Sneda asymptoter: Lodrät och vertikal

$x$	$- 0.9$	$- 0.99$	$- 0.999$	$- 0.9999$	$\to - 1^{+}$
$\frac{2 x ^{2} + 3 x + 2}{x + 1}$	$9.2$	$99.02$	$999.002$	$9999.0002$	$\to \infty$

x

- 0.9

- 0.99

- 0.999

- 0.9999

\to - 1^{+}

\frac{2 x ^{2} + 3 x + 2}{x + 1}

9.2

99.02

999.002

9999.0002

\to \infty

Asymptotbegreppet kan utvidgas till andra funktioner än bara räta linjer. Man kan t.ex. säga att en funktion beter sig som en andragradsfunktion,

g (x) = a x^{2} + b x + c,

när

x

närmar sig oändligheten om

x \to \infty lim (f (x) - (a x^{2} + b x + c)) = 0 .

För en funktion som har en sådan "asymptot" kan man bestämma

a,

b

och

c

med följande gränsvärden.

a = x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x ^{2}} b = x \to \infty lim \frac{f ( x ) - a x ^{2}}{x} c = x \to \infty lim (f (x) - a x^{2} - b x)

Bestäm andragradsasymptoten,

g (x),

till

f (x) = \frac{3 x ^{4} - 2 x ^{3} - 4 x ^{2} - 2 x + 3}{x ^{2} + 1} .

Vi börjar med att bestämma a. Då behöver vi ett uttryck för f(x)x^2.

Nu låter vi x gå mot oändligheten och bestämmer gränsvärdet genom att förkorta bråket med x^4.

Koefficienten framför x^2 är alltså 3. Vi använder den för att bestämma b: b=lim _(x→ ∞)f(x)-ax^2/x. Vi tar fram ett uttryck för täljaren innan vi beräknar gränsvärdet.

Detta är alltså täljaren i gränsvärdet. Nämnaren är x så vi delar med det.

Nu låter vi x gå mot oändligheten för att bestämma b.

Koefficienten framför x är alltså -2. Nu använder vi både a=3 och b=-2 för att bestämma konstanttermen c. Vi börjar med att ta fram ett uttryck för f(x)-ax^2-bx.

Nu låter vi x gå mot oändligheten.

Nu har vi värdena på a, b och c. Det ger oss funktionen g(x)=ax^2+bx+c ⇒ g(x)=3x^2-2x-7.

Bestäm och karakterisera alla asymptoter till funktionen

f (x) = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{2 x ^{2} - x + 3}{x} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .

Skriv asymptoterna som ekvationer.

Vi har en absolutbeloppsfunktion. För att bestämma asymptoterna f(x) vill vi bli av med absolutbeloppstecknet genom att dela upp funktionen i intervall. De bestäms av de x-värden som uttrycket inom absolutbeloppet byter tecken. Nämnaren byter tecken vid x = 0, men byter täljaren tecken för något x? Vi löser ekvationen 2x^2 - x + 3 = 0 för att hitta de x där täljaren eventuellt byter tecken.

Vi ser här att ekvationen inte har några reella lösningar eftersom diskriminanten är negativ — täljaren byter aldrig tecken. Genom att t.ex. sätta in x = 1 i täljaren ser vi att den är positiv, och det kommer den att vara för alla x. Uttrycket inuti absolutbeloppet är alltså negativt då x < 0, och positivt då x > 0. Olikheterna är strikta eftersom funktionen är odefinerad för x=0. Det betyder att f(x) = 2x^2 - x + 3/x, & x > 0 [0.8em] - 2x^2 - x + 3/x, & x < 0. Vår funktion består av två rationella uttryck. För dem letar vi efter vertikala asymptoter där nämnaren går mot 0, vilket här sker då x → 0. För båda uttryck går täljaren mot ett tal, 3 och - 3, medan nämnaren går mot 0. Uttrycken går alltså mot oändligheten. Funktionen har därför den vertikala asymptoten x = 0. Vi letar efter sneda asymptoter och börjar med delen som är definierad för positiva x. Den eventuella asymptotens k-värde hittar vi med gränsvärdet k = lim _(x → ∞) f(x)/x. Vi sätter in vårt funktionsuttryck och beräknar gränsvärdet.

Funktionen f(x) har alltså en sned asymptot med k-värdet 2 då x → ∞. Asymptotens m-värde hittar vi med gränsvärdet m = lim _(x → ∞) (f(x) - kx). Vi sätter in vårt k och funktionsuttryck för att bestämma m.

Vi har nu hittat den sneda asymptoten y = 2x - 1 som funktionen närmar sig då x → ∞. På samma sätt letar vi efter en sned asymptot för x < 0. Vi måste låta x gå mot negativa oändligheten i gränsvärdena — annars är ju x inte mindre än 0.

Den här asymptotens lutning är inte samma som den vi tidigare hittade, alltså har f(x) två sneda asymptoter. Vi beräknar m-värdet.

Vi har både sökt efter vertikala och sneda asymptoter. Alltså har vi bestämt funktionens alla asymptoter: x &= 0 y &= - 2x + 1 y &= 2x - 1.

Sneda asymptoter

Ekvationen för en sned asymptot

$k$ -värde

Härledning

$m$ -värde

Härledning

Exempel

Bestäm funktionens asymptoter

Vertikal asymptot

Sned asymptot

Sneda asymptoter

Rekommenderade uppgifter

	3 sidor teori
	11 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.