Trigonometri: Repetera Trigonometriska Samband

$v$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$12 0^{\circ}$	$13 5^{\circ}$	$15 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$
$sin (v)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$cos (v)$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{3}{2}$	$- 1$
$tan (v)$	$0$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	Odef.	$- 3$	$- 1$	$- \frac{1}{3}$	$0$

v

0^{\circ}

3 0^{\circ}

4 5^{\circ}

6 0^{\circ}

9 0^{\circ}

12 0^{\circ}

13 5^{\circ}

15 0^{\circ}

18 0^{\circ}

sin (v)

0

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

\frac{3}{2}

1

\frac{3}{2}

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

0

cos (v)

1

\frac{3}{2}

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

0

- \frac{1}{2}

- \frac{1}{2}

- \frac{3}{2}

- 1

tan (v)

0

\frac{1}{3}

1

3

Odef.

- 3

- 1

- \frac{1}{3}

0

En halv liksidig triangel har omkretsen

20

cm. Bestäm längden på dess kortaste katet.

Eftersom en liksidig triangel har tre vinklar som är 60^(∘) kommer en halv liksidig triangel vara en rätvinklig triangel där övriga vinklar är 30^(∘) och 60^(∘). Vi kallar hypotenusan för c, den längre av kateterna för a och den kortare för b.

Vi börjar med att skriva om triangelns sidlängder så att vi bara har en variabel. T.ex. kan vi uttrycka kateterna i termer av c genom att använda definitionen för sinus respektive cosinus. Vi börjar med att skriva om a.

Nu skriver vi om b.

Vi ställer nu upp ett uttryck för triangelns omkrets och sätter det lika med 20. c+1/2* c+sqrt(3)/2* c=20. Genom att lösa ut c ur denna ekvation får vi reda på hypotenusans längd. Vi kan därefter dividera den med 2 för att få reda på den kortare katetens längd, eftersom den korta kateten alltid är hälften så lång som hypotenusan i en halv liksidig triangel.

Nu dividerar vi hypotenusan med 2 och förenklar.

Den kortare kateten är alltså 203+sqrt(3) cm.

En gummibandstillverkare vill ha ett mått på hans gummibands elasticitet (dvs. hur töjbara de är). Han bestämmer sig för att göra stickprovskontroller genom att klippa upp vart tjugonde gummiband han tillverkar och fästa ändarna mellan två väggar. Därefter hänger han en vikt i mitten av bandet så att det sträcks ut och bildar två identiska vinklar $v$ med bandets ursprungsläge (streckad linje).

En vikt som hänger i en fjäder som händer i ett rep som sitter fäst i två stolpar.

Om vinkeln är större än

3 5^{\circ}

bör gummibandet kastas. Hur många procent längre har gummibandet blivit då? Svara i hela procent.

Vi kallar bandets längd utan tyngd för x. När tyngden sätts på sträcks bandet ut så att vi får en likbent triangel. De lika sidorna är hälften av x multiplicerat med en förändringsfaktor som vi kan kalla för a, en utsträckningsfaktor. Längden blir alltså 0,5ax.

Delas triangeln på mitten får vi två rätvinkliga trianglar med hypotenusa 0,5ax och en katet som är 0,5x.

Vinkeln v får vara max 35^(∘). Om vi sätter in denna vinkel, hypotenusan och närliggande katet i definitionen för cosinus, kan vi lösa ut förändringsfaktorn a.

Förändringsfaktorn a är 1,22 vilket innebär att gummibandet maximalt får sträckas ut 22 %.

I figuren ser du en liksidig triangel och två inskrivna cirklar, dvs. cirklarnas rand nuddar precis triangelns sidor, vilket kallas för att de tangerar varandra.

En liksidig triangel ABC med två inskrivna cirklar.

Om man drar radier till cirklarnas tangeringspunkt med triangeln bildas räta vinklar. Bestäm

x .

Sträckan 3,96 är den blå cirkelns diameter, dvs. radien är 1,98. Om vi drar en radie från den blå cirkelns mitt till en av tangeringspunkterna med triangeln bildas en rät vinkel mellan radien och triangelsidan.

Om man sedan drar en linje från den blå cirkelns mitt till hörn A kommer den att bilda hypotenusan i en rätvinklig triangel där en av kateterna är 1,98. Triangeln ABC är liksidig så alla vinklar är 60^(∘). Eftersom både triangeln och cirklarna är symmetriska delar hypotenusan den översta vinkeln mitt itu, så den blir 30^(∘).

Nu har vi en rätvinklig triangel med kateten 1,98. Vi kan skapa ett uttryck för hypotenusan som blir summan av den blå cirkelns radie, den gröna cirkelns diameter och sträckan x-0,65: 1,98+x+x-0,65=2x+1,33. Titta nu på den rätvinkliga triangeln.

Vi känner till en vinkel, hypotenusan och vinkelns motstående katet. Genom att använda definitionen för sinus kan vi lösa ut x.

Repetition av trigonometri

Trigonometriska funktioner

Exempel

Bestäm tangensvärdet

Sinus och cosinus i enhetscirkeln

Exempel

Bestäm punkten på enhetscirkeln

Repetition av trigonometri

Rekommenderade uppgifter

	5 sidor teori
	14 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.