Sneda asymptoter

Vi börjar med att leta efter vertikala asymptoter genom att resonera kring när h(t) skulle kunna gå mot oändligheten. Eftersom den andra termen i funktionen, - 10.55, är en konstant är det eventuellt den första termen, 3t^2 + 1.65t + 1/t + 0.55, som kan gå mot oändligheten. Och detta sker faktiskt då nämnaren går mot 0, dvs. då t → - 0.55. Men eftersom funktionens definitionsmängd är t ≥ 0 saknar funktionen vertikala asymptoter. Vi söker nu efter en sned asymptot genom att bestämma gränsvärdet k = lim _(t → ∞) h(t)/t. Vi sätter in funktionsuttrycket och beräknar gränsvärdet.

Funktionen har alltså en sned asymptot med lutningen k = 3. Vi beräknar m-värdet med m = lim _(t → ∞) (f(t) - kt). Vi sätter in funktionsuttrycket och k-värdet och förenklar.

Vi har nu hittat funktionens enda asymptot: y = 3t - 1/0.55.

Vi börjar med att leta efter eventuella vertikala asymptoter. Dessa uppkommer ofta för x-värden där funktionen är odefinierad. Vi undersöker därför funktionens beteende kring x-värdet då nämnaren är 0, vilket sker då 2x - 4 = 0 ⇔ x = 2. Då x → 2 går alltså nämnaren mot 0, men även täljaren x^2 - 4 går mot 0 då. Vi kan därför inte direkt avgöra om funktionen har en vertikal asymptot eller inte. Vi undersöker därför gränsvärdet lim _(x → 2)x^2 - 4/2x - 4 numeriskt.

Funktionsvärdet går mot 2 då x → 2, dvs. funktionen har ingen vertikal asymptot — trots att den är odefinierad för x = 2. Vi avgör nu ifall funktionen har någon horisontell asymptot genom att undersöka funktionens beteende då x → ± ∞.

När vi nu låter x gå mot oändligheten går kvoterna 4/x mot 0, och vi slutar med en täljare som går mot oändligheten och nämnaren 2. Detta gäller även för x → - ∞. Gränsvärdet existerar alltså inte — funktionen har därmed ingen horisontell asymptot. Till sist avgör vi om den har en sned asymptot. Vi börjar med gränsvärdet som ger den eventuella asymptotens k-värde: k = lim _(x → ∞)f(x)/x. Vi sätter in funktionsuttrycket och förkortar sedan bråket med x^2.

Nu bestämmer vi gränsvärdet m = lim _(x → ∞) (f(x) - kx), som ger asymptotens m-värde. Vi sätter in funktionsuttrycket och k = 0.5, och beräknar sedan gränsvärdet.

Om x går mot -∞ får man samma m så vi har hittat funktionens enda asymptot: y = 0.5x + 1.

Vi börjar med att undersöka om det finns några vertikala asymptoter. Dessa finns för x-värden där funktionens värde går mot ∞ eller -∞. Vår funktion är f(x) = sqrt(x) + 5x, som är definierad för x ≥ 0. Om vi låter x gå mot ∞ kommer funktionen växa sig oändligt stor, men det finns inget annat ställe där den gör det. Ofta har funktioner asymptoter där de är odefinierade, men i det här fallet är den odefinierad för ett helt intervall (x<0), så grafen slutar när x=0. Vi fortsätter med att undersöka om det finns någon sned asymptot. Då försöker vi först beräkna riktningskoefficienten med gränsvärdet k = lim _(x→∞) f(x)/x. Vi sätter in vår funktion, förenklar och beräknar.

Vi får fram k-värdet 5 och fortsätter med att bestämma m-värdet, som ges av gränsvärdet m = lim _(x→∞) ( f(x) - kx ). Vi sätter in funktionen och förenklar.

Roten ur x kommer bara att fortsätta växa ju större x blir, så när x går mot oändligheten kommer även sqrt(x) att göra det. Gränsvärdet som bestämmer asymptotens m-värdet existerar alltså inte, och då finns det inte heller någon asymptot, även om vi fick fram ett k-värde. Funktionen saknar alltså helt asymptoter.

Vi ska använda den sneda asymptoten, så vi börjar med att grafiskt bestämma ekvationen för den.

Linjen skär y-axeln när y=-1 så dess m-värde är -1. Vidare ser vi att för varje steg man går i x-led går man 1 steg upp. Det betyder att linjen har lutningen k=1. Den sneda asymptotens ekvation är alltså y=x-1. Man kan också bestämma asymptotens ekvation med hjälp av f(x). Då bestäms lutningen av gränsvärdet lim _(x→∞)f(x)/x. Vi vet att denna lutning ska vara 1, så när vi har bestämt gränsvärdet kommer vi kunna sätta det lika med 1 och skapa en ekvation. Vi börjar med att att ställa upp och förenkla gränsvärdet.

Nu låter vi x gå mot oändligheten för att ta fram ett uttryck för gränsvärdet. När man har ett bråk med x på flera ställen i ett gränsvärde där x går mot oändligheten kan man förkorta med det x som har högst gradtal, vilket i det här fallet är x^2.

Alla bråk med x eller x^2 i nämnaren har här en konstant täljare. Det betyder att när x går mot oändligheten kommer alla dessa kvoter att gå mot 0.

Lutning kan alltså beskrivas av uttrycket 2a. Vi vet dock att den ska vara lika med 1, vilket ger oss en ekvation som vi löser. 2/a = 1 ⇔ a = 2 Konstanten a är alltså 2.

Vi tittar på den vertikala asymptoten.

Den går genom x=-0.5. Eftersom det är en vertikal asymptot betyder det att när x närmar sig x=-0.5 ska funktionen gå mot oändligheten. Det gör den när nämnaren, ax+b, går mot 0. Vi undersöker därför ax+b=0. I förra deluppgiften bestämde vi att a=2. Vi sätter in det samt x=-0.5, och löser ut b.

Konstanten b är lika med 1.