Trigonometri: Repetera Trigonometriska Samband

$v$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$12 0^{\circ}$	$13 5^{\circ}$	$15 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$
$sin (v)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$cos (v)$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{3}{2}$	$- 1$
$tan (v)$	$0$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	Odef.	$- 3$	$- 1$	$- \frac{1}{3}$	$0$

I nedanstående triangel är en sida $12$ cm och två vinklar är $4 8^{\circ} .$ Bestäm basen. Svara med en decimal.

En blå likbent triangel med två av vinklarna 48 grader.

Eftersom triangelns basvinklar är lika stora, innebär det att den är likbent. Därför måste sidan BC också vara 12 cm. Vi kan även bestämma ∧ B genom att subtrahera de kända vinklarna från triangelns vinkelsumma 180^(∘): 180^(∘)-48^(∘)-48^(∘)=84^(∘). Men hur ska vi bestämma basen? Om man drar en höjd från punkten B kommer den att dela basen i två lika stora delar eftersom triangeln ABC är likbent.

Vi känner till vinkeln A och hypotenusan i den rätvinkliga triangeln ABD. Sätter vi in dessa värden i definitionen för cosinus kan vi bestämma sträckan AD.

Basen AC kommer att vara dubbelt så lång som AD.

Basen är alltså cirka 16,1 cm.

Beräkna det exakta värdet av uttrycket.

\frac{tan ( 3 0 ^{\circ} ) \cdot ( sin ( 6 0 ^{\circ} ) ) ^{3}}{( cos ( 3 0 ^{\circ} ) ) ^{2}}

(sin (3 0^{\circ}) \cdot sin (4 5^{\circ}))^{c o s (6 0^{\circ})}

Vi börjar med att ersätta de trigonometriska funktionerna med det exakta värdet för respektive standardvinkel. Det ger oss följande uttryck. .(1/sqrt(3)* (sqrt(3)/2)^3) /(sqrt(3)/2)^2. Vi förenklar uttrycket. Notera att vi inte måste beräkna potenserna, utan kan förkorta bråket med( sqrt(3)2)^2.

Vi börjar på samma sätt som i föregående deluppgift, dvs. ersätter de trigonometriska uttrycken med motsvarande exakta värden. Vi får då (sqrt(1/2)*1/sqrt(2))^(.1 /2.). Till sist förenklar vi uttrycket.

Bestäm koordinaterna till punkten $P .$

Eftersom punkten ligger på enhetscirkeln kan vi bestämma dess koordinater genom att beräkna sinus- och cosinusvärdet för vinkeln som markerats u.

Denna medelpunktsvinkel spänner upp samma cirkelbåge som randvinkeln 67.5^(∘), så enligt randvinkelsatsen är u=2* 67.5^(∘)=135^(∘). Nu bestämmer vi koordinaterna för punkten P genom att beräkna cos(135^(∘)) och sin(135^(∘)). Eftersom 135^(∘) är en standardvinkel kan vi läsa av värdena i tabellen för trigonometriska värden för standardvinklar. cos(135^(∘)) = - 1sqrt(2), sin(135^(∘)) = 1sqrt(2) Punkten P:s koordinater är alltså (- 1sqrt(2), 1sqrt(2)).

Bestäm värdet på $tan (C)$ i nedanstående triangel om du vet att $tan (B) = 0, 4 .$

En blå rätvinklig triangel med basen y och höjden x.

tan(B)=0,4 innebär att om vi delar längden av motstående och närliggande sida till vinkel B ska kvoten bli 0,4. I vårt fall ger detta sambandet tan(B)=x/y=0,4. För att få bort en variabel löser vi ut t.ex. x ur sambandet.

Nu ersätter vi x i figuren med 0,4y.

När vi beräknar tan(C) blir y motstående och 0,4y närliggande katet.

Tangensvärdet för C är alltså 2,5.

Punkten $M$ är cirkelns medelpunkt. Beräkna omkretsen $O$ om man vet att kordan $A B$ är $8$ cm. Svara exakt.

Cirkel med två punkter på randen och triangel dragen mellan dessa och mittpunkten

För att beräkna cirkelns omkrets måste vi veta dess diameter. Tittar vi på figuren inser vi att triangelns sidor som utgår från cirkelns mittpunkt även utgör cirkelns radie.

Genom att bestämma radien och multiplicera med 2 kan vi beräkna cirkelns diameter. Så hur kan vi då ta reda på radien? Om vi delar den likbenta triangeln i två rätvinkliga trianglar kan vi använda trigonometri för att bestämma radien som utgör de rätvinkliga trianglarnas hypotenusa. Vi vet dessutom att trianglarnas baser måste vara 4 cm eftersom kordan AB är 8 cm.

Vi ska alltså bestämma hypotenusan och eftersom vi känner till en vinkel samt dess närliggande katet kan vi använda cosinus.

Eftersom vi ska svara exakt låter vi bli att slå in sista steget på räknaren. Vi vet nu radiens längd och multiplicerar den med 2 för att bestämma cirkelns diameter: Diameter=2* 4/cos(63^(∘))=8/cos(63^(∘)). Till sist beräknar vi omkretsen genom att multiplicera diametern med π: O=8π/cos(63^(∘))cm.

Repetition av trigonometri

Trigonometriska funktioner

Exempel

Bestäm tangensvärdet

Sinus och cosinus i enhetscirkeln

Exempel

Bestäm punkten på enhetscirkeln

Repetition av trigonometri

Rekommenderade uppgifter

	5 sidor teori
	14 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.