6. Tangensekvationer
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
6.
Tangensekvationer
Tangensekvationer är en del av trigonometrin som fokuserar på att hitta vinklar med ett givet tangensvärde. Det behandlar hur man löser dessa ekvationer, liknande sinus- och cosinusekvationer, men med unika egenskaper. Till skillnad från sinus och cosinus har tangens inte samma period. Lektionen förklarar regler och metoder för att lösa tangensekvationer, inklusive användning av arctan och periodicitet. Den ger också exempel och förklaringar på hur tangens tolkas med enhetscirkeln, och hur man använder geometriska tolkningar för att lösa problem. Det är en lektionen för att studera och förstå dessa koncept inom matematik.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 11 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Tangensekvationer
Sida av 6
En tangensekvation är en trigonometrisk ekvation där man ska hitta vinklar som har ett givet tangensvärde. Man löser dessa ekvationer på liknande sätt som sinus- och cosinusekvationer, men det finns ingen motsvarande spegling i någon av axlarna för att hitta en spegellösning. Tangens har inte heller samma period som sinus och cosinus.
Regel
Period för tangens
När man avgör perioden för sinus och cosinus kan man i enhetscirkeln se hur många grader man ska rotera för att hamna på samma punkt, och därmed samma trigonometriska värde. Den geometriska tolkningen av tangens är dock inte lika intuitiv och man använder istället sambandet
Tangensvärdet för vinkeln v+180∘ visar sig vara samma som för v.
tan(v)=cos(v)sin(v)
för att bestämma perioden. Sinus- och cosinusvärdet för en vinkel kan läsas av på y- respektive x-axeln. Både sinus och cosinus har perioden 360∘. Betyder det att även tangens har det? Svaret är faktiskt nej, och det kan man se genom att undersöka en vinkel som är 180∘ större än v.
Regel
tan(v+180∘)=tan(v)För att beräkna det nya tangensvärdet kan man använda kvoten mellan sinus och cosinus. När en vinkel ökar med 180∘ byter både sinus och cosinus tecken.
Minustecknen tar ut varandra och högerledet förenklas till tan(v).
När en vinkel ökar med 180∘ förändras alltså inte tangensvärdet.
tan(v+180∘)=cos(v+180∘)sin(v+180∘)
SinSumToNegSin
sin(v+180∘)=−sin(v)
tan(v+180∘)=cos(v+180∘)−sin(v)
CosAddHalfPeriodToNegCos
cos(v+180∘)=−cos(v)
tan(v+180∘)=−cos(v)−sin(v)
tan(v+180∘)=−cos(v)−sin(v)
DivNegNeg
-b-a=ba
tan(v+180∘)=cos(v)sin(v)
SinCosToTan
cos(v)sin(v)=tan(v)
tan(v+180∘)=tan(v)
tan(v+n⋅180∘)=tan(v)ellertan(v+n⋅π)=tan(v),
där n är ett godtyckligt heltal.Metod
Lösa tangensekvationer
I en tangensekvation av typen
tan(v)=1.75
är man ute efter alla vinklar v som har tangensvärdet 1.75. Det finns oändligt många sådana eftersom tangensfunktionen är periodisk. För att hitta alla lösningar ingår två moment, men när man själv löser ekvationen bör de göras i samma beräkningssteg.
1
Hitta en lösning med arctan
expand_more Med funktionen arcustangens bestämmer man en vinkel som har det givna tangensvärdet. I det här fallet beräknar man alltså
arctan(1.75).
2
Lägg till perioder
expand_more Tangens har perioden 180∘ (eller π), så genom att addera ett godtyckligt antal halva varv bestämmer man alla lösningar. Samtliga lösningar till ekvationen är alltså
v=arctan(1.75)+n⋅180∘,
där n är ett heltal. Exempel
Lös tangensekvationen fullständigt
Lös tangensekvationen tan(v+6π)=−3. Svara i radianer.
Visa Lösning expand_more
Vi använder arcustangens för att lösa ekvationen och kommer ihåg att lägga till perioden π.
För att lösa ut v subtraherar vi vinkeln 6π från båda led. Till sist förenklar vi högerledet.
Ekvationen har alltså lösningarna
v+6π=arctan(−3)+n⋅π
SubEqn
VL−6π=HL−6π
v=arctan(−3)−6π+n⋅π
v=−3π−6π+n⋅π
ExpandFracII
Förläng 3π med 2
v=−62π−6π+n⋅π
SubFrac
Subtrahera bråk
v=−63π+n⋅π
ReduceFrac
Förkorta med 3
v=−2π+n⋅π
v=−2π+n⋅π.
Förklaring
Hur tolkas tangens med enhetscirkeln?
I enhetscirkeln kan man göra direkta avläsningar av sin(v) och cos(v) som koordinater. Motsvarande tolkning av tan(v) är dock lite krångligare. Man utgår då från definitionen av tangens i en rätvinklig triangel.
tan(v)=Na¨rliggande katetMotsta˚ende katet
För en vinkel i enhetscirkelns första kvadrant kan man alltid rita in en rätvinklig triangel med bas x och höjd y. Enligt definitionen ges då tangensvärdet av tan(v)=xy.
Nu kan man förlänga vinkelstrecket tills det skär linjen x=1 och låta det utgöra hypotenusan i en ny rätvinklig triangel.
tan(v)=x2y2.
Triangelns bas är 1, så man kan ersätta x2 med 1.
tan(v)=1y2=y2
I första kvadranten är alltså tangensvärdet höjden på den nya triangeln! En tolkning som fungerar i alla kvadranter är att tan(v) motsvarar y-värdet för skärningspunkten mellan linjen x=1 och det förlängda vinkelstrecket. 
Exempel
Är påståendena sanna eller falska?
1. tan(v)=3 har en lo¨sning pa˚ intervallet 0∘≤v≤90∘.2. tan(v)=−2 har en lo¨sning pa˚ intervallet 180∘≤v≤270∘.
Visa Lösning expand_more
Vi utreder ett påstående i taget.
Exempel
Första påståendet
Vilka vinklar kan skapa denna skärningspunkt? Vi ritar en rät linje som går genom origo och (1,3). Då ser vi att det finns två vinklar på första varvet som kan ge tangensvärdet 3.
Det finns en vinkel i första kvadranten och en i tredje. Påstående 1 är alltså sant.
Exempel
Andra påståendet
Vilka vinklar ger upphov till denna skärningspunkt?
Det finns två vinklar: en i den andra och en i den fjärde kvadranten, men ingen i den tredje. Det andra påståendet måste därför vara falskt.
Tangensekvationer
Övningar
Cotangens av en vinkel definieras av
cot(v)=sin(v)cos(v).
För någon vinkel v i första kvadranten är cot(v)=41. Använd enhetscirkeln för att hitta exakta uttryck för vinkelns sinus- och cosinusvärden.
security
report
code
security
report
code
Vi vet att cot(v) = cos(v)sin(v) och att cot(v) = 14 vilket vi kan skriva ihop till cos(v)sin(v) = 14. Vi skriver om uttrycket till sin(v)cos(v) eftersom det är ett uttryck för tangens.
Tangens räknas ut med motstående katet delat på närliggande katet och om tan(v) = 4 så kan vi skriva uttrycket som tan(v) = Motstående katet/Närliggande katet=4/1. Tangensvärdet för vinkeln kan alltså beräknas med en triangel där motstående katet är 4 och den närliggande är 1. Vi ritar upp enhetscirkeln med en triangel i första kvadranten.
sin(v) och cos(v) kan beräknas med triangelns sidlängder: sin(v)=Motstående katet/Hypotenusa, cos(v)=Närliggande katet/Hypotenusa. Uttrycken använder triangelns hypotenusa som vi inte har än, men den kan vi räkna ut med Pythagoras sats.
Eftersom en längd inte kan vara negativ kommer hypotenusan att vara sqrt(17). Då kan formlerna ovan användas för att ge sinus- och cosinusvärdena sin(v) = 4/sqrt(17), cos(v) = 1/sqrt(17).
security
report
code
Spänningen i volt i två olika växelströmskretsar beskrivs av funktionerna
uw=10sin(15000t+3π) och=30cos(15000t+37π),
där t är tiden i sekunder efter att strömmen slagits på. När har kretsarna samma spänning? Svara med tre värdesiffror och låt n vara antalet hela varv i enhetscirkeln.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["n"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.61508em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">t<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":"s","answer":{"text":["1.35*10^{-5}+n*2.09*10^{-4}"]}}
security
report
code
security
report
code
u och w beskriver varsin spänning, och vi vill veta när de är lika. Därför sätter vi dem lika med varandra, och försöker sedan lösa ut tiden t.
För att räkna ut tiden vill vi lösa ut t och samlar därför uttrycken som innehåller t på samma sida.
I vänsterledet har vi nu sinus delat på cosinus som vi kan byta ut mot tangens om de har samma argument. Notera att bråket i cosinusuttrycket är större än perioden 2π:
cos(15 000t+7π/3) = cos(15 000t+π/3+6π/3).
Eftersom en period inte påverkar värdet av trigonometriska funktioner kan vi ta bort 6π3=2π, och då har båda uttryck samma argument. Nu kan vi göra en omskrivning med tangens och lösa ut t.
Kretsarna kommer alltså ha samma spänning 1.35 * 10^(-5) sekunder efter att strömmen slagits på, och sedan igen i ett upprepande mönster med en period på 2.09 *10^(-4) sekunder.
security
report
code
Tangensekvationer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll