Förklaring

Hur tolkas tangens med enhetscirkeln?

I enhetscirkeln kan cosinusvärdet tolkas som ett xx-värde medan sinusvärdet motsvarar ett yy-värde. Kan man förstå tangens på ett liknande sätt?

Förklaring

Första kvadranten

Anta först att vinkeln ligger i första kvadranten, dvs. att vinkeln är mellan 00^\circ och 90.90^\circ. Kom ihåg att tangensvärdet av en vinkel i en rätvinklig triangel beräknas med hjälp av triangelns sidlängder.

tan(v)=Motstende kateta˚Nrliggande kateta¨\tan(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}

För en vinkel i enhetscirkelns första kvadrant kan man alltid rita in en rätvinklig triangel med bredd xx och höjd y.y. Enligt definitionen skulle då tangensvärdet ges av tan(v)=yx.\tan(v) = \frac{y}{x}.

Det här verkar inte så hjälpsamt eftersom xx och yy ändras för varje ny vinkel, så hur ska kvoten yx\frac{y}{x} vara till nytta? Knepet är att skapa en ny rätvinklig triangel med samma vinkel, v,v, men där den lodräta kateten går längs med x=1.x=1. Vinkeln har inte ändrats, så tan(v)\tan(v) kan lika gärna beräknas med den nya triangeln.

Med hjälp av den nya triangelns katetlängder får man ett nytt uttryck för tangens: tan(v)=y2x2. \tan(v) = \dfrac{y_2}{x_2}. Men triangelns bas är 1,1, så man kan ersätta x2x_2 med 1.1. tan(v)=y21=y2 \tan(v) = \dfrac{y_2}{1} = y_2 Tangensvärdet är alltså höjden på den nya triangeln! Detta ger ett sätt att tolka tangensvärdet grafiskt. Dra en lodrät linje längs x=1x=1 och förläng vinkelstrecket tills den lodräta linjen nås. Skärningspunktens yy-värde är vinkelns tangensvärde.


Förklaring

Övriga kvadranter

När vinklar är negativa, eller större än 90,90^\circ, går det inte att rita in dem i en rätvinklig triangel. Dessa kan istället hanteras genom ett par algebraiska regler: tan(-v)=-tan(v)tan(v+n180)=tan(v).\begin{aligned} \tan(\text{-} v) & = \text{-}\tan(v) \\ \tan(v+n\cdot180^\circ) & = \tan(v). \end{aligned} Den första innebär att negativa vinklars tangensvärden kan hittas genom att bara byta tecken på den positiva motsvarighetens tangensvärde. Den andra innebär att halva varv kan dras bort från en vinkel utan att tangensvärdet ändras. Tillsammans med resonemanget från första kvadranten kan nu alla vinklars tangensvärden tolkas geometriskt.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}