Repetition av trigonometri

Eftersom triangelns basvinklar är lika stora, innebär det att den är likbent. Därför måste sidan BC också vara 12cm. Vi kan även bestämma ∧ B genom att subtrahera de kända vinklarna från triangelns vinkelsumma 180^(∘): 180^(∘)-48^(∘)-48^(∘)=84^(∘). Men hur ska vi bestämma basen? Om man drar en höjd från punkten B kommer den att dela basen i två lika stora delar eftersom triangeln ABC är likbent.

Vi känner till vinkeln A och hypotenusan i den rätvinkliga triangeln ABD. Sätter vi in dessa värden i definitionen för cosinus kan vi bestämma sträckan AD.

Basen AC kommer att vara dubbelt så lång som AD.

Basen är alltså cirka 16,1cm.

Vi börjar med att ersätta de trigonometriska funktionerna med det exakta värdet för respektive standardvinkel. Det ger oss följande uttryck. .(1/sqrt(3)* (sqrt(3)/2)^3) /(sqrt(3)/2)^2. Vi förenklar uttrycket. Notera att vi inte måste beräkna potenserna, utan kan förkorta bråket med(sqrt(3)/2)^2.

Vi börjar på samma sätt som i föregående deluppgift, dvs. ersätter de trigonometriska uttrycken med motsvarande exakta värden. Vi får då (sqrt(1/2)*1/sqrt(2))^(.1 /2.). Till sist förenklar vi uttrycket.

För att beräkna cirkelns omkrets måste vi veta dess diameter. Tittar vi på figuren inser vi att triangelns sidor som utgår från cirkelns mittpunkt även utgör cirkelns radie.

Genom att bestämma radien och multiplicera med 2 kan vi beräkna cirkelns diameter. Så hur kan vi då ta reda på radien? Om vi delar den likbenta triangeln i två rätvinkliga trianglar kan vi använda trigonometri för att bestämma radien som utgör de rätvinkliga trianglarnas hypotenusa. Vi vet dessutom att trianglarnas baser måste vara 4cm eftersom kordan AB är 8cm.

Vi ska alltså bestämma hypotenusan och eftersom vi känner till en vinkel samt dess närliggande katet kan vi använda cosinus.

Eftersom vi ska svara exakt låter vi bli att slå in sista steget på räknaren. Vi vet nu radiens längd och multiplicerar den med 2 för att bestämma cirkelns diameter: Diameter=2* 4/cos 63^(∘)=8/cos 63^(∘). Till sist beräknar vi omkretsen genom att multiplicera diametern med π: O=8π/cos 63^(∘)cm.

Eftersom punkten ligger på enhetscirkeln kan vi bestämma dess koordinater genom att beräkna sinus- och cosinusvärdet för vinkeln som markerats u.

Denna medelpunktsvinkel spänner upp samma cirkelbåge som randvinkeln 67,5^(∘), så enligt randvinkelsatsen är u=2* 67,5^(∘)=135^(∘). Nu bestämmer vi koordinaterna för punkten P genom att beräkna cos 135^(∘) och sin 135^(∘). Eftersom 135^(∘) är en standardvinkel kan vi läsa av värdena i tabellen för trigonometriska värden för standardvinklar. cos 135^(∘) = -1/sqrt(2), sin 135^(∘) = 1/sqrt(2) Punkten P:s koordinater är alltså (-1/sqrt(2),1/sqrt(2)).

Vi får veta att en paraseglare är fäst vid en båt med ett rep som är 72 meter långt. Vi vet också att elevationsvinkeln mellan paraseglaren och båten är 38^(∘). Låt oss rita ett diagram som representerar situationen!

Eftersom vi känner till hypotenusans längd och måttet på en spetsig vinkel, kan vi använda det trigonometriska förhållandet för sinus för att uppskatta paraseglarens höjd h. sin θ = motstående/hypotenusa I vårt fall är längden på den motstående kateten h, längden på hypotenusan är 72 meter och vinkelns mått är 38^(∘). sin θ = motstående/hypotenusa ⇒ sin 38^(∘) = h/72

Paraseglarens höjd över båten är ungefär 44,3 meter.

Vi vet att Duquesne Incline har en elevationsvinkel på 30^(∘). Vi vet också att spåret har en längd på ungefär 242 meter.

Eftersom vi känner till en spetsig vinkel och hypotenusan, kan vi använda förhållandet för sinus för att beräkna bergsbanans höjd h. sin θ = motstående/hypotenusa I vårt fall är den motstående katetens längd h, hypotenusans längd är 242 och vinkelns mått är 30^(∘). sin θ = motstående/hypotenusa ⇒ sin 30^(∘)= h/242 Låt oss lösa ekvationen för h!

Bergsbanans höjd är 121 meter.

Vår vän påstår att det är möjligt att rita en rätvinklig triangel så att värdena för cosinusfunktionen för de spetsiga vinklarna är lika. cos θ = cos α Vi vill undersöka om detta stämmer. För att göra det, tänk på att vi i en rätvinklig triangel har tre vinklar: 90^(∘), θ och α. Vi kan hitta värdet på den tredje vinkeln genom att subtrahera θ från den räta vinkeln. α = 90^(∘) -θ Notera att den motstående kateten till θ måste vara den närliggande kateten till vinkeln 90^(∘) - θ.

Därefter kan vi skriva om cosinus uttryckt i sinusfunktionen. cos (90^(∘) - θ) = sin θ Nu skriver vi även om vår väns påstående uttryckt i sinus. cos θ = sin θ

Eftersom vinkeln θ är spetsig måste dess värde ligga mellan 0^(∘) och 90^(∘). Vi kan hitta det värde på θ som uppfyller denna likhet genom att använda tabellen över trigonometriska värden för speciella vinklar.

Som vi kan se är de lika endast för 45^(∘). cos 45^(∘) =sqrt(2)/2 sin 45^(∘) =sqrt(2)/2 Därför är lösningen på den föregående ekvationen θ=45^(∘). Detta innebär att vår väns påstående är korrekt.