Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Hur tolkas tangens med enhetscirkeln


Förklaring

Hur tolkas tangens med enhetscirkeln?

I enhetscirkeln kan cosinusvärdet tolkas som ett xx-värde medan sinusvärdet motsvarar ett yy-värde. Kan man förstå tangens på ett liknande sätt?

Förklaring

Första kvadranten

Anta först att vinkeln ligger i första kvadranten, dvs. att vinkeln är mellan 00^\circ och 90.90^\circ. Kom ihåg att tangensvärdet av en vinkel i en rätvinklig triangel beräknas med hjälp av triangelns sidlängder.

tan(v)=Motsta˚ende katetNa¨rliggande katet\tan(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}

För en vinkel i enhetscirkelns första kvadrant kan man alltid rita in en rätvinklig triangel med bredd xx och höjd y.y. Enligt definitionen skulle då tangensvärdet ges av tan(v)=yx.\tan(v) = \frac{y}{x}.

Det här verkar inte så hjälpsamt eftersom xx och yy ändras för varje ny vinkel, så hur ska kvoten yx\frac{y}{x} vara till nytta? Knepet är att skapa en ny rätvinklig triangel med samma vinkel, v,v, men där den lodräta kateten går längs med x=1.x=1. Vinkeln har inte ändrats, så tan(v)\tan(v) kan lika gärna beräknas med den nya triangeln.

Med hjälp av den nya triangelns katetlängder får man ett nytt uttryck för tangens: tan(v)=y2x2. \tan(v) = \dfrac{y_2}{x_2}. Men triangelns bas är 1,1, så man kan ersätta x2x_2 med 1.1. tan(v)=y21=y2 \tan(v) = \dfrac{y_2}{1} = y_2 Tangensvärdet är alltså höjden på den nya triangeln! Detta ger ett sätt att tolka tangensvärdet grafiskt. Dra en lodrät linje längs x=1x=1 och förläng vinkelstrecket tills den lodräta linjen nås. Skärningspunktens yy-värde är vinkelns tangensvärde.


Förklaring

Övriga kvadranter

När vinklar är negativa, eller större än 90,90^\circ, går det inte att rita in dem i en rätvinklig triangel. Dessa kan istället hanteras genom ett par algebraiska regler: tan(-v)=-tan(v)tan(v+n180)=tan(v).\begin{aligned} \tan(\text{-} v) & = \text{-}\tan(v) \\ \tan(v+n\cdot180^\circ) & = \tan(v). \end{aligned} Den första innebär att negativa vinklars tangensvärden kan hittas genom att bara byta tecken på den positiva motsvarighetens tangensvärde. Den andra innebär att halva varv kan dras bort från en vinkel utan att tangensvärdet ändras. Tillsammans med resonemanget från första kvadranten kan nu alla vinklars tangensvärden tolkas geometriskt.