Repetition av trigonometri

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

De trigonometriska funktionerna sinus, cosinus och tangens har flera geometriska förklaringar. Här repeteras deras definitioner både med rätvinkliga trianglar och enhetscirkeln.
Regel

Trigonometriska funktioner

I en rätvinklig triangel anger sinus, cosinus och tangens förhållandet mellan längderna på två av triangelns sidor, baserat på en viss vinkel. Förhållandet kan vara mellan de två kateterna eller mellan en katet och hypotenusan. Definitionen för dessa trigonometriska funktioner ser ut på följande sätt.

sin(v)=Motstende kateta˚Hypotenusa\sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}

cos(v)=Nrliggande kateta¨Hypotenusa\cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}

tan(v)=Motstende kateta˚Nrliggande kateta¨\tan(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}

Vilken katet som är motstående respektive närliggande beror på vilken vinkel man utgår från.

Byt vinkel

Tangensfunktionen kan också definieras med sinus och cosinus.

tan(v)=sin(v)cos(v)\tan(v)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}

Uppgift

Bestäm tan(v)\tan(v) givet att sin(w)=12.\sin(w) = \dfrac{1}{2}. Svara exakt.

Lösning
Vi vill bestämma tangensvärdet för vinkeln vv och för att göra det behöver vi båda kateterna i den högra triangeln. För tillfället saknar vi dock den ena, höjden, men den finns också i den vänstra triangeln. Där känner vi till längden på hypotenusan och sinusvärdet för vinkeln w.w. Definitionen för sinus är sin(w)=Motstende kateta˚Hypotenusa. \sin(w) = \dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}. I det här fallet är den motstående kateten höjden på triangeln. Genom att sätta in de kända värdena kan vi bestämma höjden.
sin(w)=Motstende kateta˚Hypotenusa\sin(w) = \dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}
12=Motstende kateta˚4{\color{#0000FF}{\dfrac{1}{2}}} = \dfrac{\text{Motstående katet}}{{\color{#009600}{4}}}
2=Motstende kateta˚2 = \text{Motstående katet}
Motstende kateta˚=2\text{Motstående katet} = 2
Höjden på triangeln är alltså 22 cm. Vi använder till sist definitionen av tangens för att bestämma tan(v).\tan(v). tan(v)=Motstende kateta˚Nrliggande kateta¨=23 \tan(v) = \dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}} = \dfrac{2}{3} Svaret är alltså att tan(v)=23.\tan(v) = \frac{2}{3}.
Visa lösning Visa lösning
Regel

Sinus och cosinus i enhetscirkeln

Enhetscirkeln, alltså en cirkel med radien 11 centrerad i origo, kan kopplas till sinus- och cosinusfunktionerna. En punkt på enhetscirkeln vars radie skapar vinkeln vv mot positiva xx-axeln har alltid xx-koordinaten cos(v)\cos(v) och yy-koordinaten sin(v)\sin(v).

x=cos(v)   och   y=sin(v)x=\cos(v) \ \ \ \text{och} \ \ \ y=\sin(v)

Med hjälp av dessa samband kan man med härleda exakta sinus-, cosinus- och tangensvärden för standardvinklar.

vv 00^\circ 3030^\circ 4545^\circ 6060^\circ 9090^\circ 120120^\circ 135135^\circ 150150^\circ 180180^\circ
sin(v) \sin(v) 00 12\dfrac{1}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 11 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2} 00
cos(v) \cos(v) 11 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2} 00 -12\text{-}\dfrac{1}{2} -12\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{2}} -32\text{-}\dfrac{\sqrt{3}}{2} -1\text{-}1
tan(v) \tan(v) 00 13\dfrac{1}{\sqrt{3}} 11 3\sqrt{3} Odef. -3\text{-}\sqrt{3} -1\text{-} 1 -13\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{3}} 00
Uppgift


Bestäm den röda punktens xx-koordinat givet att tangensvärdet för vinkeln vv är -1.280.\text{-}1.280. Avrunda till tre decimaler.

Lösning
Eftersom cirkeln har radien 11 och sin medelpunkt i origo är detta enhetscirkeln. Det innebär att den röda punktens xx- och yy-koordinater motsvarar cosinus- respektive sinusvärdet för vinkeln v.v. Vi kan läsa av att sinusvärdet för vinkeln är 0.788.0.788. Eftersom vi också känner till tangensvärdet för vinkeln kan vi använda sambandet tan(v)=sin(v)cos(v) \text{$\tan(v)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}$} för att bestämma cosinusvärdet. Vi sätter in de kända värdena och löser ut cos(vv).
tan(v)=sin(v)cos(v)\tan(v)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}
-1.280=0.788cos(v){\color{#0000FF}{\text{-}1.280}}=\dfrac{{\color{#009600}{0.788}}}{\cos(v)}
-1.280cos(v)=0.788\text{-}1.280\cdot\cos(v)=0.788
cos(v)=0.788-1.280\cos(v)=\dfrac{0.788}{\text{-}1.280}
cos(v)=-0.61566\cos(v)=\text{-}0.61566\ldots
cos(v)=-0.616\cos(v)=\text{-}0.616
Den röda punktens xx-koordinat är alltså ca -0.616.\text{-}0.616.


Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm sidan xx i trianglarna. Avrunda till heltal. Längderna är angivna i cm.


a
Uppgift708 1 1.svg


b
Uppgift708 2 1.svg
c
Uppgift708 3 1.svg
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm koordinaterna för punkterna PP och QQ som ligger på randen av enhetscrikeln. Svara med två decimaler.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vad är tangensvärdet tan(v)\tan(v) i nedanstående trianglar?


a
Exercise691 1.svg
b
Exercise691 2.svg
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna det exakta värdet av följande uttryck.

a

sin(30)cos(60)\sin(30^\circ)\cdot \cos(60^\circ)

b

2sin(45)tan(45)\dfrac{2\sin(45^\circ)}{\tan(45^\circ)}

c

cos(30)+tan(60)\cos(30^\circ)+\tan(60^\circ)

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna arean av en liksidig triangel med sidan 1616 cm. Lös uppgiften utan räknare och svara exakt.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm de trigonometriska värdena exakt.

a

sin(315)\sin(315^\circ)

b

cos(270)\cos(270^\circ)

c

sin(-210)\sin(\text{-}210^\circ)

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I nedanstående triangel är en sida 1212 cm och två vinklar är 48.48^\circ. Bestäm okända sidor och vinklar i triangeln.

Exercise703 1 1.svg
2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna det exakta värdet av följande uttryck.

a

tan(30)(sin(60))3(cos(30))2\dfrac{\tan(30^\circ)\cdot (\sin(60^\circ))^3}{(\cos(30^\circ))^2}

b

(sin(30)sin(45))cos(60)\left(\sqrt{\sin(30^\circ)}\cdot\sin(45^\circ)\right)^{\cos(60^\circ)}

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm koordinaterna till punkten P.P.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm värdet på tan(C)\tan(C) i nedanstående triangel om du vet att tan(B)=0.4\tan(B)=0.4.

Exercise698 1 1.svg
2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Punkten MM är cirkelns medelpunkt. Beräkna omkretsen om man vet att kordan ABAB är 88 cm. Svara exakt.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En halv liksidig triangel har omkretsen 2020 cm. Visa att dess kortaste katet har längden 203+3  cm. \dfrac{20}{3+\sqrt{3}} \ \text{ cm}.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En gummibandstillverkare vill ha ett mått på hans gummibands elasticitet (dvs. hur töjbara de är). Han bestämmer sig för att göra stickprovskontroller genom att klippa upp vart tjugonde gummiband han tillverkar och fästa ändarna mellan två väggar. Därefter hänger han en vikt i mitten av bandet så att det sträcks ut och bildar två identiska vinklar v med bandets ursprungsläge (streckad linje).

Exercise701 1.svg

Om vinkeln är större än 3535^\circ bör gummibandet kastas. Hur många procent längre har gummibandet blivit då?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren ser du en liksidig triangel och två inskrivna cirklar, dvs. cirklarnas rand nuddar precis triangelns sidor, vilket kallas för att de tangerar varandra.

Exercise726 12.svg

Om man drar radier till cirklarnas tangeringspunkt med triangeln bildas räta vinklar. Bestäm x.x.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}