln se hur många grader man ska rotera för att hamna på samma punkt, och därmed samma trigonometriska värde. Den geometriska tolkningen av tangens är dock inte lika intuitiv och man använder istället sambandet
Tangensvärdet för vinkeln v+180∘ visar sig vara samma som för v.
tan(v)=cos(v)sin(v)
för att bestämma perioden. Sinus- och cosinusvärdet för en vinkel kan läsas av på y- respektive x-axeln. Både sinus och cosinus har perioden 360∘. Betyder det att även tangens har det? Svaret är faktiskt nej, och det kan man se genom att undersöka en vinkel som är 180∘ större än v.
Regel
tan(v+180∘)=tan(v)För att beräkna det nya tangensvärdet kan man använda kvoten mellan sinus och cosinus. När en vinkel ökar med 180∘ byter både sinus och cosinus tecken.
Minustecknen tar ut varandra och högerledet förenklas till tan(v).
När en vinkel ökar med 180∘ förändras alltså inte tangensvärdet.
tan(v+180∘)=cos(v+180∘)sin(v+180∘)
SinSumToNegSin
sin(v+180∘)=−sin(v)
tan(v+180∘)=cos(v+180∘)−sin(v)
CosAddHalfPeriodToNegCos
cos(v+180∘)=−cos(v)
tan(v+180∘)=−cos(v)−sin(v)
tan(v+180∘)=−cos(v)−sin(v)
DivNegNeg
-b-a=ba
tan(v+180∘)=cos(v)sin(v)
SinCosToTan
cos(v)sin(v)=tan(v)
tan(v+180∘)=tan(v)
tan(v+n⋅180∘)=tan(v)ellertan(v+n⋅π)=tan(v),
där n är ett godtyckligt heltal.Metod
Lösa tangensekvationer
I en tangensekvation av typen
tan(v)=1.75
är man ute efter alla vinklar v som har tangensvärdet 1.75. Det finns oändligt många sådana eftersom tangensfunktionen är periodisk. För att hitta alla lösningar ingår två moment, men när man själv löser ekvationen bör de göras i samma beräkningssteg.
1
Hitta en lösning med arctan
expand_more Med funktionen arcustangens bestämmer man en vinkel som har det givna tangensvärdet. I det här fallet beräknar man alltså
arctan(1.75).
2
Lägg till perioder
expand_more Tangens har perioden 180∘ (eller π), så genom att addera ett godtyckligt antal halva varv bestämmer man alla lösningar. Samtliga lösningar till ekvationen är alltså
v=arctan(1.75)+n⋅180∘,
där n är ett heltal. Exempel
Lös tangensekvationen fullständigt
Lös tangensekvationen tan(v+6π)=−3. Svara i radianer.
Visa Lösning expand_more
Vi använder arcustangens för att lösa ekvationen och kommer ihåg att lägga till perioden π.
För att lösa ut v subtraherar vi vinkeln 6π från båda led. Till sist förenklar vi högerledet.
Ekvationen har alltså lösningarna
v+6π=arctan(−3)+n⋅π
SubEqn
VL−6π=HL−6π
v=arctan(−3)−6π+n⋅π
v=−3π−6π+n⋅π
ExpandFracII
Förläng 3π med 2
v=−62π−6π+n⋅π
SubFrac
Subtrahera bråk
v=−63π+n⋅π
ReduceFrac
Förkorta med 3
v=−2π+n⋅π
v=−2π+n⋅π.
Förklaring
Hur tolkas tangens med enhetscirkeln?
I enhetscirkeln kan man göra direkta avläsningar av sin(v) och cos(v) som koordinater. Motsvarande tolkning av tan(v) är dock lite krångligare. Man utgår då från definitionen av tangens i en rätvinklig triangel.
tan(v)=Na¨rliggande katetMotsta˚ende katet
För en vinkel i enhetscirkelns första kvadrant kan man alltid rita in en rätvinklig triangel med bas x och höjd y. Enligt definitionen ges då tangensvärdet av tan(v)=xy.
Nu kan man förlänga vinkelstrecket tills det skär linjen x=1 och låta det utgöra hypotenusan i en ny rätvinklig triangel.
tan(v)=x2y2.
Triangelns bas är 1, så man kan ersätta x2 med 1.
tan(v)=1y2=y2
I första kvadranten är alltså tangensvärdet höjden på den nya triangeln! En tolkning som fungerar i alla kvadranter är att tan(v) motsvarar y-värdet för skärningspunkten mellan linjen x=1 och det förlängda vinkelstrecket. 
Exempel
Är påståendena sanna eller falska?
1. tan(v)=3 har en lo¨sning pa˚ intervallet 0∘≤v≤90∘.2. tan(v)=−2 har en lo¨sning pa˚ intervallet 180∘≤v≤270∘.
Visa Lösning expand_more
Vi utreder ett påstående i taget.
Exempel
Första påståendet
Vilka vinklar kan skapa denna skärningspunkt? Vi ritar en rät linje som går genom origo och (1,3). Då ser vi att det finns två vinklar på första varvet som kan ge tangensvärdet 3.
Det finns en vinkel i första kvadranten och en i tredje. Påstående 1 är alltså sant.
Exempel
Andra påståendet
Vilka vinklar ger upphov till denna skärningspunkt?
Det finns två vinklar: en i den andra och en i den fjärde kvadranten, men ingen i den tredje. Det andra påståendet måste därför vara falskt.
Tangensekvationer
Lös ekvationen
tan(0.3v+45∘)=1.88.
Låt n vara antalet hela varv i enhetscirkeln.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["n"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.48312em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">v<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">\u2248<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["57+n*600"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi löser tangensekvationen med hjälp av arcustangens, och kommer ihåg att lägga till perioder. Sedan förenklar vi så att v står ensamt i ena ledet.
Ekvationens fullständiga lösningsmängd är alltså v ≈ 57^(∘) + n * 600^(∘).
security
report
code
Bestäm de lösningar till ekvationen som ligger i intervallet −π≤v≤π. Avrunda till två decimaler.
tan(v−6π)=0.5
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"v"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-2.15","0.99"]}}
tan(2v+π)=−1.2
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"v"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-1.76"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi löser tangensekvationen med hjälp av arcustangens, och kommer ihåg att lägga till perioder.
Ekvationens fullständiga lösning är alltså v ≈ 0.99 + n*π. För att se vilka lösningar som ligger på intervallet -π ≤ v ≤ π undersöker vi några olika värden på n.
| n | 0.99 + n*π |
|---|---|
| -2 | ~ -5.29 |
| -1 | ~ -2.15 |
| 0 | ~ 0.99 |
| 1 | ~ 4.13 |
Eftersom π ≈ 3.14 så är det bara två lösning som ligger inom intervallet: v ≈ -2.15 och v ≈ 0.99.
Vi löser denna tangensekvation på samma sätt som i föregående deluppgift.
Den fullständiga lösningen till ekvationen är alltså v ≈ -8.04 + n*2π. Vi undersöker ännu en gång vilka lösningar som ligger i intervallet -π ≤ v ≤ π genom att sätta in olika värden på n. Eftersom -8.04 är mindre än -π så behöver vi bara testa positiva n.
| n | -8.04+ n*2π |
|---|---|
| 1 | ~ -1.76 |
| 2 | ~ 4.53 |
Ekvationen har alltså endast en lösning på intervallet i fråga: v ≈ -1.76.
security
report
code
tan(v) antar både positiva och negativa värden på intervallet 0≤v≤2π. För vilka vinklar på intervallet är tan(v) negativ?
security
report
code
security
report
code
Vi kan använda att tan(v) = sin(v)/cos(v). Så när är denna kvot negativ? Jo, när sin(v) och cos(v) har olika tecken. Vi kan se att sin(v) är positiv för vinklar som motsvarar punkter i första och andra kvadranten på enhetscirkeln, och negativ för vinklar som motsvarar punkter i tredje och fjärde kvadranten.
cos(v) är istället positiv för vinklar som motsvarar punkter i första och fjärde kvadranten, och negativ för vinklar motsvarande punkter i andra och tredje kvadranten.
Om vi låter de tidigare figurerna överlappa varandra ser vi att det är vinklar motsvarande punkter i andra och fjärde kvadranten som har sinus- och cosinusvärden med olika tecken.
På intervallet 0 ≤ v ≤ 2π är tan(v) alltså negativ för följande vinklar. &π/2 < v < π (2:a kvadranten) [0.8em] &3π/2 < v < 2π (4:e kvadranten) Notera att ändpunkterna inte inkluderas i intervallen. Det beror på att tan(v) inte är negativ, utan istället 0 eller odefinierad, för dessa vinklar. Tabellen visar att det faktiskt är så.
| Ändpunkt (v) | sin(v) | cos(v) | tan(v) |
|---|---|---|---|
| π/2 | 1 | 0 | Odef. |
| π | 0 | - 1 | 0 |
| 3π/2 | - 1 | 0 | Odef. |
| 2π | 0 | 1 | 0 |
För en vinkel v kan tangensvärdet avläsas grafiskt som y-koordinaten för skärningspunkten mellan den förlängda vinkelpekaren och linjen x = 1. Om vinkelpekaren är till vänster om y-axeln förlängs vinkelpekaren till motsatt sida origo så att en skärning sker.
Utifrån den här grafiska tolkningen av tangens kan man se att tangensvärdet är negativt då vinkeln ger en punkt i andra eller fjärde kvadranten.
Detta motsvarar intervallen π2 < v < π och 3π2 < v < 2π. Att intervallens ändpunkter inte ska inkluderas får motiveras på samma sätt som i ordinarie lösning.
security
report
code
Lös ekvationen fullständigt. Låt n vara antalet hela varv i enhetscirkeln.
sin(x+6π)+cos(x+6π)=0
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["n"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-\\dfrac{5\\pi}{12}+n*\\pi"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi gör om den här ekvationen till en tangensekvation genom att dividera med cosinustermen. Sedan kan den lösas som en vanlig tangensekvation.
Vi har nu löst ekvationen fullständigt.
security
report
code
Tangensekvationer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll