{{ option.label }} add
menu_book {{ printedBook.name}}
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open

Hur tolkas tangens med enhetscirkeln *Why*

tune
{{ topic.label }}
{{ result.displayTitle }}
{{ result.subject.displayTitle }}
navigate_next

Förklaring

Hur tolkas tangens med enhetscirkeln?

I enhetscirkeln kan cosinusvärdet tolkas som ett x-värde medan sinusvärdet motsvarar ett y-värde. Kan man förstå tangens på ett liknande sätt?

Förklaring

Första kvadranten

Anta först att vinkeln ligger i första kvadranten, dvs. att vinkeln är mellan och Kom ihåg att tangensvärdet av en vinkel i en rätvinklig triangel beräknas med hjälp av triangelns sidlängder.

För en vinkel i enhetscirkelns första kvadrant kan man alltid rita in en rätvinklig triangel med bredd x och höjd y. Enligt definitionen skulle då tangensvärdet ges av

Det här verkar inte så hjälpsamt eftersom x och y ändras för varje ny vinkel, så hur ska kvoten vara till nytta? Knepet är att skapa en ny rätvinklig triangel med samma vinkel, v, men där den lodräta kateten går längs med x=1. Vinkeln har inte ändrats, så kan lika gärna beräknas med den nya triangeln.

Med hjälp av den nya triangelns katetlängder får man ett nytt uttryck för tangens:
Men triangelns bas är 1, så man kan ersätta x2 med 1.
Tangensvärdet är alltså höjden på den nya triangeln! Detta ger ett sätt att tolka tangensvärdet grafiskt. Dra en lodrät linje längs x=1 och förläng vinkelstrecket tills den lodräta linjen nås. Skärningspunktens y-värde är vinkelns tangensvärde.

Förklaring

Övriga kvadranter

När vinklar är negativa, eller större än går det inte att rita in dem i en rätvinklig triangel. Dessa kan istället hanteras genom ett par algebraiska regler:
Den första innebär att negativa vinklars tangensvärden kan hittas genom att bara byta tecken på den positiva motsvarighetens tangensvärde. Den andra innebär att halva varv kan dras bort från en vinkel utan att tangensvärdet ändras. Tillsammans med resonemanget från första kvadranten kan nu alla vinklars tangensvärden tolkas geometriskt.
close
Community